Vzorce a zákony logiky

V úvodnej lekcii o základy matematickej logiky, zoznámili sme sa so základnými pojmami tohto úseku matematiky a teraz dostáva téma prirodzené pokračovanie. Okrem nového teoretického, alebo skôr ani nie teoretického - ale všeobecného vzdelávacieho materiálu nás čakajú aj praktické úlohy, a preto ak ste na túto stránku prišli z vyhľadávača a/alebo sa v materiáli zle orientujete, kliknite na odkaz vyššie a začnite od predchádzajúceho článku. Okrem toho na cvičenie potrebujeme 5 pravdivostné tabuľky logické operácie ktoré ja vysoko odporucany prepísať rukou.

NEpamätajte si, NEtlačte, a to ešte raz pochopte a prepíšte na papier vlastnou rukou - tak, aby boli pred vašimi očami:

– tabuľka NIE;
- tabuľka I;
– tabuľka OR;
– implikačná tabuľka;
- Tabuľka ekvivalencie.

Je to veľmi dôležité. V zásade by bolo vhodné ich očíslovať "Tabuľka 1", "Tabuľka 2" atď., ale opakovane som zdôraznil chybu v tomto prístupe - ako sa hovorí, v jednom zdroji bude tabuľka prvá a v druhom - sto prvá. Preto budeme používať „prirodzené“ názvy. Pokračujeme:

V skutočnosti ste už oboznámení s konceptom logického vzorca. Dám štandardný, ale skôr vtipný definícia: vzorce výrokové algebry sa nazývajú:

1) akékoľvek základné (jednoduché) vyhlásenia;

2) ak a sú vzorce, potom vzorce sú tiež vyjadrením formy
.

Neexistujú žiadne iné vzorce.

Vzorec je najmä akákoľvek logická operácia, ako napríklad logické násobenie. Venujte pozornosť druhému bodu - umožňuje rekurzívne spôsob, ako „vytvoriť“ ľubovoľne dlhý vzorec. Pretože sú vzorce, potom je tiež vzorec; keďže a sú vzorce, teda - aj vzorec a pod. Akékoľvek elementárne vyhlásenie (opäť podľa definície) môže zadať vzorec viac ako raz.

Vzorec nie je napríklad záznam - a tu je zjavná analógia s "algebraickým smetím", z ktorého nie je jasné, či treba čísla sčítať alebo násobiť.

Logický vzorec si možno predstaviť ako logická funkcia. Napíšme rovnakú spojku vo funkčnom tvare:

Elementárne príkazy v tomto prípade zohrávajú aj úlohu argumentov (nezávislých premenných), ktoré v klasickej logike môžu nadobúdať 2 hodnoty: pravda alebo Nepravdivé. V nasledujúcom texte budem pre pohodlie niekedy nazývať jednoduché vyhlásenia premenných.

Tabuľka popisujúca logický vzorec (funkcia) sa nazýva, ako už bolo spomenuté, pravdivostná tabuľka. Prosím - známy obrázok:

Princíp tvorby pravdivostnej tabuľky je nasledovný: „na vstupe“ treba vypísať všetky možné kombinácie pravdy a lži, ktoré môžu elementárne tvrdenia (argumenty) akceptovať. V tomto prípade vzorec obsahuje dva výroky a je ľahké zistiť, že existujú štyri takéto kombinácie. „Na výstupe“ dostaneme zodpovedajúce logické hodnoty celého vzorca (funkcie).

Musím povedať, že „výstup“ sa tu ukázal ako „v jednom kroku“, ale vo všeobecnosti je logický vzorec zložitejší. A v takýchto "ťažkých prípadoch" je potrebné dodržiavať poradie vykonávania logických operácií:

- najskôr sa vykoná negácia;
- po druhé - spojka;
- potom - disjunkcia;
- potom implikácia ;
- a nakoniec, najnižšia priorita má ekvivalent.

Napríklad záznam znamená, že najprv musíte vykonať logické násobenie a potom - logické sčítanie:. Rovnako ako v "obyčajnej" algebre - "najskôr vynásobíme a potom sčítame."

Poradie akcií je možné zmeniť obvyklým spôsobom - zátvorky:
- tu sa najskôr vykoná disjunkcia a až potom „silnejšia“ operácia.

Chápe to snáď každý, ale pre istotu hasič: a to dve rôzne vzorce! (formálne aj vecne)

Urobme pravdivostnú tabuľku pre vzorec. Tento vzorec obsahuje dva základné výroky a „na vstupe“ musíme uviesť všetky možné kombinácie jednotiek a núl. Aby sme sa vyhli nejasnostiam a nezrovnalostiam, súhlasíme s uvedením kombinácií presne v tomto poradí (ktoré vlastne používam de facto od úplného začiatku):

Vzorec obsahuje dve logické operácie a podľa ich priority musíte najskôr vykonať negácia Vyhlásenia. Stĺpec „pe“ negujeme - jednotky zmeníme na nuly a nuly na jednotky:

V druhom kroku sa pozrieme na stĺpce a aplikujeme na ne ALEBO operácia. Keď sa pozriem trochu dopredu, poviem, že disjunkcia je permutabilná (a sú to isté), a preto je možné stĺpce analyzovať v obvyklom poradí - zľava doprava. Pri vykonávaní logického sčítania je vhodné použiť nasledujúce aplikované uvažovanie: "Ak sú dve nuly, dáme nulu, ak aspoň jedna jednotka, dáme jednu":

Pravdivostná tabuľka je zostavená. A teraz si spomeňme na starú dobrú implikáciu:

...pozorne-pozorne...pozri sa na posledné stĺpce.... Vo výrokovej algebre sa takéto vzorce nazývajú ekvivalent alebo identické:

(ikona identity sú tri vodorovné čiary)

V 1. časti lekcie som sľúbil, že implikáciu vyjadrím prostredníctvom základných logických operácií a splnenie sľubu na seba nenechalo dlho čakať! Tí, ktorí si želajú, môžu do implikácie vložiť zmysluplný význam (napr. „Ak prší, vonku je vlhko“) a nezávisle analyzovať ekvivalentné vyhlásenie.

Poďme formulovať všeobecná definícia: volajú sa dva vzorce ekvivalentný (identický), ak majú rovnaké hodnoty pre akúkoľvek množinu hodnôt obsiahnutú v týchto vzorcoch premenných (základné vyhlásenia). Aj to hovoria "vzorce sú ekvivalentné, ak sú ich pravdivostné tabuľky rovnaké", ale toto slovné spojenie sa mi veľmi nepáči.

Cvičenie 1

Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre vzorec a uistite sa, že identita, ktorú poznáte, je pravdivá.

Zopakujme postup riešenia problému:

1) Keďže vzorec obsahuje dve premenné, celkovo budú existovať 4 možné sady núl a jednotiek. Zapisujeme ich v poradí uvedenom vyššie.

2) Implikácie sú „slabšie“ ako spojky, ale sú umiestnené v zátvorkách. Vyplníme stĺpec, pričom je vhodné použiť nasledujúce aplikované zdôvodnenie: "ak nula vyplýva z jednotky, potom dáme nulu, vo všetkých ostatných prípadoch - jedna". Ďalej vyplňte stĺpec pre implikáciu a súčasne Pozor!– stĺpce a mali by sa analyzovať „sprava doľava“!

3) A v záverečnej fáze vyplňte posledný stĺpec. A tu je vhodné argumentovať takto: "ak sú v stĺpcoch dve jednotky, dáme jednu, vo všetkých ostatných prípadoch - nulu".

A nakoniec skontrolujeme pravdivostnú tabuľku ekvivalencie .

Základné ekvivalencie výrokovej algebry

Práve sme sa stretli s dvomi z nich, ale záležitosť sa, samozrejme, neobmedzuje len na nich. Existuje pomerne veľa identít a uvediem tie najdôležitejšie a najznámejšie z nich:

Komutivita konjunkcie a komutivita disjunkcie

komutatívnosť je permutácia:

Pravidlá známe z prvého ročníka: „V dôsledku preskupenia faktorov (pojmov) sa produkt (súčet) nemení“. Ale napriek všetkej zdanlivej elementárnosti tejto vlastnosti nie je zďaleka vždy pravdivá, najmä je nekomutatívna násobenie matice (vo všeobecnosti ich nemožno zmeniť), a krížový súčin vektorov– antikomutatívne (permutácia vektorov znamená zmenu znamienka).

A okrem toho tu chcem opäť zdôrazniť formalizmus matematickej logiky. Takže napríklad frázy "Študent zložil skúšku a pil" a "Študent vypil a zložil skúšku" z obsahového hľadiska odlišné, no z hľadiska formálnej pravdivosti nerozoznateľné. ... Takýchto študentov pozná každý z nás a z etických dôvodov nebudeme menovať konkrétne mená =)

Asociativita logického násobenia a sčítania

Alebo ak je „školský štýl“ asociatívna vlastnosť:

Distribučné vlastnosti

Upozorňujeme, že v druhom prípade bude nesprávne hovoriť o „otvorení zátvoriek“, v istom zmysle je tu „fikcia“ - koniec koncov, môžu byť úplne odstránené: násobenie je silnejšia operácia.

A opäť, tieto zdanlivo „banálne“ vlastnosti nie sú ani zďaleka splnené vo všetkých algebraických systémoch a navyše vyžadujú dôkaz (o čom si čoskoro povieme). Mimochodom, druhý distributívny zákon neplatí ani v našej „obyčajnej“ algebre. A skutočne:

Zákon idempotencie

Čo robiť, latinčina....

Len nejaká zásada zdravej psychiky: „Ja a ja som ja“, „ja alebo ja som tiež ja“ =)

A tu sú niektoré podobné identity:

... no, niečo som dokonca zavesil ... takže zajtra sa môžete zobudiť s doktorátom =)

Zákon dvojitej negácie

Tu sa už naznačuje príklad s ruským jazykom - každý veľmi dobre vie, že dve častice „nie“ znamenajú „áno“. A na zvýšenie emocionálneho zafarbenia popierania sa často používajú tri „nie“:
- aj s malým dôkazom to fungovalo!

Absorpčné zákony

- Bol to chlapec? =)

V správnej identite možno zátvorky vynechať.

De Morganove zákony

Predpokladajme prísneho učiteľa (ktorého meno tiež poznáte :)) robí skúšku, ak - Študent odpovedal na 1. otázku a – Študent odpovedal na 2. otázku. Potom vyhlásenie, v ktorom sa uvádza, že Študent nie zložil skúšku, bude ekvivalentné príkazu - Študent nie odpovedal na 1. otázku alebo k 2. otázke.

Ako je uvedené vyššie, ekvivalencie podliehajú dôkazu, ktorý sa štandardne vykonáva pomocou pravdivostných tabuliek. V skutočnosti sme už dokázali ekvivalencie, ktoré vyjadrujú implikáciu a ekvivalenciu, a teraz je čas opraviť techniku ​​riešenia tohto problému.

Dokážme totožnosť. Keďže obsahuje jeden príkaz, potom sú možné len dve možnosti „na vstupe“: jedna alebo nula. Ďalej priradíme jeden stĺpec a aplikujeme na ne pravidlo A:

V dôsledku toho sa „na výstupe“ získa vzorec, ktorého pravdivosť sa zhoduje s pravdivosťou tvrdenia. Ekvivalencia bola preukázaná.

Áno, tento dôkaz je primitívny (a niekto povie, že je to "hlúpe"), no typický učiteľ matematiky logiky z neho vytrasie dušu. Preto by sa ani s takýmito jednoduchými vecami nemalo zaobchádzať s pohŕdaním.

Teraz sa presvedčíme napríklad o platnosti de Morganovho zákona.

Najprv vytvorte pravdivostnú tabuľku pre ľavú stranu. Keďže je disjunkcia v zátvorkách, najprv ju vykonáme, potom stĺpec negujeme:

Ďalej zostavíme pravdivostnú tabuľku pre pravú stranu. Aj tu je všetko transparentné - v prvom rade vykonávame viac „silných“ negatív a potom aplikujeme na stĺpce pravidlo A:

Výsledky sa zhodovali, takže identita je preukázaná.

Akákoľvek ekvivalencia môže byť reprezentovaná ako rovnako pravdivý vzorec. Znamená to, že PRE AKÚKOĽVEK počiatočnú sadu núl a jednotiek"na výstupe" sa získa striktne jednota. A existuje na to veľmi jednoduché vysvetlenie: keďže sa pravdivostné tabuľky a zhodujú, potom sú, samozrejme, ekvivalentné. Skombinujme napríklad ľavú a pravú časť práve preukázanej de Morganovej identity ekvivalenciou:

Alebo kompaktnejšie:

Úloha 2

Dokážte nasledujúce ekvivalencie:

b)

Stručné riešenie na konci hodiny. Nebuďme leniví! Snažte sa nielen robiť tabuľky pravdy, ale aj jasne formulovať závery. Ako som nedávno poznamenal, zanedbávanie jednoduchých vecí môže byť veľmi, veľmi drahé!

Pokračujeme v oboznamovaní sa so zákonmi logiky!

Áno, úplne správne - už s nimi pracujeme s veľkou silou a hlavne:

Pravda pri , sa volá rovnako pravdivý vzorec alebo zákon logiky.

Na základe predtým odôvodneného prechodu od ekvivalencie k identicky pravdivému vzorcu sú všetky vyššie uvedené identity zákonmi logiky.

Vzorec, ktorý má hodnotu Klamať pri akýkoľvek súbor hodnôt premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté, sa volá rovnako nepravdivý vzorec alebo rozpor.

Typický príklad protirečenia od starých Grékov:
Žiadne tvrdenie nemôže byť pravdivé a zároveň nepravdivé.

Dôkaz je triviálny:

„Výstup“ dostal výlučne nuly, takže vzorec je skutočne taký identický nepravdivý.

Akýkoľvek rozpor je však aj zákon logiky, najmä:

Nie je možné obsiahnuť takú rozsiahlu tému v jednom článku, a preto sa obmedzím len na niekoľko ďalších zákonov:

Zákon vylúčeného stredu

- v klasickej logike je každé tvrdenie pravdivé alebo nepravdivé a neexistuje žiadna tretia cesta. „Byť či nebyť“ – to je otázka.

Vytvorte si vlastnú tabuľku pravdy a presvedčte sa, že je rovnako pravdivé vzorec.

Zákon kontrapozície

Tento zákon bol aktívne zveličený, keď sme diskutovali o podstate nevyhnutná podmienka, pamätajte: "Ak je vonku počas dažďa vlhko, potom z toho vyplýva, že ak je vonku sucho, tak určite nepršalo.".

Z tohto zákona tiež vyplýva, že ak je spravodlivé rovno teorém, potom výrok, ktorý sa niekedy nazýva opak teorém.

Ak pravda obrátene veta, potom na základe zákona o kontrapozícii platí aj veta, opačný reverz:

A vráťme sa k našim zmysluplným príkladom: k výrokom - číslo je deliteľné 4, - číslo je deliteľné 2 fér rovno a opak teorémy, ale nepravdivé obrátene a opačný reverz teorémy. Pre „dospelú“ formuláciu Pytagorovej vety sú pravdivé všetky 4 „smery“.

Zákon sylogizmu

Tiež klasika žánru: "Všetky duby sú stromy, všetky stromy sú rastliny, preto sú všetky duby rastliny".

No a tu by som opäť rád poznamenal formalizmus matematickej logiky: ak si náš prísny Učiteľ myslí, že istý Študent je dub, tak z formálneho hľadiska je tento Študent určite rastlina =) ... hoci, ak porozmýšľaj, môže to byť aj z neformálneho = )

Urobme pravdivostnú tabuľku pre vzorec. V súlade s prioritou logických operácií dodržiavame nasledujúci algoritmus:

1) vykonať dôsledky a . Vo všeobecnosti môžete okamžite vykonať 3. implikáciu, ale je to s ňou pohodlnejšie (a povolené!) prísť na to trochu neskôr

2) platí pre stĺpce pravidlo A;

3) teraz vykonáme;

4) a v poslednom kroku aplikujte implikáciu na stĺpce a .

Neváhajte a ovládajte proces ukazovákom a prostredníkom :))


Z posledného stĺpca si myslím, že je všetko jasné bez komentárov:
, čo malo byť preukázané.

Úloha 3

Zistite, či je nasledujúci vzorec logickým zákonom:

Stručné riešenie na konci hodiny. Áno, a skoro by som zabudol – dohodnime sa, že začiatočné množiny núl a jednotiek uvedieme presne v rovnakom poradí ako v dôkaze zákona o sylogizme. Samozrejme, riadky sa dajú preusporiadať, ale bude to veľmi ťažké zosúladiť s mojím riešením.

Konverzia booleovských vzorcov

Okrem svojho „logického“ účelu sa ekvivalencie široko používajú na transformáciu a zjednodušenie vzorcov. Zhruba povedané, jedna časť identity môže byť vymenená za inú. Ak teda napríklad narazíte na fragment v logickom vzorci, potom podľa zákona idempotencie môžete (a mali by ste) namiesto neho písať jednoducho. Ak vidíte , potom podľa zákona absorpcie zjednodušte zápis na . A tak ďalej.

Okrem toho je tu ešte jedna dôležitá vec: identity platia nielen pre elementárne výroky, ale aj pre ľubovoľné vzorce. Napríklad:

, kde sú nejaké (tak zložité, ako chcete) vzorce.

Transformujme napríklad komplexnú implikáciu (1. identita):

Ďalej na zátvorku aplikujeme „komplexný“ de Morganov zákon, pričom vzhľadom na prioritu operácií je to zákon , kde :

Zátvorky je možné odstrániť, pretože vnútri je „silnejšia“ konjunkcia:

No, s komutatívnosťou je vo všeobecnosti všetko jednoduché - nemusíte ani nič označovať ... niečo sa mi vrylo do duše zákon sylogizmu :))

Zákon teda môže byť prepísaný do zložitejšej podoby:

Vyslovte nahlas logickú reťaz „s dubom, stromom, rastlinou“ a pochopíte, že vecný význam zákona sa preskupením implikácií vôbec nezmenil. Je to, že znenie sa stalo originálnejším.

Ako tréning zjednodušujeme vzorec.

kde začať? Predovšetkým pre pochopenie poradia úkonov: tu sa negácia aplikuje na celú zátvorku, ktorá je s výrokom „prichytená“ „trochu slabšou“ spojkou. V podstate máme pred sebou logický súčin dvoch faktorov: . Zo zvyšných dvoch operácií má implikácia najnižšiu prioritu, a preto má celý vzorec nasledujúcu štruktúru: .

Spravidla sa v prvom kroku (krokoch) zbavte ekvivalencie a implikácie (ak sú) a zredukovať vzorec na tri základné logické operácie. Čo môžem povedať…. Logicky.

(1) Používame identitu . A v našom prípade.

Potom zvyčajne nasleduje „rozoberanie“ pomocou držiakov. Najprv celé riešenie, potom komentáre. Aby som nezískal „maslový olej“, použijem „obvyklé“ ikony rovnosti:

(2) Na vonkajšie zátvorky aplikujeme de Morganov zákon, kde .

Lekcia informatiky je určená pre žiakov 10. ročníka strednej školy, ktorej učebné osnovy zahŕňajú časť „Algebra logiky“. Táto téma je pre žiakov veľmi náročná, preto som ich ako pedagóg chcel zaujať štúdiom logických zákonov, zjednodušovaním logických výrazov a so záujmom pristupovať k riešeniu logických úloh. V bežnej forme je vyučovanie na túto tému únavné a problematické a niektoré definície nie sú deťom vždy jasné. V súvislosti s poskytovaním informačného priestoru som mal možnosť uverejňovať svoje lekcie v „learning“ shell. Študenti, ktorí sa doň zapíšu, môžu tento kurz navštevovať vo svojom voľnom čase a znovu si prečítať to, čo im na hodine nebolo jasné. Niektorí žiaci, ktorí majú vymeškané hodiny pre chorobu, si vymeškanú tému dopĺňajú doma alebo v škole a sú vždy pripravení na ďalšiu hodinu. Táto forma vyučovania mnohým deťom veľmi vyhovovala a tie zákony, ktoré boli pre ne nepochopiteľné, sa dnes učia počítačovou formou oveľa jednoduchšie a rýchlejšie. Ponúkam jednu z týchto hodín informatiky, ktorá prebieha integrovane s IKT.

Plán lekcie

1. Vysvetlenie nového materiálu, so zapojením počítača - 25 minút.
2. Základné pojmy a definície uvedené v "učení" - 10 minút.
3. Materiál pre zvedavcov - 5 minút.
4. Domáca úloha - 5 minút.

1. Vysvetlenie nového materiálu

Zákony formálnej logiky

Najjednoduchšie a najnutnejšie skutočné súvislosti medzi myšlienkami sú vyjadrené v základných zákonoch formálnej logiky. Sú to zákony identity, neprotirečenia, vylúčeného stredného, ​​dostatočného dôvodu.

Tieto zákony sú zásadné, pretože v logike zohrávajú obzvlášť dôležitú úlohu, sú najvšeobecnejšie. Umožňujú vám zjednodušiť logické výrazy a vytvárať závery a dôkazy. Prvé tri z vyššie uvedených zákonov identifikoval a sformuloval Aristoteles a zákon dostatočného rozumu - G. Leibniz.

Zákon identity: v procese určitého uvažovania musí byť každý pojem a úsudok identický sám so sebou.

Zákon neprotirečenia: nie je možné, aby jedno a to isté oko súčasne bolo a nebolo inherentné tomu istému v rovnakom ohľade. To znamená, že nie je možné súčasne niečo potvrdiť a poprieť.

Zákon vylúčeného stredu: z dvoch protichodných výrokov je jeden pravdivý, druhý nepravdivý a tretí nie je daný.

Zákon dostatočného dôvodu: Každá skutočná myšlienka musí byť dostatočne odôvodnená.

Posledný zákon hovorí, že dôkaz niečoho predpokladá opodstatnenie práve a len pravdivých myšlienok. Falošné myšlienky sa nedajú dokázať. Jedno dobré latinské príslovie hovorí: „Mýliť sa je spoločné pre každého človeka, ale len hlupák môže trvať na omyle.“ Pre tento zákon neexistuje žiadny vzorec, keďže má len vecný charakter. Ako argumenty na potvrdenie pravdivej myšlienky možno použiť pravdivé úsudky, faktický materiál, štatistické údaje, vedecké zákony, axiómy, overené vety.

Zákony výrokovej algebry

Algebra výrokov (algebra logiky) je časť matematickej logiky, ktorá študuje logické operácie s výrokmi a pravidlá pre transformáciu zložitých výrokov.

Pri riešení mnohých logických problémov je často potrebné zjednodušiť vzorce získané formalizáciou ich podmienok. Zjednodušenie vzorcov v algebre výrokov sa uskutočňuje na základe ekvivalentných transformácií založených na základných logických zákonoch.

Zákony algebry výrokov (algebra logiky) sú tautológie.

Niekedy sa tieto zákony nazývajú teorémy.

Vo výrokovej algebre sú logické zákony vyjadrené ako rovnosť ekvivalentných vzorcov. Medzi zákonmi sa rozlišujú najmä tie, ktoré obsahujú jednu premennú.

Prvé štyri z nasledujúcich zákonov sú základnými zákonmi výrokovej algebry.

Zákon o identite:

Každý pojem a úsudok je identický sám so sebou.

Zákon identity znamená, že v procese uvažovania nemožno nahradiť jednu myšlienku druhou, jeden pojem druhým. Ak dôjde k porušeniu tohto zákona, sú možné logické chyby.

Napríklad diskusia Správne hovoria, že jazyk ťa privedie do Kyjeva, ale včera som si kúpil údený jazyk, čo znamená, že teraz môžem bezpečne ísť do Kyjeva nesprávne, pretože prvé a druhé slovo „jazyk“ označujú rôzne pojmy.

V diskusii: Pohyb je večný. Chodiť do školy je pohyb. Chodenie do školy je preto navždy slovo "pohyb" sa používa v dvoch rôznych významoch (prvý - vo filozofickom zmysle - ako atribút hmoty, druhý - v bežnom zmysle - ako pohyb v priestore), čo vedie k nesprávnemu záveru.

Zákon neprotirečenia:

Výrok a jeho negácia nemôžu byť pravdivé súčasne. To znamená, že ak vyhlásenie ALE je pravda, potom jej negácia nie A musí byť nepravdivé (a naopak). Potom bude ich produkt vždy falošný.

Práve táto rovnosť sa často používa pri zjednodušovaní zložitých logických výrazov.

Niekedy je tento zákon formulovaný takto: dve tvrdenia, ktoré si odporujú, nemôžu byť súčasne pravdivé. Príklady nedodržania zákona o neprotirečení:

1. Na Marse je život a na Marse nie je život.

2. Olya vyštudovala strednú školu a je v 10. ročníku.

Zákon vylúčeného stredu:

Zároveň môže byť výrok pravdivý alebo nepravdivý, neexistuje žiadne tretie. Pravda buď ALE, alebo nie A. Príklady implementácie zákona vylúčeného stredu:

1. Číslo 12345 je buď párne alebo nepárne, žiadne tretie neexistuje.

2. Spoločnosť hospodári so stratou alebo ziskom.

3. Táto kvapalina môže alebo nemusí byť kyselina.

Zákon vylúčeného stredu nie je zákonom uznávaným všetkými logikmi ako univerzálny zákon logiky. Tento zákon sa uplatňuje tam, kde sa znalosti zaoberajú rigidnou situáciou: "buď - alebo", "pravda-nepravda". Tam, kde existuje neistota (napríklad v uvažovaní o budúcnosti), sa často nedá uplatniť právo vylúčeného stredu.

Zvážte nasledujúce vyhlásenie: Tento návrh je nepravdivý. Nemôže to byť pravda, pretože tvrdí, že je nepravdivá. Ale ani to nemôže byť nepravdivé, lebo potom by to bola pravda. Toto tvrdenie nie je pravdivé ani nepravdivé, a preto je porušený zákon vylúčeného stredu.

Paradox(grécky paradoxos - neočakávaný, zvláštny) v tomto príklade vyplýva zo skutočnosti, že veta odkazuje na seba. Ďalším známym paradoxom je kadernícky problém: V jednom meste kaderník ostrihá vlasy všetkých obyvateľov, okrem tých, ktorí si strihajú vlasy sami. Kto strihá holičovi vlasy? V logike nie je možné pre svoju formálnosť získať formu takéhoto odkazujúceho vyhlásenia. To opäť potvrdzuje myšlienku, že pomocou algebry logiky nie je možné vyjadriť všetky možné myšlienky a argumenty. Ukážme si, ako možno na základe definície výrokovej ekvivalencie získať zvyšok zákonov výrokovej algebry.

Napríklad definujme, čo je ekvivalentné (ekvivalentné) ALE(dvakrát nie ALE, teda negácia negácie ALE). Aby sme to dosiahli, vytvoríme pravdivú tabuľku:

Podľa definície ekvivalencie musíme nájsť stĺpec, ktorého hodnoty sa zhodujú s hodnotami stĺpca ALE. Toto bude stĺpec ALE.

Môžeme teda formulovať dvojité právonegácie:

Ak niektoré tvrdenie negujeme dvakrát, výsledkom je pôvodný výrok. Napríklad vyhlásenie ALE= Matroskin- kat je ekvivalentné povedať A = Nie je pravda, že Matroskin nie je mačka.

Podobne možno odvodiť a overiť nasledujúce zákony:

Konštantné vlastnosti:

Zákony idempotencie:

Bez ohľadu na to, koľkokrát opakujeme: TV zapnutá alebo TV zapnutá alebo TV zapnutá... význam vety sa nezmení. Rovnako z opakovania Vonku je teplo, vonku je teplo... nie o jeden stupeň teplejšie.

Zákony komutácie:

A v B = B v A

A a B = B a A

operandy ALE a AT v operáciách disjunkcie a konjunkcie možno zameniť.

Zákony asociatívnosti:

Av(BvC) = (AvB) vC;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ak výraz používa iba operáciu disjunkcie alebo iba operáciu spojenia, potom môžete zátvorky zanedbať alebo ich usporiadať ľubovoľne.

Zákony distribúcie:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributívna disjunkcia
ohľadom konjunkcie)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(distributívnosť konjunkcie
ohľadom disjunkcie)

Distributívny zákon konjunkcie vzhľadom na disjunkciu je podobný distributívnemu zákonu v algebre, ale zákon distributívnej disjunkcie vzhľadom na konjunkciu nemá analógiu, platí len v logike. Preto to treba dokázať. Dôkaz sa najlepšie vykoná pomocou pravdivostnej tabuľky:

Absorpčné zákony:

Av (A & B) = A

A & (A v B) = A

Vykonajte dôkaz o absorpčných zákonoch sami.

De Morganove zákony:

Slovné formulácie de Morganových zákonov:

Mnemotechnické pravidlo: na ľavej strane identity stojí nad celým výrokom operácia negácie. Na pravej strane sa zdá, že je rozbitá a nad každým z jednoduchých výrokov stojí negácia, no zároveň sa mení operácia: disjunkcia na konjunkciu a naopak.

Príklady implementácie de Morganovho zákona:

1) Vyhlásenie Nie je pravda, že viem arabsky alebo čínsky je totožné s výrokom Neviem po arabsky a neviem po čínsky.

2) Vyhlásenie Nie je pravda, že som sa poučil a dostal z toho D je totožné s výrokom Buď som sa nenaučil lekciu, alebo som z toho nedostal A.

Nahradenie operácií implikácie a ekvivalencie

Operácie implikácie a ekvivalencie niekedy nepatria medzi logické operácie konkrétneho počítača alebo kompilátora z programovacieho jazyka. Tieto operácie sú však potrebné na riešenie mnohých problémov. Existujú pravidlá na nahradenie týchto operácií postupnosťami operácií negácie, disjunkcie a konjunkcie.

Takže vymeňte prevádzku dôsledky možné podľa nasledujúceho pravidla:

Ak chcete nahradiť operáciu rovnocennosť existujú dve pravidlá:

Je ľahké overiť platnosť týchto vzorcov zostrojením pravdivostných tabuliek pre pravú a ľavú stranu oboch identít.

Znalosť pravidiel nahrádzania operácií implikácie a ekvivalencie pomáha napríklad správne zostrojiť negáciu implikácie.

Zvážte nasledujúci príklad.

Nech je uvedené vyhlásenie:

E = Nie je pravda, že ak vyhrám súťaž, dostanem cenu.

Nechaj ALE= Vyhrám súťaž

B = dostanem cenu.

Preto E = vyhrám súťaž, ale nedostanem cenu.

Nasledujúce pravidlá sú tiež zaujímavé:

Ich platnosť môžete dokázať aj pomocou pravdivostných tabuliek.

Zaujímavý je ich prejav v prirodzenom jazyku.

Napríklad fráza

Ak Macko Pú jedol med, je sýty

je totožné s frázou

Ak Macko Pú nie je sýty, potom nejedol med.

Cvičenie: premýšľajte o frázach-príkladoch o týchto pravidlách.

2. Základné pojmy a definície v prílohe 1

3. Materiál pre zvedavcov v prílohe 2

4. Domáce úlohy

1) Naučte sa zákony logiky pomocou kurzu Algebra logiky, ktorý sa nachádza v informačnom priestore (www.learning.9151394.ru).

2) Skontrolujte dôkaz De Morganových zákonov na PC vytvorením pravdivostnej tabuľky.

Aplikácie

1. Základné pojmy a definície (príloha 1).
2. Materiál pre zvedavcov (príloha 2).

1. Doplňte tabuľku tak, že do desiatkovej pozičnej číselnej sústavy napíšete čísla zodpovedajúce číslam zapísaným v rímskej číselnej sústave:

2. Preveďte čísla z rímskej číselnej sústavy na desiatkovú číselnú sústavu:

3. Napíšte rímskou číselnou sústavou:

4. Zapíšte si abecedy nasledujúcich pozičných číselných sústav:

5. Abecedy ktorých pozičných číselných sústav sú uvedené nižšie? Napíšte ich mená:

6. Napíšte najmenší základ číselnej sústavy, do ktorej možno zapísať nasledujúce čísla:

7. Zapíšte si čísla v rozšírenom tvare:

8. Vypočítajte desatinné ekvivalenty nasledujúcich čísel:

9. Vypočítajte desatinné ekvivalenty nasledujúcich binárnych čísel:

10. Zapíšte si maximálne a minimálne štvormiestne čísla:

11. Kalkulačka, ktorá pracuje v trojčlennej číselnej sústave, má päť funkcií na zobrazenie čísla na obrazovke. S akým najväčším desatinným číslom dokáže táto kalkulačka pracovať?

12. Zadajte počty čísel vo vzostupnom poradí:

13. Porovnajte čísla:

14. Vypočítajte x, pre ktoré platí rovnosť:

15. Jeden múdry muž napísal: „Mám 33 rokov. Moja mama má 124 a otec 131. Spolu máme 343 rokov.“ Akú číselnú sústavu používal mudrc a koľko má rokov?

16. Jedna osoba mala 102 mincí. Rovno ich rozdelil medzi svoje dve deti. Každý dostal 12 mincí a jedna zostala zbytočná. Aký číselný systém sa používal a koľko tam bolo mincí?

17. Zostavte výkres na rovine súradníc tak, že označíte a spojíte body v určenom poradí.

18. Vytvorte nákres na rovine súradníc, označte a spojte body v poradí:

19. Vytvorte nákres na rovine súradníc, označte a spojte body v poradí:

20. Preveďte celé čísla z desiatkového na binárne:

21. Preveďte celé čísla z desiatkového na binárne pomocou rozdielovej metódy:

22. Dešifrujte grafický obrázok uvedením nasledujúcich desatinných čísel v binárnom kóde (zadajte každú binárnu číslicu do samostatnej bunky; bunky vyfarbite nulami):

23. Koľko 1 je v binárnom zápise pre desiatkové číslo?

24. Koľko 0 je v binárnom zápise pre desiatkové číslo?

25. Zapíšte prirodzené celé čísla patriace do nasledujúcich číselných intervalov:

26. Preveďte celé čísla z desiatkovej na osmičkovú:

27. Preveďte celé čísla z desiatkovej na šestnástkovú:

28. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké číslo v číselných sústavách so základom 2, 8, 10 a 16.

29. Vykonajte operáciu sčítania na binárnych číslach. Skontrolujte prevedením výrazov a súčtu do desiatkovej číselnej sústavy.

30. Vykonajte operáciu násobenia na binárnych číslach. Skontrolujte prevodom faktorov a súčinu do desiatkovej číselnej sústavy.

31. Vypracujte tabuľky sčítania a násobenia pre osmičkovú číselnú sústavu.

32. Vyriešte rovnicu

33. Olympiády v informatike sa zúčastnilo 30 dievčat a 50 chlapcov a celkovo - 100 ľudí. V akom číselnom systéme sú tieto informácie zaznamenané?

34. Nájdite hodnotu výrazu K+L+M+N v osmičke, ak:

35. Zostavte graf, ktorý odráža vzťah základných pojmov na tému „Číselné sústavy“.

36. Preveďte číslo 1010 z desiatkového na binárne. Koľko jednotiek obsahuje výsledné číslo? Vo svojej odpovedi napíšte jedno číslo - počet jednotiek.
odpoveď: 7.

37. Reprezentujú desiatkové čísla v 8-bitovom formáte bez znamienka.

38. Priamy kód desatinných čísel napíšte v 8-miestnom formáte so znamienkom.

39. Nájdite desiatkové ekvivalenty čísel podľa ich priamych kódov zapísaných v 8-bitovom formáte so znamienkom:

40. Napíšte nasledujúce čísla v prirodzenom tvare:

41. Napíšte číslo 2014.4102(10) piatimi rôznymi spôsobmi v normálnom tvare:

42. Napíšte nasledujúce čísla v normálnom tvare s normalizovanou mantisou - vlastným zlomkom, ktorý má za desatinnou čiarkou nenulovú číslicu:

43. Zvážte fragment kódovacej tabuľky ASCII:

45. Abstrakt napísaný na počítači obsahuje 16 strán, 32 riadkov na každej strane, 64 znakov v každom riadku. Určte objem informácií v článku v kódovaní Unicode, kde je každý znak zakódovaný v 16 bitoch.

46. ​​​​Každej šestnástkovej číslici je priradený reťazec štyroch 0 a 1 (binárna tetráda):
Dekódujte grafické obrázky nahradením každej šestnástkovej číslice binárnou tetrádou. Vyplňte bunky nulami.

47. Vypočítajte požadované množstvo video pamäte pre grafický režim, ak je rozlíšenie obrazovky monitora 1024x768, farebná hĺbka je 32 bitov.

48. Vypočítajte požadované množstvo video pamäte pre grafický režim, ak je rozlíšenie obrazovky monitora 1024 x 768 a počet farieb v palete je 256.

49. Na uloženie bitmapy 128 x 64 pixelov bolo pridelených 8 KB pamäte. Aký je maximálny možný počet farieb v palete obrázka?

50. Článok napísaný na počítači obsahuje 4 strany, každá strana má 40 riadkov, každý riadok má 64 znakov. V jednej reprezentácii Unicode je každý znak zakódovaný 16 bitmi. Určte informačný obsah článku v tomto variante reprezentácie Unicode.
Odpoveď: 1) 20 KB.

51. Napíšte jedno pravdivé a jedno nepravdivé tvrdenie z biológie, geografie, informatiky, histórie, matematiky, literatúry:

52. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite tie jednoduché, pričom každý z nich označte písmenom; zapíšte si každý zložený výrok pomocou písmen a znakov logických operácií.

53. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok na nich nájdených pre určitý segment internetu.

54. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok na nich nájdených pre určitý segment internetu.

55. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok na nich nájdených pre určitý segment internetu.

56. Určitý segment internetovej siete pozostáva z 1000 stránok. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok, ktoré našli v tomto segmente siete:

60. Nájdite hodnotu logického výrazu pre dané hodnoty X:

61. Vyplňte tabuľku boolovskými hodnotami:

62. Traja kamaráti hrali futbal na dvore a loptou rozbili okno. Vanya povedala: "Bol som to ja, kto rozbil okno, Kolya nerozbil okno." Kolja povedal: "Nebol som to ja a nie Sasha, kto to urobil." Sasha povedal: "Nebol som to ja a nie Vanya, kto to urobil." Babička sedela na lavičke a všetko videla. Povedala, že iba jeden chlapec povedal pravdu v oboch prípadoch, ale neuviedla toho, kto rozbil okno. Kto je to?

63. Prípad sprenevery sa vyšetruje. Z tohto zločinu sú podozriví Bragin, Kurgin a Likhodeev. Každý z nich vydal nasledujúce svedectvo.
Bragin: „Neurobil som to. Urobil to Likhodeev.
Likhodeev: "Nie je to moja chyba, ale Kurgin s tým tiež nemá nič spoločné."
Kurgin: „Likhodeev nie je vinný. Zločin spáchal Bragin.
Vyšetrovanie s istotou zistilo, že krádež spáchali dvaja, navyše boli podozriví vo výpovedi zmätení a každý z nich nevypovedal úplne pravdivo. Kto spáchal trestný čin?
Vyriešte problém vyplnením a analýzou pravdivostnej tabuľky:

64. Na výlete päť priateľov - Anton, Boris, Vadim, Dima a Grisha - stretlo spolucestujúceho. Požiadali ju, aby uhádla ich mená, a každý z nich uviedol jedno pravdivé a jedno nepravdivé vyhlásenie:
Dima povedal: "Moje priezvisko je Mishin a Borisovo priezvisko je Khokhlov."
Anton povedal: "Mishin je moje priezvisko a Vadimovo priezvisko je Belkin." Boris povedal: "Vadimovo priezvisko je Tichonov a moje priezvisko je Mishin."
Vadim povedal: "Moje priezvisko je Belkin a Grisha sa volá Čechov."
Grisha povedal: "Áno, moje priezvisko je Čechov a Antonovo priezvisko je Tichonov."
Aké je priezvisko každého priateľa?

(Dm(¬Bx)+(¬Dm)Bx)*(Am(¬Wb)+(¬Am)Wb)*(Bm(¬W)+(¬Bm)W)*(Wb(¬Gch)+( ¬Wb)Gch)*(Gch(¬At)+(¬Gch)At)=1
Výraz je pravdivý, keď sú pravdivé všetky súčty. Predpokladajme, že Dm=1, potom Am=0, Bm=0; Ale potom Wb=1 a W=1, čo je nemožné. Takže, Bh-pravda. Potom Bm je nepravda, W je pravda, At je nepravda, Gh je pravda, Wb je nepravda, Am je pravda.
Odpoveď: Boris Khokhlov, Vadim Tikhonov, Grisha Čechov, Anton Mishin, Dima Belkin.

65. Traja kamaráti, futbaloví fanúšikovia, sa dohadovali o výsledkoch nadchádzajúceho turnaja.
Jurijov názor: „Uvidíte, Barcelona nebude prvá. Zenit bude prvý.
Victorov názor: „Barcelona bude víťazom. A o Zenite niet čo povedať, nebude prvý.
Leonidov názor: "Real neuvidí prvé miesto, ale Barcelona má všetky šance na víťazstvo."
Na konci súťaže sa ukázalo, že každý z dvoch predpokladov dvoch kamarátov sa potvrdil a oba predpoklady tretieho z kamarátov sa ukázali ako mylné. Kto vyhral turnaj?
Vyriešte problém vytvorením a transformáciou logického výrazu:

66. Zistite, aký signál by mal byť na výstupe obvodu pre každú možnú množinu signálov na vstupoch. Vyplňte pracovný list schémy. Aký logický výraz opisuje obvod?

67. Pre ktoré z uvedených mien platí výrok:

Kľúčové slová:

• algebra logiky
• vyhlásenie
• logická operácia
• konjunkcia
• disjunkcia
• negácia
• booleovský výraz
• pravdivostná tabuľka
• zákony logiky

1.3.1. vyhlásenie

Algebra v najširšom zmysle slova je veda o všeobecných operáciách, podobných sčítaniu a násobeniu, ktoré možno vykonávať na rôznych matematických objektoch. Mnohé matematické objekty (celé a racionálne čísla, polynómy, vektory, množiny) študujete na kurze školskej algebry, kde sa zoznámite s takými úsekmi matematiky, ako je číselná algebra, polynomiálna algebra, množinová algebra atď.

Pre informatiku je dôležitý odbor matematiky nazývaný algebra logiky; objektmi algebry logiky sú výroky.

Napríklad o vetách „Veľký ruský vedec M. V. Lomonosov sa narodil v roku 1711“ a „Dva plus šesť je osem“ možno jednoznačne povedať, že sú pravdivé. Veta „Vrabce zimujú na zimný spánok“ je nepravdivá. Preto sú tieto vety výrokmi.

Napríklad veta „Táto veta je nepravdivá“ nie je návrh, pretože o nej nemožno povedať, či je pravdivá alebo nepravdivá, bez toho, aby sme dostali rozpor. V skutočnosti, ak pripustíme, že tvrdenie je pravdivé, potom je to v rozpore s tým, čo bolo povedané. Ak pripustíme, že tvrdenie je nepravdivé, potom z toho vyplýva, že je pravdivé.

Pri vete „Počítačová grafika je najzaujímavejšia téma na školskej informatike“ sa tiež nedá jednoznačne povedať, či je to pravda alebo nepravda. Zamyslite sa sami prečo.

Napríklad také vety ako: „Napíš si domácu úlohu“, „Ako sa dostanem do knižnice?“, „Kto k nám prišiel? ".

Príklady vyhlásení môžu byť:

1. "Na je kov" (pravdivý výrok);
2. "Druhý Newtonov zákon je vyjadrený vzorcom F=m a" (pravdivý výrok);
3. "Obvod obdĺžnika s dĺžkami strán a u b sa rovná a b" (nepravdivé tvrdenie).

Číselné výrazy nie sú výroky, ale výrok možno vytvoriť z dvoch číselných výrazov ich spojením so znamienkami rovnosti alebo nerovnosti. Napríklad:

1. "34-5 = 2 4" (pravdivé tvrdenie);
2. "II4-VI > VIII" (nepravdivé tvrdenie).

Rovnosti alebo nerovnosti obsahujúce premenné tiež nie sú výrokmi. Napríklad veta „X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

O opodstatnenosti pravdivosti alebo nepravdivosti tvrdení rozhodujú vedy, ku ktorým patria. Algebra logiky je abstrahovaná od sémantického obsahu výrokov. Zaujíma ju len to, či je daný výrok pravdivý alebo nepravdivý. V algebre logiky sa výroky označujú písmenami a nazývajú sa logické premenné. Okrem toho, ak je tvrdenie pravdivé, potom je hodnota zodpovedajúcej logickej premennej označená jednotkou (A \u003d 1) a ak je nepravdivá - nulou (B \u003d 0). 0 a 1 označujúce hodnoty boolovských premenných sa nazývajú boolovské hodnoty.

Pri práci s logickými premennými, ktoré sa môžu rovnať iba 0 alebo 1, vám algebra logiky umožňuje zredukovať spracovanie informácií na operácie s binárnymi údajmi. Je to aparát algebry logiky, ktorý tvorí základ počítačových zariadení na ukladanie a spracovanie informácií. S využívaním prvkov algebry logiky sa stretnete v mnohých ďalších úsekoch informatiky.

1.3.2. Booleovské operácie

Vyhlásenia sú jednoduché a zložité. Výrok sa nazýva jednoduchý, ak žiadna jeho časť sama osebe nie je výrokom. Komplexné (zložené) príkazy sú zostavené z jednoduchých pomocou logických operácií.

Zvážte základné logické operácie definované na príkazoch. Všetky zodpovedajú spojovacím výrazom používaným v prirodzenom jazyku.

Konjunkcia

Uvažujme o dvoch tvrdeniach: A = "Zakladateľom algebry logiky je George Boole", B = "Výskum Clauda Shannona umožnil aplikovať algebru logiky v počítačovej technológii." Je zrejmé, že nové tvrdenie „Zakladateľom algebry logiky je George Boole a výskum Clauda Shannona umožnil aplikovať algebru logiky vo výpočtovej technike“ je pravdivý iba vtedy, ak sú obe počiatočné tvrdenia pravdivé súčasne.

Na písanie spojky sa používajú tieto znaky: , , And, &. Napríklad: A B, A B, A AND C, A&B.

Konjunkciu možno opísať ako tabuľku, ktorá sa nazýva pravdivostná tabuľka:

V pravdivostnej tabuľke sú uvedené všetky možné hodnoty pôvodných tvrdení (stĺpce A a B) a im zodpovedajúce binárne čísla sú spravidla usporiadané vzostupne: 00, 01, 10, 11. Posledný stĺpec obsahuje výsledok vykonania logickej operácie pre zodpovedajúce operandy.

Inak sa spojka nazýva logické násobenie. Zamyslite sa prečo.

Disjunkcia

Zvážte dva výroky: A = „Myšlienka použitia matematickej symboliky v logike patrí Gottfriedovi Wilhelmovi Leibnizovi“, B = „Leibniz je zakladateľom binárnej aritmetiky“. Je zrejmé, že nové vyhlásenie „Myšlienka používania matematickej symboliky v logike patrí Gottfriedovi Wilhelmovi Leibnizovi alebo Leibniz je zakladateľom binárnej aritmetiky“ je nepravdivé iba vtedy, ak sú obe počiatočné tvrdenia nepravdivé súčasne.

Nezávisle zistite pravdivosť alebo nepravdivosť troch uvažovaných tvrdení.

Na zaznamenanie disjunkcie sa používajú tieto znaky: v, |, OR, +. Napríklad: AvB, A|B, A OR B, A+B.

Disjunkcia je definovaná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

V opačnom prípade sa disjunkcia nazýva logické sčítanie. Zamyslite sa prečo.

Inverzia

Na zápis inverzie sa používajú tieto znaky: NOT, ¬, ‾. Napríklad: NOT, ¬, ‾.

Inverzia je definovaná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

Inverzia je inak známa ako logická negácia.

Negáciou výroku „Mám doma počítač“ bude výrok „Nie je pravda, že mám doma počítač“ alebo, čo je v ruštine to isté, „Nemám doma počítač“. Negáciou výroku „Neviem po čínsky“ bude výrok „Nie je pravda, že neviem po čínsky“ alebo, čo je v ruštine to isté, „Viem po čínsky“. Negáciou výroku „Všetci chlapci 9. ročníka sú výborní žiaci“ je výrok „Nie je pravda, že všetci chlapci 9. ročníka sú výborní žiaci“, inými slovami: „Nie všetci chlapci 9. ročníka sú výborní. študenti“.

Pri konštrukcii negácie k jednoduchému výroku sa teda použije buď fráza „nie je pravda, že ...“, alebo sa negácia pripojí k predikátu, potom sa k príslušnému slovesu pridá častica „nie“.

Akýkoľvek komplexný príkaz možno zapísať ako logický výraz – výraz obsahujúci logické premenné, znaky logických operácií a zátvorky. Logické operácie v logickom výraze sa vykonávajú v tomto poradí: inverzia, konjunkcia, disjunkcia. Poradie operácií môžete zmeniť umiestnením zátvoriek.

Príklad 1. Nech A = "Slovo 'krížnik' sa vyskytuje na webovej stránke", B = "Slovo 'bojová loď' sa vyskytuje na webovej stránke". Uvažuje sa o určitom segmente internetu, ktorý obsahuje 5 000 000 webových stránok. Tu platí výrok A pre 4800 strán, výrok B platí pre 4500 strán a výrok A v B platí pre 7000 strán. Pre koľko webových stránok by boli v tomto prípade pravdivé nasledujúce výrazy a tvrdenia?

a) NIE (A ALEBO B);

c) Webová stránka obsahuje slovo „krížnik“ a neobsahuje slovo „bojová loď“.

Riešenie. Znázornime množinu všetkých webových stránok uvažovaného sektora internetu ako kruh, do ktorého umiestnime dva kruhy: jeden z nich zodpovedá množine webových stránok, kde platí tvrdenie A, druhý - kde tvrdenie B je pravdivé (obr. 1.3).

Ryža. 1.3.
Grafické znázornenie súborov webových stránok

Poďme si graficky znázorniť množiny webových stránok, pre ktoré sú pravdivé výrazy a výrok a) - c) (obr. 1.4)

Ryža. 1.4.
Grafické znázornenie súborov webových stránok, pre ktoré sú pravdivé výrazy a tvrdenia a) - c).

Zostavené schémy nám pomôžu zodpovedať otázky obsiahnuté v zadaní.

Výraz A OR B platí pre 7 000 webových stránok, celkovo pre 5 000 000 stránok. Preto je A OR B nepravdivé pre 4 993 000 webových stránok. Inými slovami, pre 4 993 000 webových stránok platí výraz NOT (A OR B).

Výraz A v B platí pre webové stránky, kde A je pravdivé (4800), ako aj pre webové stránky, kde B je pravdivé (4500). Ak by boli všetky webové stránky odlišné, potom by A v B platilo pre 9300 (4800 + 4500) webových stránok. Ale podľa podmienky je takýchto webových stránok len 7000. To znamená, že na 2300 (9300 - 7000) webových stránkach sa obe slová vyskytujú súčasne. Preto výraz A & B platí pre 2300 webových stránok.

Ak chcete zistiť, pre koľko webových stránok je výrok A pravdivý a výrok B zároveň nepravdivý, odpočítajte 2300 od 4800. stránok.

Logický výraz zodpovedajúci uvažovanému tvrdeniu si zapíšte sami.

Webová stránka Federálneho centra pre informačné a vzdelávacie zdroje (http://fcoir.edu.ru/) obsahuje informačný modul „Vyhlásenie. Jednoduché a zložité vety. Základné logické operácie. Znalosť tohto zdroja vám umožní rozšíriť vaše chápanie skúmanej témy.

1.3.3. Vytváranie pravdivostných tabuliek pre logické výrazy

Pre logický výraz môžete zostaviť pravdivostnú tabuľku zobrazujúcu, aké hodnoty má výraz pre všetky množiny hodnôt premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Ak chcete vytvoriť tabuľku pravdy, mali by ste:

1. počet n - počet premenných vo výraze;
2. spočítajte celkový počet logických operácií vo výraze;
3. stanoviť postupnosť vykonávania logických operácií, berúc do úvahy zátvorky a priority;
4. určiť počet stĺpcov v tabuľke: počet premenných + počet operácií;
5. vyplňte hlavičku tabuľky vrátane premenných a operácií v nej v súlade s postupnosťou stanovenou v odseku 3;
6. určiť počet riadkov v tabuľke (okrem hlavičky tabuľky) m = 2n;
7. zapisovať množiny vstupných premenných, berúc do úvahy skutočnosť, že ide o celý rad n-bitových binárnych čísel od 0 do 2 n - 1;
8. vyplniť tabuľku podľa stĺpcov a vykonávať logické operácie v súlade so stanovenou postupnosťou.

Zostavme pravdivostnú tabuľku pre logický výraz A v A & B. Má dve premenné, dve operácie a najskôr sa vykoná konjunkcia a potom disjunkcia. V tabuľke budú štyri stĺpce:

Množiny vstupných premenných sú celé čísla od 0 do 3, reprezentované dvojmiestnym binárnym kódom: 00, 01, 10, 11. Vyplnená pravdivostná tabuľka vyzerá takto:

Všimnite si, že posledný stĺpec (výsledok) je rovnaký ako stĺpec A. V tomto prípade sa o logickom výraze A v A & B hovorí, že je rovnaký ako logický výraz A.

1.3.4. Vlastnosti booleovských operácií

Uvažujme o základných vlastnostiach (zákonoch) algebry logiky.

Zákony algebry logiky možno dokázať pomocou pravdivostných tabuliek.

Ukážme distributívny zákon pre logické sčítanie:

Av (B & C) = (AV B) & (Av C).

Zhoda stĺpcov zodpovedajúcich logickým výrazom na ľavej a pravej strane rovnosti dokazuje platnosť distributívneho zákona pre logické sčítanie.

Príklad 2. Nájdite hodnotu logického výrazu pre číslo X = 0.

Riešenie. Ak X = 0, dostaneme nasledujúci logický výraz: . Keďže logické výrazy 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Riešenie logických problémov

Zvážte niekoľko spôsobov riešenia logických problémov.

Úloha 1. Kolya, Vasya a Seryozha navštívili svoju babičku v lete. Jedného dňa jeden z chlapcov nešťastnou náhodou rozbil babičkinu obľúbenú vázu. Na otázku, kto rozbil vázu, odpovedali takto:

Seryozha: 1) Nehavaroval som. 2) Vasya sa nezlomila.

Vasya: 3) Seryozha sa nezlomil. 4) Kolja rozbil vázu.

Kolja: 5) Nehavaroval som. 6) Seryozha rozbil vázu.

Babička vedela, že jedno z jej vnúčat, nazvime ho pravdovravným, hovorí pravdu oba razy; druhý, nazvime ho žolíkom, oba razy povedal nepravdu; tretí, nazvime ho prefíkaným, raz povedal pravdu a inokedy - lož. Ako sa volajú pravdovravní, vtipkári a prefíkaní. Ktoré z vnúčat rozbilo vázu?

Riešenie. Nech K = „Kolya rozbil vázu“, B = „Vasya rozbil vázu“, C = „Seryozha rozbil vázu“. Urobme si pravdivostnú tabuľku, pomocou ktorej uvedieme výroky každého chlapca 1 .

1 Vzhľadom na skutočnosť, že vázu rozbil jeden vnuk, bolo možné zostaviť nie celú tabuľku, ale iba jej fragment obsahujúci nasledujúce súbory vstupných premenných: 001, 010, 100.

Na základe toho, čo stará mama vie o vnúčatách, mali by ste v tabuľke hľadať riadky, ktoré obsahujú tri kombinácie hodnôt v ľubovoľnom poradí: 00, 11, 01 (alebo 10). V tabuľke sú dva takéto riadky (sú označené začiarknutím). Podľa druhého z nich vázu rozbili Kolja a Vasja, čo je v rozpore s podmienkou. Podľa prvej z nájdených línií Seryozha rozbil vázu, ukázal sa tiež ako prefíkaný. Vasya sa ukázal ako žolík. Meno skutočného vnuka je Kolya.

Úloha 2. Alla, Valya, Sima a Dasha sa zúčastňujú gymnastických súťaží. Fanúšikovia špekulovali o možných víťazoch:

1. Sima bude prvá, Valya - druhá;
2. Sima bude druhá, Dáša - tretia;
3. Alla bude druhá, Dasha - štvrtá.

Na konci súťaže sa ukázalo, že v každom z predpokladov je iba jedno tvrdenie pravdivé, druhé nepravdivé. Aké miesto v súťaži obsadilo každé z dievčat, ak všetky skončili na rôznych miestach?

Riešenie. Zvážte jednoduché vyhlásenia:

C 1 = "Sim vyhral prvé miesto";

B 2 = "Valya obsadila druhé miesto";

C 2 = "Sima obsadila druhé miesto";

D 3 = "Dasha obsadila tretie miesto";

A 2 \u003d "Alla obsadila druhé miesto";

D 4 \u003d "Dasha obsadila štvrté miesto."

Keďže v každom z troch predpokladov je jedno z tvrdení pravdivé a druhé nepravdivé, môžeme dospieť k tomuto záveru:

1. C1 + B2 \u003d 1, C1B2 \u003d 0;
2. C2 + D3 \u003d 1, C2D3 \u003d 0;
3. A 2 + D 4 \u003d 1, A 2 D 4 \u003d 0.

Logický súčin pravdivých tvrdení bude pravdivý:

(Ci + B2) (C2 + D3) (A2 + D4) = 1.

Na základe distribučného zákona transformujeme ľavú stranu tohto výrazu:

(C1C2 + C1D3 + B2C2 + B2D3) (A2 + D4) = 1.

Výrok C 1 C 2 znamená, že Sima obsadila prvé aj druhé miesto. Podľa stavu problému je toto tvrdenie nepravdivé. Nepravdivé je aj tvrdenie B 2 C 2. Berúc do úvahy zákon operácií s konštantou 0, píšeme:

(C1D3 + B2D3) (A2 + D4) = 1.

Ďalšia transformácia ľavej strany tejto rovnosti a vylúčenie zámerne nepravdivých vyhlásení dáva:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 \u003d 1.

C 1 D 3 A 2 \u003d 1.

Z poslednej rovnosti vyplýva, že C 1 \u003d 1, D 3 \u003d 1, A 2 \u003d 1. To znamená, že Sima obsadila prvé miesto, Alla - druhé, Dasha - tretie. V dôsledku toho Valya obsadila štvrté miesto.

Na stránke „Matematika pre školákov“ (http://www.kenqyry.com/) sa môžete zoznámiť s ďalšími spôsobmi riešenia logických úloh, ako aj zapojiť sa do internetových olympiád a súťaží v ich riešení.

Na stránke http://www.kaser.com/ si môžete stiahnuť demo verziu veľmi užitočnej logickej hádanky Sherlock, ktorá rozvíja logické a uvažovacie schopnosti.

1.3.6. Logické prvky

Algebra logiky je odvetvie matematiky, ktoré hrá dôležitú úlohu pri navrhovaní automatických zariadení, vývoji hardvéru a softvéru pre informačné a komunikačné technológie.

Už viete, že každá informácia môže byť reprezentovaná v diskrétnej forme - ako pevná množina individuálnych hodnôt. Zariadenia, ktoré spracúvajú takéto hodnoty (signály), sa nazývajú diskrétne. Diskrétny prevodník, ktorý po spracovaní binárnych signálov odošle hodnotu jednej z logických operácií, sa nazýva logický prvok.

Na obr. 1.5 sú znázornené symboly (diagramy) logických prvkov, ktoré implementujú logické násobenie, logické sčítanie a inverziu.

Obr. 1.5.
Logické prvky

Logický prvok AND (spojka) implementuje operáciu logického násobenia (obr. 1.5, a). Jednotka na výstupe tohto prvku sa objaví iba vtedy, keď sú jednotky na všetkých vstupoch.

Logický prvok OR (disjunctor) implementuje operáciu logického sčítania (obr. 1.5, b). Ak je aspoň jeden vstup jeden, potom výstup prvku bude tiež jeden.

Logický prvok NOT (invertor) realizuje operáciu negácie (obr. 1.5, c). Ak je vstupný prvok O, potom výstup je 1 a naopak.

Počítačové zariadenia, ktoré vykonávajú operácie s binárnymi číslami, a bunky, v ktorých sú uložené údaje, sú elektronické obvody pozostávajúce zo samostatných logických prvkov. Tejto problematike sa budeme podrobnejšie venovať v kurze informatiky pre ročníky 10-11.

Príklad 3. Poďme analyzovať elektronický obvod, to znamená zistiť, aký signál by mal byť na výstupe pre každú možnú sadu signálov na vstupoch.

Riešenie. Všetky možné kombinácie signálov na vstupoch A až B budú zapísané do pravdivostnej tabuľky. Sledujme transformáciu každej dvojice signálov pri prechode cez logické prvky a výsledok zapíšme do tabuľky. Vyplnená pravdivostná tabuľka plne popisuje uvažovaný elektronický obvod.

Pravdivostnú tabuľku možno zostaviť aj podľa logického vyjadrenia zodpovedajúceho elektronickému obvodu. Posledným logickým prvkom v uvažovanom obvode je spojka. Prijíma signály zo vstupu L a z meniča. Na druhej strane menič prijíma signál zo vstupu B.

Práca so simulátorom Logic (http://kpolyakov.narod.ru/prog/logic.htm) vám pomôže získať úplnejší obraz o logických prvkoch a elektronických obvodoch.

Najdôležitejšie

Propozícia je veta v akomkoľvek jazyku, ktorej obsah možno jednoznačne určiť ako pravdivý alebo nepravdivý.

Základné logické operácie definované nad príkazmi: inverzia, konjunkcia, disjunkcia.

Pravdivé tabuľky pre základné logické operácie:

Pri vyhodnocovaní logických výrazov sa najskôr vykonajú akcie v zátvorkách. Priorita vykonávania logických operácií:

Otázky a úlohy

1.3.1. VYHLÁSENIE
1.3.2. LOGICKÉ OPERÁCIE
1.3.3. KONŠTRUKCIA PRAVDIVÝCH TABULÍK PRE LOGICKÉ VÝRAZY
1.3.4. VLASTNOSTI LOGICKÝCH OPERÁCIÍ
1.3.5. RIEŠENIE LOGICKÝCH PROBLÉMOV
1.3.6. LOGICKÉ PRVKY

1. Oboznámte sa s prezentačnými materiálmi k paragrafu obsiahnutými v elektronickej prílohe učebnice. Dopĺňa prezentácia informácie obsiahnuté v texte odseku?

2. Vysvetlite, prečo nasledujúce vety nie sú výrokmi.
1) Akú farbu má tento dom?
2) Číslo X nepresahuje jednu.
3) 4X+3.
4) Pozrite sa von oknom.
5) Pite paradajkovú šťavu!
6) Táto téma je nudná.
7) Ricky Martin je najobľúbenejší spevák.
8) Boli ste v divadle?

3. Uveďte jeden príklad pravdivých a nepravdivých tvrdení z biológie, geografie, informatiky, histórie, matematiky, literatúry.

4. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite jednoduché tvrdenia, pričom každé z nich označte písmenom; zapíšte si každý zložený výrok pomocou písmen a znakov logických operácií.
1) Číslo 376 je párne a trojmiestne.
2) V zime sa deti chodia korčuľovať alebo lyžovať.
3) Nový rok oslávime na dači alebo na Červenom námestí.
4) Nie je pravda, že Slnko sa pohybuje okolo Zeme.
5) Zem má tvar gule, ktorá vyzerá z vesmíru ako modrá.
6) Na hodine matematiky stredoškoláci odpovedali na otázky učiteľa a písali aj samostatnú prácu.

5. Zostrojte negatíva nasledujúcich tvrdení.

6. Nech A \u003d "Každý má rád hodiny matematiky" a B \u003d "Každý má rád hodiny chémie." Vyjadrite nasledujúce vzorce v jednoduchom jazyku:

7. Určitý segment internetovej siete pozostáva z 1000 stránok. Vyhľadávací server automaticky zostavil tabuľku kľúčových slov pre stránky v tomto segmente. Tu je jej fragment:

8. Zostavte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce logické výrazy:

9. Dokážte logické zákony uvedené v odseku pomocou pravdivostných tabuliek.

10. V desiatkovej číselnej sústave sú uvedené tri čísla: A=23, B=19, C=26. Preveďte A, B a C na binárnu číselnú sústavu a vykonajte bitové logické operácie (A v B) a C. Odpoveď uveďte v desiatkovej číselnej sústave.

11. Nájdite význam výrazov:

12. Nájdite hodnotu logického výrazu (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Nech A \u003d "Prvé písmeno mena je samohláska", B \u003d "Štvrté písmeno mena je spoluhláska." Nájdite hodnotu logického výrazu A v B pre nasledujúce názvy:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTON 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Prípad Johna, Browna a Smitha sa zaoberá. Je známe, že jeden z nich poklad našiel a ukryl. Počas vyšetrovania každý z podozrivých urobil dve vyhlásenia:
Smith: „Neurobil som to. Brown to urobil."
John: „Brown nie je vinný. Smith to urobil."
Brown: Neurobil som to. John to neurobil."
Súd zistil, že jeden z nich dvakrát klamal, druhý dvakrát povedal pravdu, tretí raz klamal a raz povedal pravdu. Ktorý podozrivý by mal byť oslobodený?
Odpoveď: Smith a John.

15. Alyosha, Borya a Grisha našli v zemi starodávnu nádobu. Vzhľadom na úžasný nález každý z nich urobil dva predpoklady:
1) Alyosha: "Toto plavidlo je grécke a vyrobené v 5. storočí."
2) Borya: "Toto je fénická nádoba a bola vyrobená v 3. storočí."
3) Grisha: „Toto plavidlo nie je grécke a bolo vyrobené v 4. storočí.“
Učiteľ dejepisu povedal deťom, že každý z nich mal pravdu len v jednom z dvoch predpokladov. Kde a v ktorom storočí bola nádoba vyrobená?
Odpoveď: Fenická nádoba, vyrobená v 5. storočí.

16. Zistite, aký signál by mal byť na výstupe elektronického obvodu pre každú možnú množinu signálov na vstupoch. Vytvorte pracovný list obvodu. Aký logický výraz opisuje obvod?