Koncept spojitej funkcie v bode. Kontinuita funkcie. Dve úžasné limity

Štúdium funkcie kontinuity v bode sa vykonáva podľa už zavedenej rutinnej schémy, ktorá spočíva v kontrole troch podmienok kontinuity:

Príklad 1

Riešenie:

1) Jediný bod spadá pod zameriavač, kde funkcia nie je definovaná.

Jednostranné limity sú konečné a rovnaké.

V určitom bode teda funkcia trpí prerušiteľnou diskontinuitou.

Ako vyzerá graf tejto funkcie?

Rád by som to zjednodušil a zdá sa, že je to obyčajná parabola. ALE pôvodná funkcia nie je definovaná v bode , takže je potrebné nasledujúce upozornenie:

Vykonajte kreslenie:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, kde je nespojitá.

Funkcia môže byť predefinovaná dobrým alebo nie tak dobrým spôsobom, ale to si nevyžaduje podmienka.

Hovoríte, že príklad je pritiahnuté za vlasy? Vôbec nie. V praxi sa to stalo desiatky krát. Takmer všetky úlohy stránky pochádzajú zo skutočnej nezávislej a kontrolnej práce.

Poďme si rozobrať naše obľúbené moduly:

Príklad 2

Preskúmajte spojitosť funkcie. Určite povahu prerušení funkcií, ak nejaké existujú. Vykonajte výkres.

Riešenie: študenti sa z nejakého dôvodu boja a nemajú radi funkcie s modulom, hoci na nich nie je nič zložité. Takýchto vecí sme sa už v lekcii trochu dotkli. Geometrické transformácie grafov. Pretože modul nie je záporný, expanduje takto: , kde "alfa" je nejaký výraz. V tomto prípade , a naša funkcia by sa mala podpísať po častiach:

Ale zlomky oboch kusov sa musia zmenšiť o . Zníženie, ako v predchádzajúcom príklade, nezostane bez následkov. Pôvodná funkcia nie je v bode definovaná, pretože menovateľ zmizne. Preto by mal systém dodatočne špecifikovať podmienku a sprísniť prvú nerovnosť:

Teraz VEĽMI UŽITOČNÝ trik: pred dokončením úlohy na koncepte je výhodné urobiť výkres (bez ohľadu na to, či to vyžaduje podmienka alebo nie). Po prvé, pomôže vám to okamžite vidieť body kontinuity a zlomových bodov a po druhé vás to 100% ochráni pred chybami pri hľadaní jednostranných limitov.

Poďme na to. V súlade s našimi výpočtami je vľavo od bodu potrebné nakresliť fragment paraboly (modrá) a vpravo - kúsok paraboly (červená), pričom funkcia nie je definovaná v samotnom bode. :

Ak máte pochybnosti, zoberte niekoľko x, zapojte ich do funkcie (pamätajte na to, že modul zničí prípadné znamienko mínus) a skontrolujte graf.

Analyticky skúmame funkciu kontinuity:

1) Funkcia nie je definovaná v bode , takže môžeme okamžite povedať, že v ňom nie je spojitá.

2) Stanovme povahu diskontinuity, na to vypočítame jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode . Všimnite si, že nezáleží na tom, či je funkcia v bode prerušenia definovaná alebo nie.

Teraz zostáva preniesť kresbu z konceptu (bola vytvorená, ako keby s pomocou výskumu ;-)) a dokončiť úlohu:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, kde trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom.

Niekedy je potrebné dodatočne označiť skok diskontinuity. Počíta sa elementárne - ľavú limitu treba odpočítať od pravej limity: , čiže v bode zlomu naša funkcia skočila o 2 jednotky dole (o čom nám hovorí znamienko mínus).

Príklad 3

Preskúmajte spojitosť funkcie. Určite povahu prerušení funkcií, ak nejaké existujú. Urobte si kresbu.

Toto je príklad na samoriešenie, vzorové riešenie na konci hodiny.

Prejdime k najobľúbenejšej a najbežnejšej verzii úlohy, keď sa funkcia skladá z troch častí:

Príklad 4

Preskúmajte spojitosť funkcie a nakreslite graf funkcie

Riešenie: je zrejmé, že všetky tri časti funkcie sú spojité na zodpovedajúcich intervaloch, takže zostáva skontrolovať iba dva "spojovacie" body medzi dielikmi. Najprv si urobme nákres na náčrte, techniku ​​výstavby som dostatočne podrobne komentoval v prvej časti článku. Jediná vec je pozorne sledovať naše singulárne body: kvôli nerovnosti patrí hodnota do priamky (zelená bodka) a kvôli nerovnosti hodnota patrí do paraboly (červená bodka):

V zásade je všetko jasné =) Zostáva vypracovať rozhodnutie. Pre každý z dvoch „zadných“ bodov štandardne kontrolujeme 3 podmienky kontinuity:

ja)

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode .

Vypočítajme skok diskontinuity ako rozdiel medzi pravou a ľavou hranicou:
, teda graf poskočil o jednotku vyššie.

II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rovnaké, takže existuje spoločný limit.

V záverečnej fáze prenesieme kresbu na čistú kópiu, po ktorej vložíme posledný akord:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi, okrem bodu, kde trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom.

Príklad 5

Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte jej graf.

Toto je príklad na samostatné riešenie, krátke riešenie a približná ukážka úlohy na konci hodiny.

Niekto môže nadobudnúť dojem, že v jednom bode musí byť funkcia nevyhnutne spojitá a v inom bode nutne musí existovať diskontinuita. V praxi to tak nie je vždy. Pokúste sa nezanedbávať zostávajúce príklady - bude tu niekoľko zaujímavých a dôležitých funkcií:

Príklad 6

Daná funkcia. Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Zostavte graf.

Riešenie: a znova okamžite vykonajte kreslenie na koncepte:

Zvláštnosťou tohto grafu je, že po častiach je funkcia daná rovnicou osi x. Tu je táto časť nakreslená zelenou farbou a v poznámkovom bloku je zvyčajne odvážne zvýraznená jednoduchou ceruzkou. A, samozrejme, nezabudnite na naše ovečky: hodnota sa vzťahuje na tangentovú vetvu (červená bodka) a hodnota patrí na priamku.

Z nákresu je všetko jasné - funkcia je spojitá na celej číselnej osi, zostáva vypracovať riešenie, ktoré sa uvedie do plnej automatizácie doslova po 3-4 podobných príkladoch:

ja) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Vypočítajte jednostranné limity:

Existuje teda všeobecný limit.

Tu nastal malý zvrat. Faktom je, že som vytvoril veľa materiálov o hraniciach funkcie, a niekoľkokrát som chcel, no niekoľkokrát som zabudol na jednu jednoduchú otázku. A tak som sa neskutočným úsilím vôle prinútil nestratiť myšlienky =) S najväčšou pravdepodobnosťou niektorí čitatelia-"blbci" pochybujú: aká je hranica konštanty? Limita konštanty sa rovná samotnej konštante. V tomto prípade sa hranica nuly rovná samotnej nule (ľavá hranica).

3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície funkcie, ktorá je spojitá v bode.

II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

A tu, v pravom limite - limit jednotky sa rovná samotnej jednotke.

Existuje všeobecný limit.

3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície funkcie, ktorá je spojitá v bode.

Ako obvykle, po štúdiu prenesieme našu kresbu na čistopis.

Odpoveď: funkcia je v bodoch spojitá.

Upozorňujeme, že za podmienky, že sme sa nič nepýtali na štúdium celej funkcie pre spojitosť, a považuje sa to za dobrú matematickú formu na formulovanie presné a jasné odpoveď na položenú otázku. Mimochodom, ak podľa podmienky nie je potrebné zostaviť graf, potom máte plné právo ho nevytvoriť (hoci vás k tomu môže neskôr učiteľ prinútiť).

Malý matematický "vtip" pre nezávislé riešenie:

Príklad 7

Daná funkcia.

Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Klasifikujte body prerušenia, ak existujú. Vykonajte výkres.

Pokúste sa správne „vysloviť“ všetky „slová“ =) A nakreslite graf presnejšie, presnosť, nebude to všade zbytočné ;-)

Ako si pamätáte, odporučil som vám okamžite nakresliť návrh, ale z času na čas narazíte na také príklady, kde nemôžete okamžite zistiť, ako graf vyzerá. Preto je v mnohých prípadoch výhodné najskôr nájsť jednostranné limity a až potom na základe štúdie vetvy znázorniť. V posledných dvoch príkladoch sa tiež naučíme techniku ​​výpočtu niektorých jednostranných limitov:

Príklad 8

Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte jej schematický graf.

Riešenie: zlé body sú zrejmé: (zmení menovateľa exponentu na nulu) a (na nulu zmení menovateľa celého zlomku). Nie je jasné, ako vyzerá graf tejto funkcie, čo znamená, že je lepšie najskôr vykonať štúdiu:

ja) Skúmame bod kontinuity

2) Nájdite jednostranné limity:

dávaj pozor na typická metóda na výpočet jednostrannej limity: vo funkcii namiesto "X" dosadíme . V menovateli nie je žiadny zločin: „sčítanie“ „mínus nula“ nehrá žiadnu úlohu a ukáže sa „štyri“. Ale v čitateli je malý thriller: najprv zabijeme -1 a 1 v menovateli ukazovateľa, v dôsledku čoho dostaneme . jednotka delená podľa , sa rovná "mínus nekonečnu", preto: . A nakoniec „dvojka“ in nekonečne veľký negatívny stupeň rovná sa nule:. Alebo podrobnejšie: .

Vypočítajme pravú hranicu:

A tu - namiesto "x" dosadíme . V menovateli opäť nehrá rolu „aditívum“: . V čitateli sa vykonávajú akcie podobné predchádzajúcemu limitu: ničíme opačné čísla a delíme jednotku :

Pravá limita je nekonečná, čo znamená, že funkcia trpí nespojitosťou 2. druhu v bode .

II) Skúmame bod kontinuity

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.

2) Vypočítajte ľavý limit:

Metóda je rovnaká: namiesto "x" dosadíme do funkcie. V čitateli nie je nič zaujímavé - vyjde konečné kladné číslo. A v menovateli otvoríme zátvorky, odstránime „trojky“ a „prísada“ hrá rozhodujúcu úlohu.

Výsledkom je konečné kladné číslo delené číslom nekonečne malé kladné číslo, dáva "plus nekonečno": .

Pravá hranica, ako dvojča, s jedinou výnimkou, ktorá sa objaví v menovateli nekonečne malé záporné číslo:

Jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 2. druhu v bode .

Máme teda dva body zlomu a samozrejme tri vetvy grafu. Pre každú vetvu je vhodné zrealizovať stavbu bod po bode, t.j. vezmite niekoľko hodnôt "x" a nahraďte ich do . Všimnite si, že podmienka umožňuje konštrukciu schematického nákresu a takáto relaxácia je pre ručnú prácu prirodzená. Vytváram grafy pomocou programu, takže nemám také ťažkosti, tu je pomerne presný obrázok:

Priame sú vertikálne asymptoty pre graf tejto funkcie.

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi, okrem bodov, kde trpí nespojitosťami 2. druhu.

Jednoduchšia funkcia pre riešenie „urob si sám“:

Príklad 9

Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte schematický nákres.

Vzorový roztok na konci, ktorý sa nepozorovane prikradol.

Do skorého videnia!

Riešenia a odpovede:

Príklad 3:Riešenie : transformovať funkciu: . Vzhľadom na pravidlo rozšírenia modulu a skutočnosť, že , prepíšeme funkciu po častiach:

Skúmame funkciu spojitosti.

1) Funkcia nie je v bode definovaná .

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode . Vykonajte kreslenie:

Odpoveď: funkcia je súvislá na celej číselnej osi okrem bodky , v ktorom trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom. Medzerový skok: (o dve jednotky vyššie).

Príklad 5:Riešenie : každá z troch častí funkcie je spojitá na svojom intervale.
ja)
1)

2) Vypočítajte jednostranné limity:

, takže existuje spoločný limit.
3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
Takže funkcia kontinuálne v bode podľa definície spojitosti funkcie v bode.
II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode. funkcia trpí diskontinuitou 2. druhu, v bode

Ako zistiť rozsah funkcie?

Príklady riešení

Ak niekde niečo chýba, tak niekde niečo je

Pokračujeme v štúdiu časti „Funkcie a grafy“ a ďalšia stanica našej cesty je Rozsah funkcie. Aktívna diskusia o tomto koncepte sa začala hneď na prvej lekcii. o funkčných grafoch, kde som sa pozrel na elementárne funkcie, a najmä na ich rozsah. Preto odporúčam, aby figuríny začali základmi témy, keďže sa nebudem znova venovať niektorým základným bodom.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná oblasti definície hlavných funkcií: lineárne, kvadratické, kubické funkcie, polynómy, exponent, logaritmus, sínus, kosínus. Sú definované na . Pre dotyčnice, arcsínusy, nech sa páči, odpúšťam =) Vzácnejšie grafy sa hneď nezapamätajú.

Zdá sa, že doména definície je jednoduchá vec a vzniká prirodzená otázka, o čom bude článok? V tejto lekcii zvážim bežné úlohy na nájdenie domény funkcie. Okrem toho budeme opakovať nerovnosti s jednou premennou, zručnosti na riešenie, ktoré budú potrebné v iných problémoch vyššej matematiky. Materiál, mimochodom, je celý školský, takže bude užitočný nielen pre študentov, ale aj pre študentov. Informácia sa, samozrejme, netvári ako encyklopedická, no na druhej strane tu nie sú pritiahnuté „mŕtve“ príklady, ale pečené gaštany, ktoré sú prevzaté zo skutočných praktických prác.

Začnime expresným rezom do témy. Stručne k tomu hlavnému: hovoríme o funkcii jednej premennej. Jeho doménou definície je množina hodnôt "x"., pre ktoré existujú význam „hry“. Zvážte hypotetický príklad:

Oblasťou tejto funkcie je spojenie intervalov:
(pre tých, ktorí zabudli: - ikona zlúčenia). Inými slovami, ak vezmeme akúkoľvek hodnotu "x" z intervalu , alebo z , alebo z , potom pre každé takéto "x" bude existovať hodnota "y".

Zhruba povedané, tam, kde je doména definície, existuje graf funkcie. Ale polovičný interval a bod „ce“ nie sú zahrnuté v oblasti definície, takže tam nie je žiadny graf.

Mimochodom, ak niečo nie je jasné z terminológie a / alebo obsahu prvých odsekov, je lepšie vrátiť sa k článku Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií.

Spojitosť funkcie v bode

Nech je funkcia f(x) definovaná v nejakom okolí O(x0) bodu x0 (vrátane samotného bodu x0).

Funkcia f(x) sa nazýva spojitá v bode x0, ak v tomto bode existuje limx → x0 f(x) rovná hodnote funkcie f(x): lim

f(x) = f(x0), (1)

tie. "0(f(x0)) $0(x0): x 0(x0) x f(x) 0(f(x0)).

Komentujte. Rovnosť (1) môže byť napísaná ako: lim

tie. pod znamienkom spojitej funkcie sa dá prejsť na limitu.

Nech Δx = x − x0 je prírastok argumentu, Δy = f(x) − f(x0) je zodpovedajúci prírastok funkcie.

Nevyhnutná a postačujúca podmienka spojitosti funkcie v bode

Funkcia y = f(x) je spojitá pri x0 vtedy a len vtedy

Komentujte. Podmienku (2) možno interpretovať ako druhú definíciu spojitosti funkcie v bode. Obe definície sú ekvivalentné.

Nech je funkcia f(x) definovaná v intervale .

O funkcii f(x) sa hovorí, že je ponechaná spojitá v bode x0, ak existuje jednostranná limitná hranica

Spojitosť súčtu, súčinu a kvocientu dvoch spojitých funkcií

Veta 1. Ak sú funkcie f(x) a g(x) spojité v bode x0, potom f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) sú v tomto spojité bod

Spojitosť komplexnej funkcie

Veta 2. Ak je funkcia u(x) spojitá v bode x0 a funkcia f(u) je spojitá v príslušnom bode u0 = f(x0), potom je zložená funkcia f(u(x)) spojitá v bode x0.

Všetky elementárne funkcie sú spojité v každom bode svojich domén.

Lokálne vlastnosti spojitých funkcií

Veta 3 (obmedzenosť spojitej funkcie). Ak je funkcia f(x) spojitá v bode x0, potom existuje okolie O(x0), v ktorom je f(x) ohraničené.

Dôkaz vyplýva z tvrdenia, že funkcia, ktorá má limitu, je ohraničená.

Veta 4 (stabilita znamienka spojitej funkcie). Ak je funkcia f(x) spojitá v bode x0 a f(x0) ≠ 0, potom existuje okolie bodu x0, kde f(x) ≠ 0 a znamienko f(x) v tomto okolí sa zhoduje so znamienkom f(x0).

Klasifikácia bodov zlomu

Podmienka (1) spojitosti funkcie f(x) v bode x0 je ekvivalentná podmienke f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

kde f(x 0 − 0) = lim

f(x) a f(x0 + 0) = limit

f(x) - jednostranné limity funkcie f(x) v bode x0.

Ak je podmienka (3) porušená, bod x0 sa nazýva bod nespojitosti funkcie f(x). V závislosti od typu porušenia podmienky (3) majú body prerušenia rôzny charakter a sú klasifikované takto:

1. Ak v bode x0 existujú jednostranné limity f(x0 − 0), f (x0 + 0) a

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), potom bod x0 nazývame bodom nespojitosti funkcie f(x) (obr. 1).

Komentujte. V bode x0 nemusí byť funkcia definovaná.

2. Ak v bode x0 existujú jednostranné limity f(x0 − 0), f (x0 + 0) a

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), potom bod x0 nazývame bodom nespojitosti s konečným skokom funkcie f(x) (obr. 2).

Komentujte. V bode diskontinuity s konečným skokom môže byť hodnota funkcie akákoľvek alebo nemusí byť definovaná.

Body odstrániteľnej diskontinuity a konečného skoku sa nazývajú body diskontinuity 1. druhu. Ich charakteristickým znakom je existencia konečných jednostranných limitov f(x0 − 0) a

3. Ak sa v bode x0 aspoň jedna z jednostranných limitov f(x0 − 0), f (x0 + 0) rovná nekonečnu alebo neexistuje, potom
x0 sa nazýva bod nespojitosti 2. druhu (obr. 3).

Ak sa aspoň jedna z jednostranných limitov f(x0 − 0), f (x0 + 0) rovná nekonečnu, potom sa priamka x = x 0 nazýva vertikálna asymptota grafu funkcie y = f( X).

Definícia. Funkcia f(x) definovaná v okolí nejakého bodu x0 sa nazýva spojitá v bode x0, ak sa limita funkcie a jej hodnota v tomto bode rovnajú, t.j.

Tá istá skutočnosť môže byť napísaná inak:

Definícia. Ak je funkcia f(x) definovaná v niektorom okolí bodu x0, ale nie je spojitá v samotnom bode x0, potom sa nazýva nespojitá funkcia a bod x0 sa nazýva bod nespojitosti.

Definícia. Funkcia f(x) sa nazýva spojitá v bode x0, ak pre akékoľvek kladné číslo e>0 existuje číslo D>0 také, že pre každé x spĺňa podmienku

skutočná nerovnosť.

Definícia. Funkcia f(x) sa nazýva spojitá v bode x = x0, ak prírastok funkcie v bode x0 je nekonečne malá hodnota.

f(x) = f(x0) + a(x)

kde a(x) je nekonečne malé pre x®x0.

Vlastnosti spojitých funkcií.

1) Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií v bode x0 je spojitá funkcia v bode x0.

2) Podiel dvoch spojitých funkcií je spojitá funkcia za predpokladu, že g(x) sa v bode x0 nerovná nule.

3) Superpozícia spojitých funkcií je spojitá funkcia.

Táto vlastnosť môže byť zapísaná nasledovne:

Ak u = f(x), v = g(x) sú spojité funkcie v bode x = x0, potom funkcia v = g(f(x)) je tiež spojitá funkcia v tomto bode.

Platnosť vyššie uvedených vlastností sa dá ľahko dokázať pomocou limitných viet

Vlastnosti funkcií spojitých na intervale.

Vlastnosť 1: (Prvá Weierstrassova veta (Weierstrass Karl (1815-1897) – nemecký matematik)). Funkcia, ktorá je na intervale spojitá, je na tomto intervale ohraničená, t.j. na intervale je splnená podmienka –M £ f(x) £ M.

Dôkaz tejto vlastnosti je založený na skutočnosti, že funkcia, ktorá je spojitá v bode x0, je ohraničená v nejakom jej okolí, a ak segment rozdelíme na nekonečný počet segmentov, ktoré sa „stiahnu“ do bodu x0, potom vzniká určité okolie bodu x0.

Vlastnosť 2: Funkcia, ktorá je na intervale spojitá, nadobúda svoje maximálne a minimálne hodnoty.

Tie. existujú hodnoty x1 a x2 také, že f(x1) = m, f(x2) = M a

Zaznamenávame tieto maximálne a minimálne hodnoty, ktoré funkcia môže nadobudnúť na segmente a niekoľkokrát (napríklad f (x) = sinx).

Rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou funkcie na segmente sa nazýva oscilácia funkcie na segmente.

Vlastnosť 3: (Druhá Bolzanova – Cauchyho veta). Funkcia, ktorá je v segmente spojitá, preberá tento segment všetky hodnoty medzi dvoma ľubovoľnými hodnotami.

Vlastnosť 4: Ak je funkcia f(x) spojitá v bode x = x0, potom existuje nejaké okolie bodu x0, v ktorom si funkcia zachováva svoje znamienko.

Vlastnosť 5: (Prvá Bolzanova veta (1781-1848) - Cauchy). Ak je funkcia f(x) na segmente spojitá a má na koncoch segmentu hodnoty opačných znamienok, potom v tomto segmente existuje bod, kde f(x) = 0.

Tie. ak znamienko(f(a)) ¹ znamienko(f(b)), potom $ x0: f(x0) = 0.

Definícia. Funkcia f(x) sa nazýva rovnomerne spojitá na intervale, ak pre ľubovoľné e>0 existuje D>0 také, že pre ľubovoľné body x1О a x2О také, že

х2 – х1п< D

nerovnosť ïf(x2) – f(x1)ï< e

Rozdiel medzi rovnomernou kontinuitou a „obyčajnou“ kontinuitou je v tom, že pre každé e existuje vlastné D, ktoré nezávisí od x, zatiaľ čo pre „obyčajnú“ kontinuitu D závisí od e a x.

Vlastnosť 6: Cantorova veta (Kantor Georg (1845-1918) – nemecký matematik). Funkcia, ktorá je spojitá na segmente, je na ňom rovnomerne spojitá.

(Táto vlastnosť je platná len pre segmenty, nie pre intervaly a polovičné intervaly.)

Definícia kontinuity

Funkcia f (x) sa nazýva spojitá v bode a, ak: f () pp

1) funkcia f(x) je definovaná v bode a,

2) má konečnú limitu ako x→ a 2) má konečnú limitu ako x→ a,

3) tento limit sa rovná hodnote funkcie v tomto bode:

Spojitosť na intervale

Funkcia f (x) sa nazýva spojitá na intervale X, ak f () pp py

Je spojitá v každom bode tohto intervalu.

Vyhlásenie. Všetky elementárne funkcie sú spojité

Oblasti ich definície.

ohraničená funkcia

Funkcia sa nazýva ohraničená na segmente if

existuje číslo M také, že pre všetky x ∈

nerovnosť:| f(x)| ≤ M.

Dve Weierstrassove vety

Prvá Weierstrassova veta. Ak funkcia f (x p p p fu f (

je spojitý na segmente , potom je ohraničený na tomto segmente

Druhá Weierstrassova veta. Ak funkcia f(x

je súvislá na segmente , potom musí dosiahnuť tento segment

najmenšia hodnota m a najväčšia hodnota M.

Bolzanova-Cauchyho veta

Ak je funkcia f (x) spojitá na intervale a na fu f () pp p

na koncoch tohto segmentu majú f(a) a f(b) opačné znamienka,

potom vo vnútri segmentu je bod c∈ (a,b) taký, že f (c) = 0. ur p () f ()

Heineho definícia kontinuity

Funkciou reálnej premennej \(f\left(x \right)\) sa hovorí nepretržitý v bode \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)množina reálnych čísel), ak pre akúkoľvek postupnosť \(\left\( ((x_n)) \right\) \ ) tak, že \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n)) \right) = f\left(a \right).\] V praxi je vhodné použiť nasledujúce \(3\) podmienky spojitosti pre funkciu \(f\left(x \right)\) v bode \(x = a\) (čo sa musí urobiť súčasne):

1. Funkcia \(f\left(x \right)\) je definovaná v bode \(x = a\);
2. Limit \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) existuje;
3. Rovnosť \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) je splnená.

Definícia Cauchyho kontinuity (zápis \(\varepsilon - \delta\))

Uvažujme funkciu \(f\left(x \right)\), ktorá mapuje množinu reálnych čísel \(\mathbb(R)\) na inú podmnožinu \(B\) reálnych čísel. Hovorí sa, že funkcia \(f\left(x \right)\) je nepretržitý v bode \(a \in \mathbb(R)\), ak pre akékoľvek číslo \(\varepsilon > 0\) existuje číslo \(\delta > 0\) také, že pre všetky \(x \in \mathbb (R)\) spĺňajúce vzťah \[\left| (x - a) \vpravo| Definícia kontinuity z hľadiska prírastkov argumentov a funkcií

Definícia spojitosti môže byť formulovaná aj pomocou prírastkov argumentov a funkcií. Funkcia je spojitá v bode \(x = a\), ak \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f \left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] kde \(\Delta x = x - a\).

Vyššie uvedené definície spojitosti funkcie sú ekvivalentné na množine reálnych čísel.

Funkcia je nepretržite v tomto intervale ak je spojitý v každom bode tohto intervalu.

Vety o kontinuite

Veta 2.
Dané dve funkcie \((f\left(x \right))\) a \((g\left(x \right))\) spojité v bode \(x = a\). Potom súčet týchto funkcií \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) je tiež spojitý v bode \(x = a\).

Veta 3.
Predpokladajme, že dve funkcie \((f\left(x \right))\) a \((g\left(x \right))\) sú spojité v bode \(x = a\). Potom súčin týchto funkcií \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) je tiež spojitý v bode \(x = a\).

Veta 4.
Dané dve funkcie \((f\left(x \right))\) a \((g\left(x \right))\), ktoré sú spojité pre \(x = a\). Potom je pomer týchto funkcií \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) tiež spojitý pre \(x = a\ ) pod podmienkou, že \((g\left(a \right)) \ne 0\).

Veta 5.
Predpokladajme, že funkcia \((f\left(x \right))\) je diferencovateľná v bode \(x = a\). Potom je funkcia \((f\left(x \right))\) v tomto bode spojitá (to znamená, že z diferencovateľnosti vyplýva, že funkcia je v bode spojitá; naopak to neplatí).

Veta 6 (Veta o limitnej hodnote).
Ak je funkcia \((f\left(x \right))\) spojitá na uzavretom a ohraničenom intervale \(\left[ (a,b) \right]\), potom je ohraničená nad a pod na daný interval. Inými slovami, existujú čísla \(m\) a \(M\) také, že \ pre všetky \(x\) v intervale \(\left[ (a,b) \right]\) (obrázok 1) .

Spojitosť elementárnych funkcií

Všetky elementárne funkcie sú nepretržité v ktoromkoľvek bode v ich doméne definície.

Funkcia sa volá elementárne , ak je zostavený z konečného počtu kompozícií a kombinácií
(pomocou \(4\) operácií - sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) . Veľa základné elementárne funkcie zahŕňa:

Spojitosť funkcie v bode.

Zavolá sa funkcia definovaná v okolí nejakého bodu súvislý v bode, ak sa limita funkcie a jej hodnota v tomto bode rovnajú, t.j.

Tá istá skutočnosť môže byť napísaná inak:

Ak je funkcia definovaná v niektorom okolí bodu, ale nie je spojitá v samotnom bode, potom sa volá diskontinuálne a bod je bodom zlomu.

Príklad spojitej funkcie:

0 x 0 -D x 0 x 0 + D x

Príklad nespojitej funkcie:

Funkcia sa nazýva spojitá v bode, ak pre akékoľvek kladné číslo existuje číslo také, že pre akékoľvek splnenie podmienky: nerovnosť platí.

Funkcia sa volá nepretržitý v bode, ak je prírastok funkcie v bode nekonečne malá hodnota.

kde je nekonečno malé v .

Vlastnosti spojitých funkcií.

1) súčet, rozdiel a súčin funkcií spojitých v bode - existuje funkcia spojitá v bode;

2) podiel dvoch spojitých funkcií je spojitá funkcia za predpokladu, že sa v bode nerovná nule;

3) superpozícia spojitých funkcií je spojitá funkcia.

Táto vlastnosť môže byť zapísaná nasledovne:

Ak sú v bode spojité funkcie, potom je funkcia v tomto bode tiež spojitou funkciou.

Platnosť vyššie uvedených vlastností sa dá ľahko dokázať,

pomocou limitných viet.

Spojitosť niektorých elementárnych funkcií.

1. Funkcia , je spojitá funkcia v celej oblasti definície.

2. Racionálna funkcia je spojitá pre všetky hodnoty okrem tých, pri ktorých menovateľ zmizne. Funkcia tohto druhu je teda spojitá v celej oblasti definície.

3. Goniometrické funkcie a sú spojité na svojom definičnom obore.

Dokážme vlastnosť 3 pre funkciu .

Napíšme prírastok funkcie , alebo po transformácii:

V skutočnosti existuje limit na súčin dvoch funkcií a . V tomto prípade je kosínusová funkcia obmedzenou funkciou v , a od limit funkcie sínus, potom je nekonečne malý pri .

Existuje teda súčin ohraničenej funkcie a infinitezimálnej, preto tento súčin, t.j. funkcia je nekonečne malá. V súlade s definíciami diskutovanými vyššie je funkcia spojitou funkciou pre akúkoľvek hodnotu z oblasti definície, pretože jeho prírastok v tomto bode je nekonečne malá hodnota.

Body diskontinuity a ich klasifikácia.

Uvažujme o nejakej funkcii, ktorá je spojitá v okolí bodu , možno s výnimkou tohto bodu samotného. Z definície bodu zlomu funkcie vyplýva, že bod zlomu je vtedy, ak funkcia v tomto bode nie je definovaná alebo v ňom nie je spojitá.

Treba si tiež uvedomiť, že kontinuita funkcie môže byť jednostranná. Vysvetlíme si to nasledujúcim spôsobom.

Ak je jednostranná limita (pozri vyššie), potom sa o funkcii hovorí, že je pravo-spojitá.

Bod sa volá bod zlomu funkcia, ak nie je definovaná v bode alebo nie je v tomto bode spojitá.

Bod sa volá bod diskontinuity 1. druhu, ak má funkcia v tomto bode konečné, ale nie rovnaké ľavé a pravé limity:

Pre splnenie podmienok tejto definície nie je potrebné, aby bola funkcia definovaná v bode , stačí, aby bola definovaná naľavo a napravo od neho.

Z definície môžeme usúdiť, že v bode diskontinuity 1. druhu môže mať funkcia len konečný skok. V niektorých špeciálnych prípadoch sa niekedy nazýva aj bod diskontinuity 1. druhu jednorazové bod zlomu, ale o tom nižšie.

Bod sa volá bod diskontinuity 2. druhu, ak v tomto bode funkcia nemá aspoň jednu z jednostranných limitov, alebo aspoň jedna z nich je nekonečná.

Príklad 1 . Dirichletova funkcia (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - nemecký matematik, člen korešpondenta Petrohradskej akadémie vied v roku 1837)

nie je spojitá v žiadnom bode x 0 .

Príklad 2 . Funkcia má v bode bod nespojitosti 2. druhu, od r .

Príklad 3 .

Funkcia nie je definovaná v bode , ale má v ňom konečnú limitu, t.j. v bode má funkcia bod nespojitosti 1. druhu. Toto je odstrániteľný bod prerušenia, pretože ak definujete funkciu:

Graf tejto funkcie:

Príklad 4 .

Táto funkcia je tiež označená znakom -. Funkcia nie je v bode definovaná. Pretože ľavá a pravá hranica funkcie sú rôzne, potom je bod zlomu 1. druhu. Ak predefinujeme funkciu v bode nastavením , potom funkcia bude spojitá vpravo, ak dáme , funkcia bude spojitá vľavo, ak dáme rovné ľubovoľnému číslu okrem 1 alebo -1, potom funkcia nebude spojitá ani vľavo, ani vpravo, ale vo všetkých prípadoch bude mať v bode diskontinuitu 1. druhu. V tomto príklade bod diskontinuity 1. druhu nie je odstrániteľný.

Aby bol teda bod nespojitosti 1. druhu odstrániteľný, je potrebné, aby jednostranné limity vpravo a vľavo boli konečné a rovnaké a funkcia by v tomto bode bola nedefinovaná.

2.2. Spojitosť funkcie na intervale a na segmente.

Funkcia sa volá spojité na intervale (segmente), ak je súvislý v ktoromkoľvek bode intervalu (segmentu).

Toto nevyžaduje spojitosť funkcie na koncoch segmentu alebo intervalu, vyžaduje sa len jednostranná spojitosť na koncoch segmentu alebo intervalu.

Vlastnosti funkcií spojitých na intervale.

Nehnuteľnosť 1. (Prvá Weierstrassova veta (Weierstrass Karl (1815-1897) - nemecký matematik)). Funkcia, ktorá je na intervale spojitá, je na tomto intervale ohraničená, t.j. na segmente je splnená nasledujúca podmienka:

Dôkaz tejto vlastnosti je založený na skutočnosti, že funkcia, ktorá je v bode spojitá, je ohraničená v nejakom jej okolí, a ak segment rozdelíme na nekonečný počet segmentov, ktoré sa „stiahnu“ do bodu, potom susedstvo bodu sa tvorí.

Nehnuteľnosť 2. Funkcia, ktorá je na intervale spojitá, nadobúda svoje maximálne a minimálne hodnoty.

Tie. existujú hodnoty a také, že , , a:

Poznámka. že funkcia môže nadobudnúť tieto maximálne a minimálne hodnoty na segmente a niekoľkokrát (napríklad - ).

Volá sa rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou funkcie na segmente váhanie funkcie na segmente.

Nehnuteľnosť 3. (Druhá Bolzanova – Cauchyho veta). Funkcia, ktorá je v segmente spojitá, preberá tento segment všetky hodnoty medzi dvoma ľubovoľnými hodnotami.

Nehnuteľnosť 4. Ak je funkcia v bode spojitá, potom existuje určité okolie bodu, kde si funkcia zachováva svoje znamienko.

Nehnuteľnosť 5. (Prvá Bolzanova veta (1781-1848) - Cauchy). Ak je funkcia v segmente spojitá a má na koncoch segmentu hodnoty opačných znamienok, potom je vo vnútri tohto segmentu bod, kde . a blízko k nule.

v bode je funkcia spojitá v bode bodovej diskontinuity 1. druhu

Uvádzajú sa definície a formulácie hlavných viet a vlastností spojitej funkcie jednej premennej. Zvažujú sa vlastnosti spojitej funkcie v bode, na úsečke, limita a spojitosť komplexnej funkcie a klasifikácia bodov nespojitosti. Sú uvedené definície a vety týkajúce sa inverznej funkcie. Uvádzajú sa vlastnosti elementárnych funkcií.

Koncept kontinuity možno formulovať v podmienky prírastkov. Za týmto účelom zavedieme novú premennú, ktorá sa nazýva prírastok premennej x v bode. Potom je funkcia spojitá v bode ak
.
Predstavme si novú funkciu:
.
Volajú ju prírastok funkcie v bode . Potom je funkcia spojitá v bode ak
.

Definícia kontinuity vpravo (vľavo)
funkcia f (X) volal súvislá vpravo (vľavo) v bode x 0 , ak je definovaná na niektorom pravostrannom (ľavostrannom) okolí tohto bodu a ak pravá (ľavá) hranica v bode x 0 sa rovná hodnote funkcie v x 0 :
.

Veta o ohraničenosti pre spojitú funkciu
Nech funkcia f (X) spojitý pri x 0 . Potom existuje susedstvo U (x0) na ktorých je funkcia obmedzená.

Veta o zachovaní znamienka spojitej funkcie
Nech je funkcia spojitá v bode . A nech má v tomto bode kladnú (zápornú) hodnotu:
.
Potom existuje také okolie bodu, v ktorom má funkcia kladnú (zápornú) hodnotu:
v .

Aritmetické vlastnosti spojitých funkcií
Nech funkcie a sú spojité v bode .
Potom funkcie , a sú v bode spojité .
Ak , potom je funkcia v bode tiež spojitá .

Vlastnosť s ľavou a pravou kontinuitou
Funkcia je spojitá v bode práve vtedy, ak je spojitá vpravo a vľavo.

Dôkazy vlastností sú uvedené na stránke "Vlastnosti funkcií spojitých v bode".

Spojitosť komplexnej funkcie

Veta o spojitosti komplexnej funkcie
Nech je funkcia spojitá v bode . A nech je funkcia v bode spojitá.
Potom je komplexná funkcia v bode spojitá.

Limit komplexnej funkcie

Veta o limite spojitej funkcie funkcie
Nech existuje limita funkcie v , a rovná sa:
.
Tu bod t 0 môže byť konečný alebo v nekonečne: .
A nech je funkcia v bode spojitá.
Potom existuje limita komplexnej funkcie a rovná sa:
.

Veta o limite komplexnej funkcie
Nech má funkcia limit a mapujte prepichnuté okolie bodu na prepichnuté okolie bodu. Nech je funkcia definovaná na tomto okolí a má naň limit.
Tu - konečné alebo nekonečne vzdialené body: . Okolie a im zodpovedajúce limity môžu byť obojstranné alebo jednostranné.
Potom existuje limita komplexnej funkcie a rovná sa:
.

body zlomu

Určenie bodu zlomu
Nech je funkcia definovaná na nejakom punktovanom okolí bodu. Bod sa volá bod zlomu funkcie ak je splnená jedna z dvoch podmienok:
1) nie je definované v ;
2) je definovaný v , ale nie je v tomto bode.

Určenie bodu zlomu 1. druhu
Bod sa volá bod zlomu prvého druhu, ak je bod zlomu a naľavo a napravo sú konečné jednostranné limity:
.

Definícia skoku funkcie
Funkcia skoku Δ v bode sa nazýva rozdiel medzi limitmi vpravo a vľavo
.

Určenie bodu zlomu
Bod sa volá bod zlomu ak existuje limit
,
ale funkcia v bode buď nie je definovaná alebo sa nerovná limitnej hodnote: .

Bod nespojitosti je teda bod nespojitosti 1. druhu, v ktorom je skok funkcie rovný nule.

Určenie bodu zlomu 2. druhu
Bod sa volá bod zlomu druhého druhu, ak nejde o bod nespojitosti 1. druhu. To znamená, že ak neexistuje aspoň jedna jednostranná limita, alebo ak sa aspoň jedna jednostranná limita v bode rovná nekonečnu.

Vlastnosti funkcií spojitých na intervale

Definícia funkcie spojitá na segmente
Funkcia sa nazýva spojitá na segmente (for ), ak je spojitá vo všetkých bodoch otvoreného intervalu (for ) a v bodoch a a b .

Prvá Weierstrassova veta o ohraničenosti funkcie spojitej na intervale
Ak je funkcia spojitá na segmente, potom je na tomto segmente ohraničená.

Určenie dosiahnuteľnosti maxima (minima)
Funkcia dosiahne svoje maximum (minimum) na množine, ak existuje argument pre ktorú
pre všetkých .

Určenie dosiahnuteľnosti hornej (dolnej) hranice
Funkcia dosiahne svoju hornú (dolnú) hranicu množiny, ak existuje argument pre ktorú
.

Druhá Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie
Funkcia spojitá na segmente na ňom dosiahne svoju hornú a dolnú hranicu alebo, čo je to isté, dosiahne na segmente svoje maximum a minimum.

Bolzanova-Cauchyho veta o strednej hodnote
Nech je funkcia spojitá na intervale . A nech C je ľubovoľné číslo medzi hodnotami funkcie na koncoch segmentu: a . Potom je tu bod, pre ktorý
.

Dôsledok 1
Nech je funkcia spojitá na intervale . A nech majú funkčné hodnoty na koncoch segmentu rôzne znamienka: alebo . Potom existuje bod, kde sa hodnota funkcie rovná nule:
.

Dôsledok 2
Nech je funkcia spojitá na intervale . Nechaj to tak . Potom funkcia prevezme všetky hodnoty segmentu a iba tieto hodnoty:
v .

Inverzné funkcie

Definícia inverznej funkcie
Nech má funkcia doménu X a množinu hodnôt Y. A nech má vlastnosť:
pre všetkých .
Potom pre ľubovoľný prvok z množiny Y možno priradiť iba jeden prvok z množiny X, pre ktorý . Táto korešpondencia definuje funkciu tzv inverzná funkcia do . Inverzná funkcia je označená takto:
.

Z definície vyplýva, že
;
pre všetkých ;
pre všetkých .

Lema o vzájomnej monotónnosti priamych a inverzných funkcií
Ak je funkcia striktne rastúca (klesajúca), potom existuje inverzná funkcia, ktorá je tiež striktne rastúca (klesajúca).

Vlastnosť o symetrii grafov priamych a inverzných funkcií
Grafy priamych a inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamu čiaru.

Veta o existencii a spojitosti inverznej funkcie na segmente
Nech je funkcia spojitá a prísne rastúca (klesajúca) na intervale. Potom na intervale je inverzná funkcia definovaná a spojitá, ktorá je striktne rastúca (klesajúca).

Pre zvyšujúcu sa funkciu. Pre zostup - .

Veta o existencii a spojitosti inverznej funkcie na intervale
Nech je funkcia spojitá a prísne rastúca (klesajúca) na otvorenom konečnom alebo nekonečnom intervale. Potom je inverzná funkcia definovaná a spojitá na intervale, ktorý je striktne rastúci (klesajúci).

Pre zvyšujúcu sa funkciu.
Pre zostup: .

Podobným spôsobom možno sformulovať vetu o existencii a spojitosti inverznej funkcie na polovičnom intervale.

Vlastnosti a spojitosť elementárnych funkcií

Elementárne funkcie a ich inverzné vlastnosti sú spojité na svojom definičnom obore. V nasledujúcom texte uvádzame formulácie príslušných viet a uvádzame odkazy na ich dôkazy.

Exponenciálna funkcia

exponenciálna funkcia f (x) = x, so základňou a > 0 je limit postupnosti
,
kde je ľubovoľná postupnosť racionálnych čísel smerujúca k x:
.

Veta. Vlastnosti exponenciálnej funkcie
Exponenciálna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
(str. 0) je definovaný, pre , pre všetkých ;
(str. 1) keď a ≠ 1 má veľa významov;
(str. 2) striktne sa zvyšuje pri , striktne klesá pri , je konštantná pri ;
(str. 3) ;
(str. 3*) ;
(str. 4) ;
(str. 5) ;
(str. 6) ;
(str. 7) ;
(str. 8) je nepretržitý pre všetkých;
(str. 9) v ;
v .

Logaritmus

Logaritmická funkcia alebo logaritmus y = log x, so základňou a je inverzia exponenciálnej funkcie so základom a.

Veta. Vlastnosti logaritmu
Logaritmická funkcia so základom a, y = log x, má nasledujúce vlastnosti:
(L.1) je definovaný a spojitý, pre a , pre kladné hodnoty argumentu,;
(L.2) má veľa významov;
(L.3) prísne zvyšuje pri , striktne znižuje pri ;
(L.4) v ;
v ;
(L.5) ;
(L.6) v ;
(L.7) v ;
(L.8) v ;
(L.9) v .

Exponent a prirodzený logaritmus

V definíciách exponenciálnej funkcie a logaritmu sa objavuje konštanta a, ktorá sa nazýva základňa stupňa alebo základ logaritmu. V matematickej analýze sa vo veľkej väčšine prípadov získajú jednoduchšie výpočty, ak sa ako základ použije číslo e:
.
Exponenciálna funkcia so základom e sa nazýva exponent: a logaritmus so základom e sa nazýva prirodzený logaritmus: .

Vlastnosti exponentu a prirodzeného logaritmu sú uvedené na stranách
"Exponent, e na mocninu x",
"Prirodzený logaritmus, funkcia ln x"

Funkcia napájania

Mocninná funkcia s exponentom p je funkcia f (x) = xp, ktorej hodnota v bode x sa rovná hodnote exponenciálnej funkcie so základom x v bode p .
Okrem toho f (0) = 0 p = 0 pre p > 0 .

Tu uvažujeme o vlastnostiach mocninnej funkcie y = x p pre nezáporné hodnoty argumentu. Pre racionálne , pre nepárne m , je exponenciálna funkcia definovaná pre záporné x . V tomto prípade je možné jeho vlastnosti získať pomocou párneho alebo nepárneho.
Tieto prípady sú podrobne diskutované a znázornené na stránke Funkcia napájania, jej vlastnosti a grafy.

Veta. Vlastnosti výkonovej funkcie (x ≥ 0)
Mocninná funkcia y = x p s exponentom p má tieto vlastnosti:
(C.1) definované a nepretržité na súbore
o ,
v ".

Goniometrické funkcie

Veta o spojitosti pre goniometrické funkcie
Goniometrické funkcie: sínus ( hriech x), kosínus ( cos x), dotyčnica ( tg x) a kotangens ( ctg x

Veta o kontinuite pre inverzné goniometrické funkcie
Inverzné goniometrické funkcie: arcsínus ( arcsin x), oblúkový kosínus ( arccos x), oblúková tangens ( arctg x) a oblúková tangens ( arcctg x) sú súvislé vo svojich oblastiach definície.

Referencie:
O.I. Démoni. Prednášky o matematickej analýze. Časť 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.