Hľadanie koeficientov polynómu. Polia. Pozrite sa, čo sú "polynomické koeficienty" v iných slovníkoch

1. metóda pomocou grafu;
2. spôsob s funkciou Excel =LINEST();

Prečítajte si viac o polynóme a o tom, ako ho vypočítať v Exceli neskôr v našom článku.

Polynomický trend používa sa na opis hodnôt časových radov, striedavo rastúcich a klesajúcich. Polynóm je skvelý na analýzu veľkého súboru údajov s nestabilnou hodnotou (napríklad predaj sezónnych produktov).

Čo je to polynóm? Polynóm je mocninná funkcia y=ax 2 +bx+c (polynóm druhého stupňa) a y=ax 3 +bx 2 +cx+d (polynóm tretieho stupňa) atď. Polynomický stupeň určuje počet extrémov (vrcholov), t.j. maximálne a minimálne hodnoty za analyzované časové obdobie.

O polynóm druhého stupňa y=ax 2 +bx+c (v grafe pod 1 maximum).

O Polynóm tretieho stupňa y=ax 3 +bx 2 +cx+d môže byť jeden alebo dva extrémy.

Jeden extrém

Dva extrémy

O Polynóm štvrtého stupňa nikdy viac tri extrémy atď.

Ako vypočítať polynómové hodnoty v Exceli?

Existujú 3 spôsoby, ako vypočítať polynómové hodnoty v Exceli:

1. metóda pomocou grafu;
2. spôsob pomocou funkcie Excel =LINEST;
3. metóda pomocou Forecast4AC PRO;

1. spôsob výpočtu polynómu – pomocou grafu

Vyberieme sériu s hodnotami a vykreslíme graf časovej rady.

Do grafu pridáme polynóm 6. stupňa.

Potom vo formáte trendovej čiary začiarknite políčko „zobraziť rovnicu v grafe“

Potom sa rovnica vykreslí y = 3,7066x 6 - 234,94x 5 + 4973,6x 4 - 35930x 3 - 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06. Aby bol posledný koeficient čitateľný, podržíme ľavé tlačidlo myši a vyberieme polynomickú rovnicu

Kliknite pravým tlačidlom myši a vyberte "formát trendovej značky"

V nastaveniach podpisu trendovej čiary vyberte číslo a vo formátoch čísel zvoľte "Číselný".

Získame polynomickú rovnicu v čitateľnom formáte:

y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4973,59x 4 - 35929,91x 3 - 7576,79x 2 + 645514,77x + 4693169,35

Z tejto rovnice vezmeme koeficienty a, b, c, d, g, m, v a zadajte do príslušných buniek Excelu

Každému obdobiu v časovom rade priradíme poradové číslo, ktoré do rovnice dosadíme namiesto X.

Vypočítajme polynómové hodnoty pre každé obdobie. Aby sme to dosiahli, zadáme polynómový vzorec y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4 973,59x 4 - 35 929,91x 3 - 7 576,79x 2 + 645 514,77x + 4 635 v prvej bunke trendu. koeficienty (pozri )

R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 +R7C8*RC[-3] +R8C8

2. spôsob výpočtu polynómu v Exceli - Funkcia LINREGRESE().

Vypočítajte koeficienty lineárneho trendu pomocou štandardu Excel funkcie = LINEST()

Na výpočet koeficientov vo vzorci =LINEST(známe hodnoty y, známe hodnoty x, konštanta, štatistika) zadajte:

"známe hodnoty y" (objemy predaja za obdobia),
"známe hodnoty x" (poradové číslo časového radu),
vložte "1" do konštanty
do štatistiky "0"

Dostaneme nasledujúci vzorec:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C;R[-5]C:R[-5]C;1;0),

Teraz formulovať Linen() vypočítal koeficienty polynómu, treba k nemu pripočítať stupeň polynómu, ktorého koeficienty chceme vypočítať.

Za týmto účelom zadáme do časti vzorca so „známymi hodnotami x“. polynomický stupeň:

^(1:2:3:4:5:6) - na výpočet koeficientov polynómu 6. stupňa
^(1:2:3:4:5) - na výpočet koeficientov polynómu 5. stupňa
^(1:2) - na výpočet koeficientov polynómu 2. stupňa

Dostaneme nasledujúci vzorec:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C; R[-5]C:R[-5]C^(1:2:3:4:5:6); 1; 0)

Do bunky zadáme vzorec, dostaneme 3,71 -- hodnotu (a) pre polynóm 6. stupňa y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Pre Excel na výpočet všetkých 7 polynómových koeficientov 6. stupeň y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, potrebujete:

1. Umiestnite kurzor do bunky so vzorcom a vyberte 7 susediacich buniek vpravo, ako na obrázku:

2. Stlačte kláves F2

Dostaneme 7 koeficientov polynomického trendu 6. stupňa.

Vypočítajme hodnoty polynomického trendu pomocou získaných koeficientov. Dosadíme do rovnice y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 čísla období X, pre ktoré chceme vypočítajte hodnoty polynómu.

Každému obdobiu v časovom rade priradíme poradové číslo, ktoré dosadíme do polynómovej rovnice namiesto X.

Vypočítajme hodnoty polynomického trendu pre každé obdobie. Za týmto účelom zadáme do prvej bunky polynómový vzorec a opravíme prepojenia na trendové koeficienty (pozri)

Dostaneme nasledujúci vzorec:

R2C8 *RC[-3]^6+R3C8 *RC[-3]^5+R4C8 *RC[-3]^4+R5C8 *RC[-3]^3+R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+R8C8

v ktorom sú trendové koeficienty fixné a namiesto "x" dosadíme odkaz na číslo aktuálneho časového radu (pre prvú hodnotu 1, pre druhú 2 atď.)

Tiež zvýšime "X" na príslušnú mocninu (ikona v Exceli "^" znamená umocnenie)

R2C8*RC[-3]^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 + R7C8*RC[-3]+R8C8

Teraz natiahneme vzorec na koniec časového radu a získame vypočítané hodnoty polynomického trendu pre každé obdobie.

2. spôsob je presnejší ako prvý, pretože dostávame trendové koeficienty bez zaokrúhľovania a tento výpočet je aj rýchlejší.

3. spôsob výpočtu hodnôt polynomického trendu - Forecast4AC PRO

Nastavte kurzor na začiatok časového radu

Prejdite do nastavení Forecast4AC PRO, vyberte „Predpoveď s rastom a sezónnosťou“, „Polynóm 6. stupňa“, stlačte tlačidlo „Vypočítať“.

Prejdeme do hárku s výpočtom krok za krokom „ForPol6“, nájdeme riadok „Aktuálny trend“:

Skopírujte hodnoty do nášho hárku.

Získame hodnoty polynómu 6. stupňa, vypočítané 3 spôsobmi pomocou:

Vynesené koeficienty polynomického trendu;
Polynomické koeficienty vypočítané pomocou funkcie Excel =LINEST
a pomocou Forecast4AC PRO jednoduchým a rýchlym stlačením tlačidla.

Pripoj sa k nám!

Stiahnite si bezplatné predpovede a aplikácie Business Intelligence:

Novo Forecast Lite- automatický predpovedný výpočet v excel.
4analytika- Analýza ABC-XYZ a analýza emisií v Excel.
Qlik Sense Desktop a Qlik ViewPersonal Edition - BI systémy pre analýzu a vizualizáciu dát.

Otestujte funkcie platených riešení:

Novo Forecast PRO- predpovedanie v Exceli pre veľké dátové polia.

Polynomické koeficienty

Multinomické kurzy sú koeficienty v expanzii z hľadiska monomilov :

Hodnota multinomického koeficientu definované pre všetky nezáporné celé čísla n a to tak, že:

Binomický koeficient pre nezáporné n,k je špeciálny prípad multinomického koeficientu (napr m= 2), konkrétne

V kombinatorickom zmysle, multinomický koeficient sa rovná počtu objednaných priečok n- prvok nastavený na m výkonové podmnožiny.

Vlastnosti

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo sú "polynomické koeficienty" v iných slovníkoch:

- (z anglického spline, od spline ohybný vzor, pásik kovu používaný na kreslenie zakrivených čiar) funkcia, ktorej doména definície je rozdelená na konečný počet segmentov, z ktorých na každom sa spline zhoduje s niektorými ... ... Wikipedia

Koeficienty multinomických (polynomických) koeficientov v monomálnom rozvoji: Explicitný vzorec Hodnota multinomického koeficientu ... Wikipedia

"Polynomial" presmeruje tu; pozri aj iné významy. Polynóm (alebo polynóm) v n premenných je konečný formálny súčet tvaru, kde existuje množina nezáporných celých čísel (nazývaných multiindex), číslo ... ... Wikipedia

V matematike sú polynómy alebo polynómy v jednej premennej funkciami v tvare, kde ci sú pevné koeficienty a x je premenná. Polynómy predstavujú jednu z najdôležitejších tried elementárnych funkcií. Štúdium polynomických rovníc a ich riešenia ... ... Wikipedia

Obdĺžniková tabuľka pozostávajúca z t riadkov a n stĺpcov, ktorej prvky patria do nejakej množiny K. Tabuľka (1) sa nazýva. aj maticu nad K, alebo maticu veľkosti nad K. Nech je súbor všetkých matíc nad K. Ak m = n, potom (1) volajte námestie ... ... Matematická encyklopédia

Všimnite si, že v prípade, keď je charakteristika nelineárneho prvku aproximovaná výrazom obsahujúcim viac ako tri body, je vhodné zvoliť hodnotu funkcie s rovnako rozloženými hodnotami argumentu. Okrem toho, ak počet daných bodov prevyšuje počet aproximačných koeficientov, ktoré sa majú určiť, odporúča sa použiť „metódu najmenších štvorcov“, pri ktorej je stredná odmocnina minimálna, t.j. pri tejto metóde je súčet kvadrátov odchýlok polynómu daného stupňa od krivky najmenší.

V súlade s tým, napriek existujúcim počítačovým programom, je vhodné uviesť stručný recept na použitie tejto metódy, ktorý umožní študentovi pochopiť matematickú podstatu metódy a pomocou jednoduchých mikrokalkulačiek vykonať akúkoľvek aproximáciu v optimálne krátkom čase. čas.

Poznamenávame, že najracionálnejšie je vypočítať koeficienty polynómu metódou najmenších štvorcov s použitím tých, ktoré zaviedol Yu.B. Kobzarevov ortogonálnych polynómov pre daný počet N rovnako vzdialených bodov.

Označme stupňovým polynómom l. Potom bude systém polynómov ortogonálny pre daný počet bodov, ak nejaký bude
rovnosť

. (16)

Pomocou dobre známych ortogonálnych Čebyševových polynómov podľa metódy Yu.B. Kobzarev našiel všetkých sedem polynómov, ktoré tvoria takýto systém na intervale
pre N=11 rovnako vzdialených bodov, t.j. pri
; -0,8; … 0 … 0,8; 1.0 máme:

(17)

Systém (17) ortogonálnych polynómov má pozoruhodnú vlastnosť, že expanzia akejkoľvek danej funkcie v ich zmysle poskytuje najlepšiu aproximáciu v zmysle najmenších štvorcov. Preto namiesto napríklad výrazu (18) pre koeficient prenosu napätia
s neznámymi koeficientmi ho možno zapísať ako súčet (19) vyššie uvedených polynómov:

(18)

. (19)

Tu R je stupeň polynómu; R je celé číslo rovné číslu termínu; je koeficient s rozmerom
, čo možno nazvať strmosťou objednávky R, t.j. je tu strmosť nultého rádu, - prvá objednávka atď.

Tu zahrnutá hodnota Xúmerné napätiu
, počítané od polovice aproximačného úseku
, t.j. keď sa zmení
v rámci
,X sa pohybuje od -1 do 1, takže

. (20)

Na určenie koeficientu
v (19) vynásobíme obe strany rovnosti polynómom
a súčet všetkých bodov . Potom pomocou vlastnosti ortogonality (16) nájdeme

. (21)

, (22)

kde
je normalizovaný polynóm

. (23)

Keďže nulový uzol zodpovedá ľavému koncu aproximačného úseku, t.j.
, potom sa dá suma (22) vhodne rozdeliť na sumy, kde X<0 и X>0, pretože párne polynómy ( R= 0, 2, 4, 6) sa v týchto oblastiach nelíšia a nepárne ( R=1, 3, 5, 7) sa líšia len znamienkami. V tomto smere je vhodné zaviesť nepárne
a dokonca
získať komponenty Komu:

(24)

kde
- zmeniť krok X(v našom prípade s N=11
);

- hodnota zisku v bodoch
.

Teraz namiesto súčtov nad kladnými a zápornými hodnotami je možné brať sumy iba nad kladné pomocou párnej a nepárnej zložky zisku. Potom

(25)

Zhrnutie v tabuľke. 1 hodnoty koeficientu normalizovaných polynómov
a pomocou nich je ľahké nájsť koeficienty
podľa vzorcov (25) potom v (19) zoskupte pojmy podľa mocnin X a prejsť na reprezentáciu zisku vo forme polynómu v mocninách
. Koeficienty tohto polynómu budú zvolené najlepšie v zmysle najmenších štvorcov, v ktorých experimentálna krivka
prakticky splynie s teoretickou krivkou
.

Budeme uvažovať o výpočte koeficientov polynómu použitých v harmonickej analýze na určenie koeficientov a parametrov nelinearity a v konečnom dôsledku na výber optimálneho režimu zosilňovacieho zariadenia na konkrétnom príklade.

stôl 1

Ak sa nájde koreň pre polynóm n-tého stupňa, potom môžete znížiť stupeň polynómu vytvorením polynómu stupňa, ktorý má všetky korene rovnaké ako korene polynómu, okrem toho, že nemá koreň.

Napíšme vzťah spájajúci polynómy:

Berúc do úvahy vzťah 6.3 o rovnosti dvoch polynómov rovnakého stupňa, môžeme napísať vzťah spájajúci koeficienty týchto polynómov. Tieto vzťahy nie je ťažké vyriešiť vzhľadom na neznáme koeficienty. V dôsledku toho dostaneme:

(6.4)

Všimnite si, že existujú iba neznáme a rovnice sa dajú zostaviť -. Ale posledná rovnica je dôsledkom predchádzajúcich a používa sa na kontrolu výpočtov.

Rovnaký postup môžete použiť na nový polynóm - nájdite jeho koreň a potom znížte stupeň polynómu. V skutočnosti zníženie stupňa veľmi nezjednodušuje problém hľadania koreňov, takže najčastejšie je jednoduchšie nájsť korene pôvodného polynómu zmenou počiatočných odhadov v iteratívnom procese alebo hľadaním rôznych intervalov, v ktorých sa polynóm mení. jeho znak.

Hľadanie koeficientov polynómu podľa jeho koreňov

Doteraz sme sa zaoberali problémom hľadania koreňov polynómu s danými koeficientmi. Niekedy musíte vyriešiť inverzný problém - nájdite koeficienty polynómu, ak sú známe jeho korene - . Existuje nekonečné množstvo polynómov s rovnakými koreňmi. Medzi nimi je však jeden polynóm s koeficientom rovným jednej. Tento polynóm sa nazýva redukovaný a my ho postavíme. Všetky ostatné polynómy sa získajú z redukovaného polynómu vynásobením všetkých koeficientov ľubovoľným číslom, od ktorého sa vyžaduje len, aby sa nerovnalo nule. Preto je pre jednoznačné riešenie úlohy potrebné nastaviť n koreňov a koeficient na najvyššom člene polynómu. Potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť:

Na zistenie koeficientov polynómu použijeme ako obvykle vzťah 6.3. Ale aplikovať to priamo je ťažké. Preto používame proces inverzný k procesu znižovania stupňa. Najprv zostrojme polynóm prvého stupňa, ktorý má jeden koreň. Potom zväčšíme stupeň a zostrojíme polynóm druhého stupňa - , ktorý má ešte jeden koreň - . Pokračujúc v tomto procese dosiahneme požadovaný polynóm . Pri výpočte koeficientov nového polynómu použijeme koeficienty už vypočítaného polynómu o jeden stupeň menej. Výsledné vzťahy sú blízke tým, ktoré sú uvedené pre prípad zníženia stupňa polynómu.

Koeficienty polynómu prvého stupňa sú výslovne uvedené:

Koeficienty polynómu k-tého stupňa sa vypočítajú prostredníctvom koeficientov polynómu k-1 stupňa:

Prechodom na koeficienty dostaneme nasledujúce rovnice:

(6.5)

Vo vzťahu 6.5 sú koeficienty stupňového polynómu označené . V skutočnosti je schéma bezpečná a umožňuje vypočítať koeficienty na rovnakom mieste bez potreby ďalšej pamäte. Algoritmus na výpočet koeficientov polynómu podľa jeho koreňov uvediem vo forme schémy blízkej jazyku C#.

Vypočítať:

//Vypočítajte koeficienty polynómu prvého stupňa a= 1; a = -x; //zacykliť počet polynómov for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //teraz nízky koeficient a= -a*x; ) //Posledným krokom je vynásobenie koeficientov pomocou a for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Lagrangeov polynóm

Nech je na rovine daný bod: . Lagrangeov polynóm je polynóm n-tého stupňa prechádzajúci všetkými bodmi. Ak body tvoria žiadne návraty, potom takýto polynóm existuje a je jedinečný. Návratnosť sa chápe ako situácia, keď sú dva body a také, že .

Ako vytvoriť takýto polynóm? Lagrange navrhol nasledujúci algoritmus. Polynóm je konštruovaný ako súčet polynómov n-tého stupňa:

Každý z polynómov zahrnutých v súčte je skonštruovaný nasledovne. Korene polynómu sú všetky body okrem bodu . Jedinečnosť je zabezpečená tým, že koeficient na najvyššom člene an je zvolený tak, aby polynóm prechádzal bodom. V Lagrangeovom zápise vyzerá polynóm takto.

LAB #7

INTERPOLÁCIA FUNKCIE POLYNÓMIAMI

LAGRANGE

Cvičenie. Vypočítajte približnú hodnotu funkcie pre danú hodnotu argumentu x* pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu; vyneste Lagrangeov polynóm cez daných šesť bodov.

Stručný popis metódy.

Začneme tým, že zvážime problém interpolácie v najjednoduchšom a najúplnejšie preštudovanom prípade interpolácie pomocou algebraických polynómov. Pre danú tabuľku údajov)

interpolačný polynóm ak spĺňa podmienky

Rovnosť (7.2) možno zapísať ako sústavu rovníc

vzhľadom na koeficienty polynómu a to. Tento systém je jednoznačne riešiteľný, keďže systém funkcií 1, x, x 2,…x n lineárne nezávislé v bodoch x 0, x a .x str. Jedinečná riešiteľnosť systému (7.3) vyplýva zo známeho faktu, že determinant tohto systému ( Vandermondov determinant)

nenulové, ak sú interpolačné uzly párovo odlišné. Nasledujúca veta je teda pravdivá.

Veta 7.1.Existuje jedinečný interpolačný polynóm stupňa n, ktorý spĺňa podmienky(7.2).

Komentujte. V praxi sa systém (7.3) nikdy nepoužíva na výpočet koeficientov interpolačného polynómu. Faktom je, že často býva zle podmienený. Okrem toho existujú rôzne vhodné explicitné formy zápisu interpolačného polynómu, ktoré sa používajú pri interpolácii. Nakoniec, vo väčšine aplikácií interpolačného polynómu, explicitný výpočet koeficientov a to netreba.

Problém interpolácie spočíva v zostrojení funkcie (x), ktorá spĺňa podmienku Inými slovami, úlohou je zostrojiť funkciu, ktorej graf prechádza danými bodmi (x i ,y i) Keďže funkcia (x) prechádza všetkými danými bodmi, je táto metóda volal globálna interpolácia. Najjednoduchším a najúplnejšie preskúmaným prípadom je interpolácia pomocou algebraických polynómov. Jedna z foriem zápisu interpolačného polynómu -Lagrangeov polynóm:

Ako je ľahké vidieť, je polynóm, ktorý spĺňa podmienky

Lagrangeov polynóm je teda skutočne interpolačným polynómom.

V inžinierskej praxi sa najčastejšie používa interpolácia polynómami prvého, druhého a tretieho stupňa. Tu sú zodpovedajúce vzorce na písanie Lagrangeových polynómov prvého a druhého stupňa:

Príklad 7.1. Nech je uvedená tabuľka funkčných hodnôt pri=lnx:

X	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
O	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

Na približný výpočet hodnoty ln(1,23) používame lineárnu a kvadratickú interpoláciu.

Zoberme si x 0 \u003d 1,2 a x 1 \u003d 1,3. Výpočet podľa vzorca (7.4) dostane hodnotu 1n(1,23) 0,206335 .

Ak chcete použiť kvadratickú interpoláciu, vezmite x 0 \u003d 1,1, x 1 \u003d 1,2, x 2 \u003d 1,3 - tri najbližšie k bodu x \u003d 1,23

uzol. Pri výpočte podľa vzorca (7.5) máme 1n(1.23) 0,207066.

Uveďme bez dôkazu najznámejšiu vetu o interpolačnej chybe.

Veta 7.1. Nechajte funkciu f(x) diferencovateľné n+1

raz v segmente [a, b], obsahujúce interpolačné uzly Potom pre chybu interpolácie v bode spravodlivá rovnosť

kde

- nejaký bod patriaci do intervalu (a, b).

Hlavnou nevýhodou pri použití tejto vety je, že bod nie je známy. Preto sa najčastejšie nepoužíva samotná veta, ale jej dôsledok.

Dôsledok.Spravodlivý odhad interpolačnej chyby v danom bode , ktorý má formu

ako aj odhad maximálneho modulu chyby interpolácie na segmente, ktorý má tvar

Príklad 7.2. Odhadnime chybu aproximácií k

ln(1,23) , získaný v príklade 7.1 pomocou interpolácie polynómami prvého a druhého stupňa. V týchto prípadoch má tvar nerovnosť (7.7).

Všimnite si, že pre máme a . Takže tu

Potom v dôsledku nerovností (7.9) a (7.10) získame nasledujúce odhady chýb:

Ak na segmente , derivácia sa mierne zmení, potom je veľkosť absolútnej chyby takmer úplne určená hodnotou funkcie . Predstavu o typickom správaní tejto funkcie možno získať z obr. 1. Venujme pozornosť skutočnosti, že keď argument x prekročí segment pozorovania, hodnota sa rýchlo stane veľmi veľkou. To vysvetľuje nespoľahlivosť extrapolácie funkcií pre hodnoty argumentov, ktoré sú ďaleko od segmentu pozorovania.

Nechaj teraz a nechaj i kroku tabuľky a mierne zhrubnutým odhadom (7.8) môžeme získať nasledujúcu nerovnosť

Umožňuje nám to tvrdiť, že pre dostatočne hladkú funkciu pre pevný stupeň interpolačného polynómu má interpolačná chyba na segmente [x 0 , x n ] tendenciu k nule nie pomalšie ako nejaká hodnota úmerná . Táto skutočnosť sa zvyčajne formuluje takto: interpolácia polynómom stupňa P má (n+1)-tý rád presnosti vzhľadom na h max . Najmä lineárna a kvadratická interpolácia sú druhého a tretieho rádu presnosti.

možnosti	X*	x i	y i	možnosti	X*	x i	y i
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275