Kezdje a tudományban. Kreatív munka "oszthatóság jelei" A 12-vel való osztás szabálya

oszthatósági jel

Oszthatósági jel- egy szabály, amely lehetővé teszi, hogy viszonylag gyorsan megállapítsa, hogy egy szám egy előre meghatározott szám többszöröse-e anélkül, hogy tényleges osztást kellene végrehajtania. Általában olyan műveleteken alapul, amelyek a számjegyek egy részével egy pozíciós számrendszerben (általában decimális) találhatók.

Több is van egyszerű szabályok, amely lehetővé teszi egy szám kis osztóinak megtalálását a decimális számrendszerben:

2-vel oszthatóság jele

3-mal oszthatóság jele

Oszthatóság 4 előjellel

5-tel oszthatóság jele

6-tal oszthatóság jele

7-tel oszthatóság jele

8-cal való oszthatóság jele

9-cel oszthatóság jele

10-zel való oszthatóság jele

11-gyel osztható jel

12-vel osztható jel

13-mal osztható jel

14-gyel osztható jel

15-tel osztható jel

17-tel osztható jel

19-cel oszthatóság jele

23-mal osztható jel

25-tel osztható jel

99-cel oszthatóság jele

A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és megkeressük ezeknek a csoportoknak az összegét, tekintve őket kétjegyű számoknak. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 99-cel, ha maga a szám osztható 99-cel.

101-gyel osztható jel

A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és ezeknek a változó előjelű csoportoknak az összegét kétjegyű számoknak tekintve megkeressük. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 101-gyel, ha maga a szám osztható 101-gyel. Például 590547 osztható 101-gyel, mivel az 59-05+47=101 osztható 101-gyel.

2-vel oszthatóság jele n

A szám osztható vele n-edik fokozat kettő akkor és csak akkor, ha az utolsó n számjegyéből alkotott szám osztható ugyanilyen hatványon.

5-tel oszthatóság jele n

Egy szám akkor és csak akkor osztható 5 n-edik hatványával, ha az utolsó n számjegye által alkotott szám osztható ugyanilyen hatvánnyal.

10-zel való oszthatóság jele n − 1

A számot jobbról balra n számjegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport 1-től n számjegyig terjedhet), és n-jegyű számoknak tekintve megkeressük ezeknek a csoportoknak az összegét. Ez az összeg osztható 10-zel n− 1 akkor és csak akkor, ha maga a szám osztható 10-zel n − 1 .

10-zel való oszthatóság jele n

Egy szám akkor és csak akkor osztható tíz n-edik hatványával, ha az utolsó n számjegye

A mű szövege képek és képletek nélkül kerül elhelyezésre.
Teljes verzió munka elérhető a „Munkafájlok” fülön PDF formátumban

Matematika órákon az „Oszthatóság jelei” témakör tanulmányozása során, ahol megismerkedtünk a 2-vel oszthatóság jeleivel; öt; 3; kilenc; 10, az érdekelt, hogy vannak-e jelei a más számokkal való oszthatóságnak, és van-e univerzális módszer a bármely számmal való oszthatóságra természetes szám. Ezért elkezdtem kutatni ebben a témában.

A tanulmány célja: a természetes számok oszthatósági jeleinek tanulmányozása 100-ig, a természetes számok egészének oszthatóságának már ismert jeleinek összeadása, az iskolában tanult.

A cél elérését tűzték ki feladatok:

Gyűjtsön, tanulmányozzon és rendszerezzen anyagot a természetes számok oszthatósági előjeleiről, különféle információforrások felhasználásával.

Keress egy univerzális kritériumot a tetszőleges természetes számmal való oszthatóságra.

Ismerje meg, hogyan használhatja a Pascal-féle oszthatósági tesztet a számok oszthatóságának meghatározására, és próbálja meg megfogalmazni az oszthatóság jeleit bármely természetes számmal.

Tanulmányi tárgy: természetes számok oszthatósága.

Tanulmányi tárgy: természetes számok oszthatóságának jelei.

Kutatási módszerek: információgyűjtés; nyomtatott anyagokkal való munka; elemzés; szintézis; analógia; felmérés; kikérdezés; az anyag rendszerezése és általánosítása.

Kutatási hipotézis: Ha meg lehet határozni a természetes számok oszthatóságát 2-vel, 3-mal, 5-tel, 9-cel, 10-zel, akkor kell lennie olyan előjeleknek, amelyekkel meg lehet határozni a természetes számok oszthatóságát más számokkal.

Újdonság Az elvégzett kutatómunka az, hogy ez a munka az oszthatósági jelekről és a természetes számok oszthatóságának egyetemes módszeréről szóló ismereteket rendszerezi.

Gyakorlati jelentősége: jelen kutatómunka anyaga a 6-8. évfolyamon használható fel fakultatív órákon a „Számok oszthatósága” témakör tanulmányozása során.

I. fejezet A számok oszthatóságának meghatározása és tulajdonságai

1.1.Az oszthatóság fogalmának és az oszthatósági jelek definíciói, az oszthatóság tulajdonságai.

A számelmélet a matematikának egy olyan ága, amely a számok tulajdonságait vizsgálja. A számelmélet fő tárgya a természetes számok. Fő tulajdonságuk, amelyet a számelmélet tekint, az oszthatóság. Meghatározás: Egy a egész szám osztható egy b egész számmal, amely nem egyenlő nullával, ha létezik olyan k egész szám, amelyre a = bk (például 56 osztható 8-cal, mert 56 = 8x7). oszthatósági jel- egy szabály, amely lehetővé teszi annak megállapítását, hogy egy adott természetes szám osztható-e más számokkal, pl. nyom nélkül.

Oszthatósági tulajdonságok:

Minden a nullától eltérő szám osztható önmagával.

A nulla osztható bármely b-vel, amely nem egyenlő nullával.

Ha a osztható b-vel (b0) és b osztható c-vel (c0), akkor a osztható c-vel.

Ha a osztható b-vel (b0) és b osztható a-val (a0), akkor a és b egyenlő vagy ellentétes számok.

1.2. Az összeg és a szorzat oszthatósági tulajdonságai:

Ha az egész számok összegében minden tag osztható valamilyen számmal, akkor az összeg osztható ezzel a számmal.

2) Ha az egész számok különbségében a minuend és a részfej osztható egy bizonyos számmal, akkor a különbség is osztható egy bizonyos számmal.

3) Ha az egész számok összegében az összes tag egy kivételével osztható valamilyen számmal, akkor az összeg nem osztható ezzel a számmal.

4) Ha egész számok szorzatában az egyik tényező osztható valamilyen számmal, akkor a szorzat is osztható ezzel a számmal.

5) Ha egész számok szorzatában az egyik tényező osztható m-vel, a másik pedig n-nel, akkor a szorzat osztható mn-nel.

Emellett a számok oszthatósági jeleinek tanulmányozása során megismerkedtem a fogalommal "digitális gyökér". Vegyünk egy természetes számot. Határozzuk meg a számjegyeinek összegét. Megtaláljuk az eredmény számjegyeinek összegét is, és így tovább, amíg egyjegyű számot nem kapunk. Az eredményt a szám digitális gyökének nevezzük. Például a 654321 digitális gyökere 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. És most elgondolkodhat a kérdésen: "Mik az oszthatóság jelei, és van-e egyetemes jele az egyik szám oszthatóságának a másikkal?"

fejezet II. A természetes számok oszthatóságának jelei.

2.1. A 2,3,5,9,10-zel való oszthatóság jelei.

Az oszthatóság jelei közül a legkényelmesebbek és a 6. osztályos iskolai matematika tantárgyból legismertebbek:

2-vel osztható. Ha egy természetes szám rekordja páros számjegyre vagy nullára végződik, akkor a szám osztható 2-vel. Az 52738 szám osztható 2-vel, mivel az utolsó 8-as számjegy páros.

3-mal osztható . Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám osztható 3-mal (az 567-es szám osztható 3-mal, mivel az 5+6+7 = 18, a 18 pedig osztható 3-mal.)

5-tel osztható. Ha egy természetes szám rekordja 5-tel vagy nullával végződik, akkor a szám osztható 5-tel (a 130 és 275 szám osztható 5-tel, mert a számok utolsó számjegyei 0 és 5, de a 302 nem osztható 5-tel, mert az utolsó számjegyek nem 0 és 5).

9-cel osztható. Ha a számjegyek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel (a 676332 osztható 9-cel, mert a 6+7+6+3+3+2=27, a 27 pedig osztható 9-cel).

10-el osztható . Ha egy természetes szám rekordja 0-ra végződik, akkor ez a szám osztható 10-zel (a 230 osztható 10-zel, mivel a szám utolsó számjegye 0).

2.2. Az oszthatóság jelei 4,6,8,11,12,13 stb.

Különféle forrásokkal való munka után az oszthatóság egyéb jeleit is megtanultam. Leírok néhányat közülük.

Osztás 6-tal . Ellenőriznünk kell a minket érdeklő szám oszthatóságát 2-vel és 3-mal. A szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha páros, a digitális gyöke pedig osztható 3-mal. (Például a 678 osztható 6, mivel páros és 6 +7+8=21, 2+1=3) Az oszthatóság másik jele: egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha az egyesekhez hozzáadott tízek négyszerese osztható 6-tal. (73,7*4+3=31, a 31 nem osztható 6-tal, tehát a 7 nem osztható 6-tal.)

Osztás 8-cal. Egy szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha utolsó három számjegye 8-cal osztható számot alkot. (12224 osztható 8-cal, mert 224:8=28). Egy háromjegyű szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha a tízesek számának kétszereséhez hozzáadott egyesek és a százak számának négyszerese osztható 8-cal. Például a 952 osztható 8-cal, mert a 8 osztható 9-cel* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

Oszd 4-gyel és 25-tel. Ha az utolsó két számjegy nulla, vagy 4-gyel vagy (és) 25-tel osztható számot fejez ki, akkor a szám osztható 4-gyel vagy (és) 25-tel (az 1500 osztható 4-gyel és 25-tel, mert kettőre végződik nullák, a 348-as szám osztható 4-gyel, mert a 48 osztható 4-tel, de ez a szám nem osztható 25-tel, mert a 48 nem osztható 25-tel, a 675-ös szám osztható 25-tel, mert a 75 osztható 25-tel, de nem osztható 4-gyel, így .k. 75 nem osztható 4-gyel).

Ismerve a prímszámokkal való oszthatóság főbb jeleit, az összetett számokkal való oszthatóság előjeleit levezethetjük:

-vel oszthatóság jele11 . Ha a páros helyeken lévő számjegyek és a páratlan helyeken lévő számjegyek összege közötti különbség osztható 11-gyel, akkor a szám osztható 11-gyel is (az 593868 szám osztható 11-gyel, mert 9 + 8 + 8 = 25, és 5 + 3 + 6 = 14, különbségük 11, a 11 pedig osztható 11-gyel).

A 12-vel osztható jel: Egy szám akkor és csak akkor osztható 12-vel, ha az utolsó két számjegy osztható 4-gyel, és a számjegyek összege osztható 3-mal.

mivel 12 = 4 ∙ 3, azaz A számnak oszthatónak kell lennie 4-gyel és 3-mal.

A 13-mal osztható jel: Egy szám akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha az egymást követő számhármasokból képzett számok váltakozó összege osztható 13-mal adott szám. Honnan tudod például, hogy a 354862625 szám osztható 13-mal? A 625-862+354=117 osztható 13-mal, 117:13=9, tehát a 354862625 is osztható 13-mal.

A 14-gyel osztható jel: egy szám akkor és csak akkor osztható 14-gyel, ha páros számjegyre végződik, és ha az utolsó számjegy nélküli számból az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel.

mivel 14 = 2 ∙ 7, azaz A számnak oszthatónak kell lennie 2-vel és 7-tel.

A 15-tel oszthatóság jele: Egy szám akkor és csak akkor osztható 15-tel, ha 5-re és 0-ra végződik, és a számjegyek összege osztható 3-mal.

mivel 15 = 3 ∙ 5, azaz A számnak oszthatónak kell lennie 3-mal és 5-tel.

A 18-cal való oszthatóság jele: Egy szám akkor és csak akkor osztható 18-cal, ha páros számjegyre végződik, és számjegyeinek összege osztható 9-cel.

mert k18= 2 ∙ 9, azaz. A számnak oszthatónak kell lennie 2-vel és 9-cel.

20-zal oszthatóság jele: egy szám akkor és csak akkor osztható 20-zal, ha a szám 0-ra végződik, és az utolsó előtti számjegy páros.

mivel 20 = 10 ∙ 2 azaz A számnak oszthatónak kell lennie 2-vel és 10-zel.

25-tel oszthatóság jele: egy legalább háromjegyű szám akkor és csak akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegyből képzett szám osztható 25-tel.

-vel oszthatóság jele30 .

-vel oszthatóság jele59 . Egy szám akkor és csak akkor osztható 59-cel, ha a 6-tal szorzott egyesek számához hozzáadott tízek száma osztható 59-cel. Például 767 osztható 59-cel, mivel 76 + 6*7 = 118 és 11 + 6* oszthatók 59 8 = 59-el.

-vel oszthatóság jele79 . Egy szám akkor és csak akkor osztható 79-cel, ha a 8-cal szorzott egységek számához hozzáadott tízek száma osztható 79-cel. Például 711 osztható 79-cel, mivel a 71 + 8*1 = 79 osztható 79-cel.

-vel oszthatóság jele99. Egy szám akkor és csak akkor osztható 99-cel, ha a kétjegyű (egységekkel kezdődő) csoportokat alkotó számok összege osztható 99-cel. Például 12573 osztható 99-cel, mivel 1 + 25 + 73 = 99 osztható 99-cel.

-vel oszthatóság jele100 . Csak azok a számok oszthatók 100-zal, ha az utolsó két számjegy nulla.

A 125-tel osztható jel: egy legalább négyjegyű szám akkor és csak akkor osztható 125-tel, ha az utolsó három számjegyből képzett szám osztható 125-tel.

A fenti jellemzők mindegyikét táblázat formájában foglaljuk össze. (1. melléklet)

2.3 A 7-tel oszthatóság jelei.

1) Teszteléshez vegyük az 5236-os számot. Írjuk fel ezt a számot a következőképpen: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 („szisztematikus » számjelölési forma), és mindenhol a 10-es alapot 3-asra cseréljük); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. Ha a kapott szám osztható (nem osztható) 7-tel, akkor ez a szám osztható (nem osztható) 7-tel. Mivel a 168 osztható 7-tel , akkor 5236 osztható 7-tel. 68:7=24, 5236:7=748.

2) Ebben a jelben pontosan ugyanúgy kell eljárnia, mint az előzőnél, azzal a különbséggel, hogy a szorzást a szélsőjobbról kell kezdeni, és nem 3-mal, hanem 5-tel kell szorozni. (5236 osztva 7-tel , mivel 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) Ezt a jelet kevésbé könnyű megvalósítani az elmében, de nagyon érdekes is. Duplázza meg az utolsó számjegyet, és vonja ki a másodikat a jobb oldalról, duplázza meg az eredményt, és adja hozzá a jobb oldali harmadikat stb., váltakozva kivonás és összeadás, és minden eredményt, ahol lehetséges, 7-tel vagy hét többszörösével csökkentve. Ha a végeredmény osztható (nem osztható) 7-tel, akkor a tesztszám is osztható (nem osztható) 7-tel. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az adott szám számjegyeinek egymást követő hármasaiból képzett számok váltakozó összege osztható 7-tel. Honnan tudod például, hogy a 363862625 szám osztható 7-tel? A 625-862+363=126 osztható 7-tel, 126:7=18, tehát a 363862625 is osztható 7-tel, 363862625:7=51980375.

5) A 7-tel oszthatóság egyik legrégebbi jele a következő. A számjegyeket fordított sorrendben, jobbról balra kell venni, az első számjegyet 1-gyel, a másodikat 3-mal, a harmadikat 2-vel, a negyediket -1-gyel, az ötödiket -3-mal, a hatodik számjegyet -1-gyel megszorozva. 2 stb. (ha a karakterek száma nagyobb, mint 6, akkor az 1, 3, 2, -1, -3, -2 tényezők sorozatát annyiszor kell megismételni, ahányszor szükséges). A kapott termékeket hozzá kell adni. Az eredeti szám osztható 7-tel, ha a kiszámított összeg osztható 7-tel. Itt van például ez a jellemző az 5236 számra. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, tehát az 5236-os szám is osztható 7-tel.

6) A szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az egyesek számához hozzáadott hármas tízes szám osztható 7-tel. Például a 154 osztható 7-tel, mivel a 7 a 49-es szám, amelyre megkapjuk ezen az alapon: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Pascal jele.

B. Pascal (1623-1662), francia matematikus és fizikus nagyban hozzájárult a számok oszthatósági jeleinek tanulmányozásához. Talált egy algoritmust bármely egész szám bármely más egész számmal való oszthatóságának kritériumainak megtalálására, amelyet "A számok oszthatóságának természetéről" című értekezésében tett közzé. Szinte minden jelenleg ismert oszthatósági jel a Pascal-jel speciális esete: „Ha a maradékok összege egy szám osztásakora számjegyenként számonkéntban ben osztvaban ben , majd a számde osztvaban ben ». Ennek ismerete ma is hasznos. Hogyan tudjuk igazolni a fentebb megfogalmazott oszthatósági kritériumokat (például a 7-tel oszthatóság számunkra ismerős kritériumát)? Megpróbálok válaszolni erre a kérdésre. De először állapodjunk meg a számok írásának módjában. Olyan szám felírásához, amelynek számjegyeit betűk jelzik, megegyezünk, hogy vonalat húzunk a betűk fölé. Így az abcdef olyan számot jelöl, amelynek f egysége, e tízes, d százas stb.

abcdef = a . 10 5 + b . 10 4 + c . 10 3 + d . 10 2 + e . 10 + f. Most bebizonyítom a fent megfogalmazott 7-tel osztható tesztet.

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(7-tel való osztás után fennmaradó rész).

Ennek eredményeként megkapjuk a fent megfogalmazott 5. szabályt: egy természetes szám 7-tel való osztásának maradékának kiderítéséhez együtthatókat (az osztásból származó maradékokat) kell aláírnia ennek a számnak a számjegyei alatt jobbról balra: majd minden számjegyet meg kell szorozni az alatta lévő együtthatóval, és össze kell adni az eredményt Termékek; a talált összegnek ugyanannyi lesz a maradéka, ha elosztjuk 7-tel, mint a felvett számnak.

Vegyük példaként a 4591 és 4907 számokat, és a szabályban jelzett módon eljárva megtaláljuk az eredményt:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (a maradék 6) (7-tel nem osztható)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (osztható 7-tel)

Ily módon tetszőleges számmal osztható kritériumot találhat T. Csak meg kell találnia, hogy mely együtthatók (az osztásból származó maradékok) legyenek aláírva a vett A szám számjegyei alatt. Ehhez minden tíz 10-es hatványt, ha lehetséges, ki kell cserélni ugyanazzal a maradékkal, ha elosztjuk T, mint a 10. Amikor T= 3 vagy t = A 9. ábrán ezek az együtthatók nagyon egyszerűnek bizonyultak: mindegyik egyenlő 1-gyel. Ezért a 3-mal vagy 9-cel való oszthatóság tesztje nagyon egyszerűnek bizonyult. Nál nél T= 11, az együtthatók szintén nem voltak összetettek: felváltva egyenlőek 1-gyel és -1-gyel. És amikor t=7 az együtthatók nehezebbnek bizonyultak; ezért a 7-tel oszthatóság kritériuma összetettebbnek bizonyult. Figyelembe véve a 100-ig való osztás jeleit, meggyőződtem arról, hogy a természetes számok legösszetettebb együtthatói 23 (10 23-tól az együtthatók ismétlődnek), 43 (10 39-től az együtthatók ismétlődnek).

A természetes számok oszthatóságának minden felsorolt ​​jele 4 csoportra osztható:

1 csoport- amikor a számok oszthatóságát az utolsó számjegy (mi) határozza meg - ezek a 2-vel, 5-tel, bitegységgel, 4-gyel, 8-cal, 25-tel, 50-nel való oszthatóság jelei.

2 csoport- ha a számok oszthatóságát a szám számjegyeinek összege határozza meg, ezek a 3-mal, 9-cel, 7-tel, 37-tel, 11-gyel (1 jelű) oszthatóság jelei.

3 csoport- ha a számjegyeken végzett műveletek elvégzése után meghatározzák a számok oszthatóságát, ezek a 7-tel, 11-gyel (1 előjel), 13-mal, 19-cel való oszthatóság jelei.

4 csoport- ha más oszthatósági jeleket használunk egy szám oszthatóságának meghatározására, ezek a 6-tal, 15-tel, 12-vel, 14-gyel való oszthatóság jelei.

kísérleti rész

Felmérés

A felmérés 6. és 7. osztályos tanulók körében készült. A felmérésben 58 diák vett részt a Fehérorosz Köztársaság MR Karaidel 1. számú középiskolájának MOBU Karaidel középiskolájában. A következő kérdésekre kérték őket:

Ön szerint vannak az oszthatóságnak egyéb jelei, amelyek különböznek azoktól, amelyeket a leckében tanulmányoztunk?

Vannak-e más természetes számok oszthatóságának jelei?

Szeretné tudni az oszthatóság eme jeleit?

Ismered a természetes számok oszthatóságának jeleit?

A felmérés eredményei azt mutatták, hogy a válaszadók 77%-a gondolja úgy, hogy az oszthatóságnak az iskolában tanultakon kívül más jelei is vannak; 9%-a nem így gondolja, a válaszadók 13%-a találta nehezen a választ. A második kérdésre: "Szeretné tudni más természetes számok oszthatóságának jeleit?" 33%-uk igennel, 17%-uk nemmel válaszolt, 50%-uk pedig nehezen válaszolt. A harmadik kérdésre a válaszadók 100%-a igennel válaszolt. A negyedik kérdésre 89% válaszolt pozitívan, nemmel válaszolt – a kutatás során a felmérésben részt vevő hallgatók 11%-a.

Következtetés

Így a munka során a következő feladatokat sikerült megoldani:

elméleti anyagot tanulmányozott ebben a kérdésben;

az általam ismert 2-es, 3-as, 5-ös, 9-es és 10-es jeleken kívül megtudtam, hogy vannak 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 stb. .;

3) tanulmányozta a Pascal-jelet - bármely természetes számmal való oszthatóság univerzális jelét;

Különböző forrásokkal dolgozva, a vizsgált témában fellelhető anyagot elemezve meggyőződtem arról, hogy vannak más természetes számokkal való oszthatóság jelei is. Például a 7-es, 11-es, 12-es, 13-as, 14-es, 19-es, 37-es számokon, ami megerősítette a természetes számok oszthatóságára vonatkozó egyéb jelek létezésére vonatkozó hipotézisem helyességét. Azt is megtudtam, hogy létezik az oszthatóságnak egy univerzális jele, amelynek algoritmusát Pascal Blaise francia matematikus találta meg, és publikálta „A számok oszthatóságának természetéről” című értekezésében. Ezzel az algoritmussal bármilyen természetes számmal osztható jelet kaphatunk.

Kutatómunka eredménye rendszeresített anyag lett „Számok oszthatóságának jelei” táblázat formájában, amely felhasználható matematika órákon, tanórán kívüli foglalkozásokon az olimpiai feladatok megoldására, az OGE-re és az egységes államvizsgára való felkészítésre. .

A jövőben is a számok oszthatósági előjeleinek feladatmegoldó alkalmazásán kívánok dolgozni.

A felhasznált források listája

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre intézmények / - 25. kiad., ster. — M.: Mnemozina, 2009. — 288 p.

Vorobjov V.N. Az oszthatóság jelei.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Vygodsky M.Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 p.

Gardner M. Matematikai szabadidő. / Alatt. Szerk. Ya.A. Smorodinsky. - M.: Oniks, 1995. - 496 p.

Gelfman E.G., Beck E.F. és egyebek Az oszthatóság esete és egyéb történetek: Matematika tankönyv 6. évfolyamnak. - Tomszk: Tom.un-ta Kiadó, 1992. - 176p.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika: Ref. anyagok: könyv. diákoknak. - 2. kiadás - M .: Oktatás, 1990. - 416 p.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. Tanórán kívüli munka matematikából a 6-8. Moszkva.: Oktatás, 1984. - 289s.

Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Egy matematika tankönyv lapjai mögött. M.: Felvilágosodás, 1989. - 97p.

Kulanin E.D. Matematika. Könyvtár. -M.: EKSMO-Press, 1999-224p.

Perelman Ya.I. Szórakoztató algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199-es évek.

Tarasov B.N. Pascal. -M.: Mol. Őr, 1982.-334.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - a szabad enciklopédia).

http://www.bymath.net (enciklopédia).

1. melléklet

OSZTHATÓSÁGI JELEK TÁBLÁZATA

A természetes számok felosztásának egyszerűsítése érdekében levezették az első tíz számmal, valamint a 11-es, 25-ös számokkal való osztás szabályait, amelyeket egy szakaszba vonnak össze. természetes számok oszthatóságának jelei. Az alábbiakban bemutatjuk azokat a szabályokat, amelyek alapján egy szám elemzése anélkül, hogy azt egy másik természetes számmal osztanánk, választ ad arra a kérdésre, hogy a természetes szám többszöröse-e a 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 és egy bit egység?

Azokat a természetes számokat, amelyeknek az első számjegye 2,4,6,8,0-ra végződik, párosnak nevezzük.

A számok 2-vel való oszthatóságának jele

Minden páros természetes szám osztható 2-vel, például: 172, 94,67 838, 1670.

A számok 3-mal való oszthatóságának jele

Minden olyan természetes szám, amelynek számjegyeinek összege 3 többszöröse, osztható 3-mal. Például:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

A számok 4-gyel való oszthatóságának jele

Minden természetes szám osztható 4-gyel, amelyek utolsó két számjegye nulla vagy 4 többszöröse. Például:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

A számok 5-tel való oszthatóságának jele

A számok 6-tal való oszthatóságának jele

Azok a természetes számok, amelyek egyszerre oszthatók 2-vel és 3-mal, oszthatók 6-tal (minden páros szám, amely osztható 3-mal). Például: 126 (b - páros, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

A számok 9-cel való oszthatóságának jele

Azok a természetes számok oszthatók 9-cel, amelyek számjegyeinek összege 9 többszöröse. Például:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

A számok 10-zel való oszthatóságának jele

A számok 11-gyel való oszthatóságának jele

Csak azok a természetes számok oszthatók 11-gyel, amelyekben a páros helyeket elfoglaló számjegyek összege egyenlő a páratlan helyeket elfoglaló számjegyek összegével, vagy a páratlan helyek számjegyeinek összege és a páros helyek számjegyeinek összege közötti különbséggel a 11 többszöröse. Például:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 és 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 és 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

A számok 25-tel való oszthatóságának jele

Azok a természetes számok oszthatók 25-tel, amelyek utolsó két számjegye nulla vagy 25 többszöröse. Például:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

A számok bitegységgel való oszthatóságának jele

Azokat a természetes számokat egy bitegységre osztjuk, amelyben a nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint a bitegység nulláinak száma. Például: 12 000 osztható 10-zel, 100-zal és 1000-zel.

Az oszthatósági készségek alkalmazása leegyszerűsíti a számításokat, és arányosan növeli azok végrehajtási sebességét. Elemezzük részletesen a fő jellemzőket oszthatósági jellemzők.

Az oszthatóság legegyszerűbb kritériuma egységek: minden szám osztható eggyel. Ugyanolyan elemi és a vele való oszthatóság jeleivel két, öt, tíz. Egy páros szám osztható kettővel, vagy egy, amelynek utolsó számjegye 0, öttel - egy szám, amelynek utolsó számjegye 5 vagy 0. Csak a 0 utolsó számjegyű számokat osztjuk el tízzel. 100 - csak azok a számok, amelyek két utolsó számjegye nulla, be 1000 - csak azok, amelyeknek három utolsó nullája van.

Például:

A 79516 szám osztható 2-vel, mivel 6-ra, páros számra végződik; A 9651 nem osztható 2-vel, mivel az 1 páratlan számjegy; 1790 osztható 2-vel, mert az utolsó számjegy nulla. 3470 osztva lesz 5-tel (az utolsó számjegy 0); Az 1054 nem osztható 5-tel (az utolsó 4). 7800 el lesz osztva 10-zel és 100-zal; 542000 osztható 10-zel, 100-zal, 1000-el.

Kevésbé ismert, de nagyon könnyen használható jellemző oszthatósági jellemzők a 3 És 9 , 4 , 6 És 8, 25 . Vannak még jellemzők oszthatósággal 7, 11, 13, 17, 19 és így tovább, de a gyakorlatban sokkal ritkábban használják őket.

A 3-mal és 9-cel való osztás jellemző tulajdonsága.

A háromés/vagy tovább kilenc maradék nélkül felosztják azokat a számokat, amelyeknél a számjegyek összeadásának eredménye három és/vagy kilenc többszöröse.

Például:

Az 156321 szám, az 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 összeadás eredménye rendre 3-mal, illetve 9-cel, maga a szám osztható 3-mal és 9-cel. A 79123 szám nem lesz osztva 3-mal vagy 9-cel, így a számjegyeinek összege (22) nem osztható ezekkel a számokkal.

A 4-gyel, 8-cal, 16-tal stb. való osztás jellemző vonása.

Egy szám maradék nélkül osztható vele négy, ha az utolsó két számjegye nulla, vagy 4-gyel osztható szám. Minden más esetben a maradék nélküli osztás nem lehetséges.

Például:

A 75300 szám osztható 4-gyel, mivel az utolsó két számjegy nulla; A 48834 nem osztható 4-gyel, mert az utolsó két számjegy 34-et ad, ami nem osztható 4-gyel; A 35908 osztható 4-gyel, mivel a 08 utolsó két számjegye a 4-gyel osztható 8-at adja.

Hasonló elv érvényesül a vele való oszthatóság ismérvére nyolc. Egy szám osztható nyolccal, ha az utolsó három számjegye nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot. Ellenkező esetben az osztásból kapott hányados nem egész szám.

Ugyanazok a tulajdonságok a következővel való osztáshoz 16, 32, 64 stb., de a mindennapi számításokban nem használják őket.

A 6-tal oszthatóság jellemző vonása.

A szám osztható vele hat, ha kettővel és hárommal is osztható, az összes többi lehetőséggel, maradék nélkül nem lehet osztani.

Például:

A 126 osztható 6-tal, mivel osztható 2-vel (a végső páros szám 6) és 3-mal (az 1 + 2 + 6 = 9 számjegyek összege osztható hárommal)

A 7-tel oszthatóság jellemző vonása.

A szám osztható vele hét ha a dupla utolsó szám és az "utolsó számjegy nélkül maradt szám" különbsége osztható héttel, akkor maga a szám osztható héttel.

Például:

A szám 296492. Vegyük az utolsó „2” számjegyet, duplázzuk meg, így 4 jön ki. Kivonjuk a 29649-et - 4 = 29645. Problémás annak megállapítása, hogy osztható-e 7-tel, ezért elemezzük újra. Ezután megduplázzuk az utolsó "5" számjegyet, így 10 jön ki. Kivonjuk a 2964-et - 10 = 2954. Az eredmény ugyanaz, nem világos, hogy osztható-e 7-tel, ezért folytatjuk az elemzést. A "4" utolsó számjegyével elemezzük a dupláját, 8 jön ki. Kivonjuk a 295-öt - 8 = 287. Összehasonlítunk kétszáznyolcvanhetet - nem osztható 7-tel, ezzel kapcsolatban folytatjuk a keresést. Analógia szerint az utolsó számjegy, a "7", megduplázva, 14-et kap. Vonja ki a 28-14-et \u003d 14-et. A 14-es szám osztható 7-tel, tehát az eredeti szám osztható 7-tel.

A 11-gyel oszthatóság jellemző vonása.

A tizenegy csak azok a számok oszthatók, amelyeknél a páratlan helyekre elhelyezett számjegyek összeadásának eredménye vagy egyenlő a páros helyekre elhelyezett számjegyek összegével, vagy eltér egy tizeneggyel osztható számmal.

Például:

A 103 785 szám osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyeken lévő számjegyek összege, 1 + 3 + 8 = 12, egyenlő a páros helyeken lévő számjegyek összegével, 0 + 7 + 5 = 12. A 9 163 627 szám osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyeken lévő számjegyek összege 9 + 6 + 6 + 7 = 28, a páros helyeken lévő számjegyek összege pedig 1 + 3 + 2 = 6; a 28 és 6 számok különbsége 22, és ez a szám osztható 11-gyel. A 461 025 szám nem osztható 11-gyel, mivel a 4 + 1 + 2 = 7 és a 6 + 0 + 5 = 11 számok nem egyenlőek egymást, és a 11 - 7 = 4 különbségük nem osztható 11-gyel.

A 25-tel oszthatóság jellemző vonása.

A huszonöt osztja azokat a számokat, amelyek két utolsó számjegye nulla, vagy olyan számot alkot, amely osztható huszonöttel (vagyis 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződő számokat). Más esetekben a szám nem osztható teljesen 25-tel.

Például:

9450 osztható 25-tel (50-re végződik); Az 5085 nem osztható 25-tel.