Začnite vo vede. Kreatívna práca "znaky deliteľnosti" Pravidlo delenia 12

Kritérium deliteľnosti

Znak deliteľnosti- pravidlo, ktoré umožňuje pomerne rýchlo určiť, či je číslo násobkom vopred určeného čísla bez toho, aby bolo potrebné vykonať skutočné delenie. Spravidla je založená na akciách s časťou číslic z čísla zaznamenaného v pozičnej číselnej sústave (zvyčajne desiatkovej).

Je ich viacero jednoduché pravidlá, čo vám umožní nájsť malých deliteľov čísla v desiatkovom zápise:

Deliteľnosť 2

Deliteľnosť 3

Deliteľnosť 4

Deliteľnosť 5

Deliteľnosť 6

Deliteľnosť 7

Deliteľnosť 8

Deliteľnosť 9

Deliteľnosť 10

Deliteľnosť 11

Deliteľnosť 12

Deliteľnosť 13

Deliteľnosť 14

Deliteľnosť 15

Deliteľnosť 17

Deliteľnosť 19

Deliteľnosť 23

Deliteľnosť 25

Deliteľnosť 99

Rozdeľte číslo do skupín s 2 číslicami sprava doľava (v skupine úplne vľavo môže byť jedna číslica) a nájdite súčet týchto skupín a počítajte ich ako dvojciferné čísla. Táto suma je deliteľná číslom 99 práve vtedy, ak je samotné číslo deliteľné číslom 99.

Deliteľnosť 101

Rozdeľte číslo do skupín po 2 čísliciach sprava doľava (v skupine úplne vľavo môže byť jedna číslica) a nájdite súčet týchto skupín so striedavými znamienkami, pričom ich považujte za dvojciferné čísla. Tento súčet je deliteľný 101 práve vtedy, ak je samotné číslo deliteľné 101. Napríklad 590547 je deliteľné 101, keďže 59-05 + 47 = 101 je deliteľné 101).

Deliteľnosť 2 n

Číslo je vydelené n-tý stupeň dva práve vtedy, ak číslo tvorené jeho poslednými n číslicami je deliteľné rovnakou mocninou.

Deliteľnosť 5 n

Číslo je deliteľné n-tou mocninou piatich práve vtedy, ak je číslo tvorené jeho poslednými n číslicami deliteľné rovnakou mocninou.

Deliteľnosť 10 n − 1

Rozdeľte číslo na skupiny n číslic sprava doľava (v skupine úplne vľavo môže byť 1 až n číslic) a nájdite súčet týchto skupín, pričom ich považujte za n-ciferné čísla. Táto suma je deliteľná 10 n- 1 vtedy a len vtedy, ak je samotné číslo deliteľné 10 n − 1 .

Deliteľnosť 10 n

Číslo je deliteľné n-tou mocninou desiatich práve vtedy, ak je n jeho posledných číslic

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je dostupná v záložke „Súbory práce“ vo formáte PDF

Na hodinách matematiky pri preberaní témy „Znaky deliteľnosti“, kde sme sa zoznámili so znakmi deliteľnosti 2; 5; 3; 9; 10, zaujímalo ma, či existujú znaky deliteľnosti inými číslami a či existuje univerzálna metóda deliteľnosti akýmikoľvek prirodzené číslo... Preto som začal výskumnú prácu na túto tému.

Účel štúdie: náuka o znakoch deliteľnosti prirodzených čísel do 100, sčítanie už známych znakov deliteľnosti prirodzených čísel úplne, študoval v škole.

Na dosiahnutie cieľa, úlohy:

Zbierajte, študujte a systematizujte materiál o znakoch deliteľnosti prirodzených čísel pomocou rôznych zdrojov informácií.

Nájdite univerzálne kritérium deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom.

Naučte sa používať Pascalov test deliteľnosti na určenie deliteľnosti čísel a skúste tiež sformulovať testy deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom.

Predmet štúdia: deliteľnosť prirodzených čísel.

Predmet štúdia: Kritériá deliteľnosti prirodzených čísel.

Výskumné metódy: zber informácií; práca s tlačenými materiálmi; analýza; syntéza; analógia; prieskum; spochybňovanie; systematizácia a zovšeobecnenie materiálu.

Výskumná hypotéza: Ak je možné určiť deliteľnosť prirodzených čísel 2, 3, 5, 9, 10, potom musia existovať znamienka, podľa ktorých je možné určiť deliteľnosť prirodzených čísel inými číslami.

Novinka z realizovaných výskumných prác je, že táto práca systematizuje poznatky o kritériách deliteľnosti a univerzálnej metóde deliteľnosti prirodzených čísel.

Praktický význam: materiál tejto výskumnej práce je možné využiť v 6. - 8. ročníku na voliteľných hodinách pri štúdiu témy „Deliteľnosť čísel“.

Kapitola I. Definícia a vlastnosti deliteľnosti čísel

1.1 Definície pojmov deliteľnosti a kritériá deliteľnosti, vlastnosti deliteľnosti.

Teória čísel je oblasť matematiky, ktorá študuje vlastnosti čísel. Hlavným predmetom teórie čísel sú prirodzené čísla. Ich hlavnou vlastnosťou, ktorú teória čísel zvažuje, je deliteľnosť. Definícia: Celé číslo a je deliteľné celým číslom b, ktoré sa nerovná nule, ak existuje celé číslo k také, že a = bk (napríklad 56 je deliteľné 8, pretože 56 = 8x7). Kritérium deliteľnosti- pravidlo, ktoré umožňuje zistiť, či je dané prirodzené číslo rovnomerne deliteľné niektorými inými číslami, t.j. bezo zvyšku.

Vlastnosti deliteľnosti:

Každé číslo iné ako nula je deliteľné samo sebou.

Nula je deliteľná ľubovoľným b, ktoré nie je nula.

Ak a je deliteľné b (b0) a b je deliteľné c (c0), potom a je deliteľné c.

Ak a je deliteľné b (b0) a b je deliteľné a (a0), potom čísla a a b sú buď rovnaké alebo opačné čísla.

1.2. Vlastnosti deliteľnosti súčtu a súčinu:

Ak v súčte celých čísel je každý člen deliteľný nejakým číslom, potom sa súčet vydelí týmto číslom.

2) Ak je v rozdiele celých čísel odčítané a odčítané deliteľné určitým číslom, potom je aj rozdiel deliteľný určitým číslom.

3) Ak v súčte celých čísel sú všetky členy okrem jedného deliteľné nejakým číslom, tak súčet nie je deliteľný týmto číslom.

4) Ak v súčine celých čísel je jeden z faktorov deliteľný nejakým číslom, potom je súčin deliteľný aj týmto číslom.

5) Ak v súčine celých čísel je jeden z faktorov deliteľný m a druhý n, potom je súčin deliteľný mn.

Okrem toho som sa pri štúdiu kritérií deliteľnosti čísel zoznámil s pojmom "Digitálny koreň"... Zoberme si prirodzené číslo. Poďme nájsť súčet jeho číslic. Vo výsledku nájdeme aj súčet číslic a tak ďalej, až kým nedostaneme jednociferné číslo. Výsledok sa nazýva digitálny koreň čísla. Napríklad digitálny koreň 654321 je 3: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21,2 + 1 = 3. A teraz sa môžete zamyslieť nad otázkou: "Aké sú znaky deliteľnosti a existuje nejaké univerzálne kritérium pre deliteľnosť jedného čísla druhým?"

Kapitola II. Testy deliteľnosti pre prirodzené čísla.

2.1. Kritériá deliteľnosti 2,3,5,9,10.

Spomedzi kritérií deliteľnosti je najpohodlnejšie a najznámejšie z kurzu matematiky pre 6. ročník:

Deliteľnosť 2. Ak sa zápis prirodzeného čísla končí párnou číslicou alebo nulou, potom sa číslo vydelí 2. Číslo 52738 sa delí 2, pretože posledná číslica je 8-párna.

Deliteľnosť 3 ... Ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné aj 3 (567 je deliteľné 3, pretože 5 + 6 + 7 = 18 a 18 je deliteľné 3.)

Deliteľnosť 5. Ak záznam prirodzeného čísla končí číslicou 5 alebo nulou, potom sa číslo vydelí 5 (čísla 130 a 275 sú deliteľné 5, pretože posledné číslice čísel sú 0 a 5, ale číslo 302 nie je deliteľné 5, pretože posledné číslice nie sú 0 a 5).

Deliteľnosť 9. Ak je súčet číslic deliteľný 9, potom je číslo deliteľné aj 9 (676332 je deliteľné 9, pretože 6 + 7 + 6 + 3 + 3 + 2 = 27 a 27 je deliteľné 9).

Deliteľnosť 10 ... Ak sa záznam prirodzeného čísla končí číslicou 0, potom sa toto číslo vydelí 10 (230 sa delí 10, pretože posledná číslica čísla je 0).

2.2 Kritériá deliteľnosti 4, 6, 8, 11, 12, 13 atď.

Po práci s rôznymi zdrojmi som objavil ďalšie kritériá deliteľnosti. Opíšem niektoré z nich.

Delenie podľa 6 ... Musíme skontrolovať deliteľnosť čísla, ktoré nás zaujíma, 2 a 3. Číslo je deliteľné 6 práve vtedy, ak je párne a jeho digitálny koreň je deliteľný 3. (Napríklad 678 je deliteľné 6 , keďže je párne a 6 + 7 + 8 = 21, 2 + 1 = 3) Ďalší znak deliteľnosti: číslo je deliteľné 6 práve vtedy, ak štvornásobný počet desiatok pripočítaných k počtu jednotiek je deliteľný 6. (73,7 * 4 + 3 = 31, 31 nie je deliteľné 6, takže 7 nie je deliteľné 6.)

Delenie podľa 8. Číslo je deliteľné 8 práve vtedy, ak jeho posledné tri číslice tvoria číslo, ktoré je deliteľné 8. (12 224 je deliteľné 8, pretože 224: 8 = 28). Trojciferné číslo je deliteľné 8 vtedy a len vtedy, ak počet jednotiek pripočítaných k dvojitým desiatkam a štvornásobku stoviek je deliteľný 8. Napríklad 952 je deliteľné 8, pretože 8 je deliteľné 9 * 4 + 5 * 2 + 2 = 48...

Delenie 4 a 25. Ak sú posledné dve číslice nuly alebo vyjadrujú číslo deliteľné 4 alebo (a) 25, potom je číslo deliteľné 4 alebo (a) 25 (číslo 1500 je deliteľné 4 a 25, pretože končí dvomi nuly, číslo 348 je deliteľné 4, keďže 48 je deliteľné 4, ale toto číslo nie je deliteľné 25, pretože 48 nie je deliteľné 25, číslo 675 je deliteľné 25, pretože 75 je deliteľné 25, ale nie je deliteľné 4, teda .k. 75 nie je násobkom 4).

Keď poznáme hlavné kritériá deliteľnosti prvočíslami, môžeme odvodiť kritériá deliteľnosti na zložené čísla:

Deliteľnosť podľa11 . Ak je rozdiel medzi súčtom číslic na párnych miestach a súčtom číslic na nepárnych miestach deliteľný 11, potom je číslo deliteľné 11 (číslo 593868 je deliteľné 11, keďže 9 + 8 + 8 = 25 a 5 + 3 + 6 = 14, ich rozdiel je 11 a 11 je deliteľné 11).

Deliteľnosť 12:číslo je deliteľné 12 práve vtedy, ak sú posledné dve číslice deliteľné 4 a súčet číslic je deliteľný 3.

odkedy 12 = 4 ∙ 3, t.j. číslo musí byť deliteľné 4 a 3.

Deliteľnosť 13:Číslo je deliteľné 13 vtedy a len vtedy, ak je striedavý súčet čísel tvorený postupnými trojicami číslic delený 13 toto číslo... Ako viete, že napríklad číslo 354862625 je deliteľné 13? 625-862 + 354 = 117 je deliteľné 13, 117: 13 = 9, čo znamená, že číslo 354862625 je deliteľné 13.

Deliteľnosť 14:číslo je deliteľné 14 vtedy a len vtedy, ak končí párnou číslicou a keď výsledok odčítania poslednej zdvojenej číslice od tohto čísla bez poslednej číslice je deliteľný 7.

odkedy 14 = 2 ∙ 7, t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 7.

Deliteľnosť 15:číslo je deliteľné 15 práve vtedy, ak končí 5 a 0 a súčet číslic je deliteľný 3.

odkedy 15 = 3 ∙ 5, t.j. číslo musí byť deliteľné 3 a 5.

Deliteľnosť 18:číslo je deliteľné 18 práve vtedy, ak končí párnou číslicou a súčet jeho číslic je deliteľný deviatimi.

pretože 18 = 2 ∙ 9, t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 9.

Deliteľnosť 20:číslo je deliteľné 20 vtedy a len vtedy, ak číslo končí 0 a predposledná číslica je párna.

odkedy 20 = 10 ∙ 2 t.j. číslo musí byť deliteľné 2 a 10.

Deliteľnosť 25:číslo obsahujúce aspoň tri číslice je deliteľné 25 práve vtedy, ak je číslo tvorené poslednými dvoma číslicami deliteľné 25.

Deliteľnosť podľa30 .

Deliteľnosť podľa59 . Číslo je deliteľné 59 vtedy a len vtedy, ak je počet desiatok, pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený 6, deliteľný 59. Napríklad 767 je delené 59, pretože 59 je deliteľné 76 + 6 * 7 = 118 a 11 + 6 * 8 = 59.

Deliteľnosť podľa79 ... Číslo je deliteľné číslom 79 práve vtedy, ak počet desiatok pripočítaný k počtu jednotiek vynásobený číslom 8 je deliteľný číslom 79. Napríklad číslo 711 je deliteľné číslom 79, pretože číslo 79 je deliteľné číslom 71 + 8 * 1 = 79.

Deliteľnosť podľa99. Číslo je deliteľné 99 práve vtedy, ak súčet čísel, ktoré tvoria skupiny dvoch číslic (začínajúc jednotkami), je delený 99. Napríklad 12573 je deliteľné číslom 99, pretože číslo 99 je deliteľné číslom 1 + 25 + 73 = 99.

Deliteľnosť podľa100 . Len tie čísla, ktorých posledné dve číslice sú nuly, sú deliteľné 100.

Deliteľnosť číslom 125:číslo obsahujúce aspoň štyri číslice je deliteľné 125 práve vtedy, ak je číslo tvorené poslednými tromi číslicami deliteľné 125.

Všetky vyššie uvedené vlastnosti sú zhrnuté vo forme tabuľky. (Príloha 1)

2.3 Kritériá deliteľnosti 7.

1) Na testovanie si zoberme číslo 5236. Toto číslo zapíšme takto: 5236 = 5 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6 = 10 3 * 5 + 10 2 * 2 + 10 * 3 + 6 (" systematický »Forma zápisu čísla), a všade sa základ 10 nahrádza základom 3); 3 3 * 5 + З 2 * 2 + 3 * 3 + 6 = 168. Ak je výsledné číslo deliteľné (nedeliteľné) 7, potom je toto číslo deliteľné (nedeliteľné) 7. Keďže 168 je deliteľné 7, potom 5236 je deliteľné 7,68: 7 = 24, 5236: 7 = 748.

2) V tejto funkcii musíte postupovať presne rovnako ako v predchádzajúcej, len s tým rozdielom, že násobenie by malo začínať úplne vpravo a násobiť nie 3, ale 5. (5236 je deliteľné 7, keďže 6 * 5 3 + 3 * 5 2 + 2 * 5 + 5 = 840, 840: 7 = 120)

3) Toto znamenie je menej ľahké implementovať do mysle, ale je tiež veľmi zaujímavé. Zdvojnásobte poslednú číslicu a odčítajte druhú sprava, zdvojnásobte výsledok a pridajte tretiu sprava atď., pričom striedavo odčítajte a sčítajte a každý výsledok znižujte, ak je to možné, o 7 alebo o násobok siedmich. Ak je konečný výsledok deliteľný (nedeliteľný) 7, potom je testované číslo tiež deliteľné (nedeliteľné) 7. ((6 * 2-3) * 2 + 2) * 2-5 = 35, 35: 7 = 5.

4) Číslo je deliteľné siedmimi vtedy a len vtedy, ak sa striedavý súčet čísel tvorený postupnými trojicami číslic daného čísla vydelí číslom 7. Ako viete, že napríklad číslo 363862625 je deliteľné 7? 625-862 + 363 = 126 je deliteľné číslom 7, 126: 7 = 18, čo znamená, že číslo 363862625 je deliteľné číslom 7, 363862625: 7 = 51980375.

5) Jedno z najstarších kritérií deliteľnosti 7 je nasledovné. Číslice čísla sa musia brať v opačnom poradí, sprava doľava, vynásobením prvej číslice 1, druhej 3, tretej 2, štvrtej -1, piatej -3, šiestej - 2 atď. (ak je počet znakov väčší ako 6, postupnosť faktorov 1, 3, 2, -1, -3, -2 by sa mala opakovať toľkokrát, koľkokrát je potrebné). Výsledné diela musia byť zložené. Pôvodné číslo sa vydelí 7, ak sa vypočítaná suma delí 7. Napríklad toto znamienko dáva číslu 5236. 1 * 6 + 3 * 3 + 2 * 2 + 5 * (- 1) = 14. 14: 7 = 2, teda číslo 5236 je deliteľné 7.

6) Číslo je deliteľné 7 práve vtedy, ak je trojnásobný počet desiatok sčítaný s počtom jednotiek deliteľný 7. Napríklad 154 je delené 7, keďže číslo 49 je 7, čo dostaneme toto kritérium: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 Pascalov znak.

B. Pascal (1623-1662), francúzsky matematik a fyzik, výrazne prispel k štúdiu znakov deliteľnosti čísel. Našiel algoritmus na hľadanie znakov deliteľnosti ľubovoľného celého čísla akýmkoľvek iným celým číslom, ktorý publikoval v pojednaní „O povahe deliteľnosti čísel“. Prakticky všetky v súčasnosti známe kritériá deliteľnosti sú špeciálnym prípadom Pascalovho kritéria: „Ak súčet zvyškov pri delení číslaa podľa číslic na číslov delenov , potom čísloa delenov ». Je užitočné vedieť to aj dnes. Ako môžeme dokázať vyššie formulované kritériá deliteľnosti (napríklad známe kritérium deliteľnosti 7)? Na túto otázku sa pokúsim odpovedať. Najprv sa však dohodneme na spôsobe zápisu čísel. Aby sme si zapísali číslo, ktorého čísla sú označené písmenami, dohodnime sa, že nad týmito písmenami nakreslíme čiaru. Takže abcdef bude označovať číslo, ktoré má f jednotiek, e desiatok, d stoviek atď.:

abcdef = a. 10 5 + b. 10 4 + c. 10 3 + d. 102 + e. 10 + f. Teraz dokážem vyššie uvedené kritérium deliteľnosti 7. Máme:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(zvyšky po delení 7).

Výsledkom je 5. pravidlo formulované vyššie: ak chcete zistiť zvyšok delenia prirodzeného čísla 7, musíte podpísať koeficienty (zvyšky delenia) pod číslicami tohto čísla sprava doľava: potom musíte každú číslicu vynásobiť koeficientom pod ním a pridať výsledné produkty; nájdená suma bude mať rovnaký zvyšok vydelený 7 ako prijaté číslo.

Zoberme si čísla 4591 a 4907 ako príklad a pri postupe, ako je uvedené v pravidle, nájdeme výsledok:

-1 2 3 1

4 + 10 + 27 + 1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (zvyšok 6) (nie je rovnomerne deliteľné 7)

-1 2 3 1

4 + 18 + 0 + 7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (deliteľné 7)

Týmto spôsobom môžete nájsť kritérium deliteľnosti ľubovoľným číslom T. Treba len nájsť, ktoré koeficienty (zvyšky z delenia) treba podpísať pod číslice prevzatého čísla A. Na to treba každú mocninu desať 10 podľa možnosti nahradiť tým, že pri delení T, ako číslo 10. Za T= 3 alebo t = 9 sa tieto koeficienty ukázali ako veľmi jednoduché: všetky sú rovné 1. Preto sa znamienko deliteľnosti 3 alebo 9 ukázalo ako veľmi jednoduché. o T= 11 koeficienty tiež neboli zložité: striedavo sa rovnajú 1 a - 1. A pre t = 7 koeficienty sa ukázali byť komplikovanejšie; preto sa ukázalo, že kritérium deliteľnosti 7 je zložitejšie. Po zvážení znakov delenia do 100 som sa presvedčil, že najzložitejšie koeficienty pre prirodzené čísla sú 23 (od 10 23 sa koeficienty opakujú), 43 (od 10 39 sa koeficienty opakujú).

Všetky uvedené kritériá deliteľnosti prirodzených čísel možno rozdeliť do 4 skupín:

1 skupina- keď je deliteľnosť čísel určená poslednou číslicou (číslicami) - sú to znaky deliteľnosti 2, 5, bitovou jednotkou, 4, 8, 25, 50.

2. skupina- keď je deliteľnosť čísel určená súčtom číslic čísla, ide o znaky deliteľnosti 3, 9, 7, 37, 11 (1 znak).

Skupina 3- keď je deliteľnosť čísel určená po vykonaní niektorých akcií s číslicami čísla, sú to znaky deliteľnosti 7, 11 (1 znamienko), 13, 19.

4 skupina- ak sa na určenie deliteľnosti čísla použijú iné znaky deliteľnosti, ide o znaky deliteľnosti 6, 15, 12, 14.

experimentálna časť

Prieskum

Prieskum sa uskutočnil medzi žiakmi 6., 7. ročníka. Prieskumu sa zúčastnilo 58 študentov strednej školy Karaidel č. 1 MR Karaidel z Bieloruskej republiky. Boli požiadaní, aby odpovedali na nasledujúce otázky:

Myslíte si, že existujú aj iné znaky deliteľnosti, ktoré sa líšia od tých, ktoré ste skúmali v lekcii?

Existujú kritériá deliteľnosti pre iné prirodzené čísla?

Chceli by ste poznať tieto kritériá deliteľnosti?

Poznáte nejaké kritériá deliteľnosti prirodzených čísel?

Výsledky prieskumu ukázali, že 77 % opýtaných sa domnieva, že existujú aj iné znaky deliteľnosti okrem tých, ktoré študovali v škole; 9 % si to nemyslí, 13 % opýtaných ťažko odpovedalo. Na druhú otázku "Chceli by ste poznať kritériá deliteľnosti pre iné prirodzené čísla?" 33 % odpovedalo kladne, 17 % opýtaných odpovedalo „nie“ a ťažko odpovedalo – 50 %. Na tretiu otázku odpovedalo 100 % opýtaných kladne. Na štvrtú otázku odpovedalo kladne 89 %, odpovedalo „Nie“ – 11 % študentov, ktorí sa zúčastnili prieskumu v priebehu výskumnej práce.

Záver

V priebehu práce sa teda vyriešili úlohy:

študoval teoretický materiál o tejto problematike;

okrem znakov, ktoré poznám 2, 3, 5, 9 a 10, som sa dozvedel, že existujú aj znaky deliteľnosti 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 atď. .;

3) Bolo študované Pascalovo kritérium - univerzálne kritérium deliteľnosti ľubovoľným prirodzeným číslom;

Pri práci s rôznymi zdrojmi, pri analýze materiálu nájdeného na skúmanú tému som sa presvedčil, že existujú znaky deliteľnosti inými prirodzenými číslami. Napríklad na 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, čo potvrdilo správnosť mojej hypotézy o existencii ďalších znakov deliteľnosti prirodzených čísel. Tiež som zistil, že existuje univerzálne kritérium deliteľnosti, ktorého algoritmus našiel francúzsky matematik Pascal Blaise a publikoval ho vo svojom pojednaní „O povahe deliteľnosti čísel“. Pomocou tohto algoritmu môžete získať kritérium deliteľnosti pre akékoľvek prirodzené číslo.

Výsledok výskumnej práce sa stal systematizovaným materiálom vo forme tabuľky „Znaky deliteľnosti čísel“, ktorý je možné využiť na hodinách matematiky, v mimoškolských aktivitách s cieľom pripraviť žiakov na riešenie úloh olympiády, pri príprave žiakov na OGE a Jednotný štát. Skúška.

V budúcnosti navrhujem pokračovať v práci na aplikácii znakov deliteľnosti čísel na riešenie problémov.

Zoznam použitých zdrojov

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika. 6. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie. inštitúcie / - 25. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 288 s.

Vorobiev V.N. Známky deliteľnosti.-M.: Nauka, 1988.-96s.

Vygodsky M. Ya. Príručka elementárnej matematiky. - Elista .: Dzhangar, 1995 .-- 416 s.

Gardner M. Matematický voľný čas. / Pod. Ed. Ya.A. Smorodinsky. - M .: Onyx, 1995 .-- 496 s.

Gelfman E.G., Beck E.F. a iné.Prípad deliteľnosti a iné príbehy: Učebnica z matematiky pre 6. ročník. - Tomsk: Vydavateľstvo Tom.un-ta, 1992 .-- 176s.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika: Ref. materiály: Kniha. pre študentov. - 2. vydanie - M .: Vzdelávanie, 1990. - 416 s.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rosental A.V. Mimotriedna práca z matematiky v ročníkoch 6-8. Moskva .: Školstvo, 1984 .-- 289. roky.

Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Za stránkami učebnice matematiky. M .: Školstvo, 1989 .-- 97. roky.

Kulanin E. D. Matematika. Adresár. -M .: EKSMO-Press, 1999-224s.

Perelman Ya.I. Zaujímavá algebra. M.: Triada-Litera, 1994. -199 rokov.

B. N. Tarasov Pascal. -M.: Mol. Stráž, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (Wikipedia - bezplatná encyklopédia).

http://www.bymath.net (encyklopédia).

Príloha 1

TABUĽKA ZNAKOV ODDELITEĽNOSTI

Pre zjednodušenie delenia prirodzených čísel boli odvodené pravidlá delenia na čísla prvej desiatky a čísla 11, 25, ktoré sú spojené do oddielu Kritériá deliteľnosti prirodzených čísel... Nižšie sú uvedené pravidlá, podľa ktorých analýza čísla bez jeho delenia iným prirodzeným číslom odpovie na otázku, či je prirodzené číslo násobkom 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 a číslice jednotka?

Prirodzené čísla, ktoré majú v prvej číslici číslice (končiace na) 2,4,6,8,0, sa nazývajú párne.

Deliteľnosť čísel 2

Všetky párne prirodzené čísla sú deliteľné 2, napríklad: 172, 94,67 838, 1670.

Deliteľnosť čísel 3

Všetky prirodzené čísla, ktorých súčet číslic je násobkom 3. Napríklad:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Deliteľnosť čísel 4

Všetky prirodzené čísla sú delené 4, pričom posledné dve číslice sú nuly alebo násobky 4. Napríklad:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Deliteľnosť čísel 5

Deliteľnosť čísel 6

Tie prirodzené čísla, ktoré sú súčasne deliteľné 2 a 3, sa delia 6 (všetky párne čísla, ktoré sú deliteľné 3). Napríklad: 126 (b - párne, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Deliteľnosť čísel 9

Tie prirodzené čísla, ktorých súčet číslic je deliteľný 9, sa delí 9. Napríklad:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Deliteľnosť čísel 10

Deliteľnosť čísel 11

11 sa delia len tie prirodzené čísla, pre ktoré sa súčet cifier na párnych miestach rovná súčtu cifier na nepárnych miestach alebo rozdielu medzi súčtom cifier nepárnych miest a súčtom cifier párne miesta sú násobkom 11. Napríklad:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 a 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 a 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Deliteľnosť čísel číslom 25

Tie prirodzené čísla, ktorých posledné dve číslice sú nuly alebo sú deliteľné 25, sú deliteľné 25. Napríklad:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Deliteľnosť čísel na jednotku bitu

Tieto prirodzené čísla sa delia bitovou jednotkou, pre ktorú je počet núl väčší alebo rovný počtu núl bitovej jednotky. Napríklad: 12 000 je deliteľné 10, 100 a 1000.

Použitie schopností deliteľnosti zjednodušuje výpočty a úmerne zvyšuje rýchlosť ich vykonávania. Pozrime sa podrobnejšie na hlavnú charakteristiku prvky deliteľnosti.

Najpriamejšie kritérium deliteľnosti pre Jednotky: Všetky čísla sú deliteľné jednou. Je to tiež elementárne s kritériami deliteľnosti dva, päť, desať... Párne čísla môžete deliť dvoma alebo to, ktoré má konečnú číslicu 0, piatimi - číslo s konečnou číslicou 5 ​​alebo 0. Iba čísla s konečnou číslicou 0 sa delia desiatimi, 100 - zapnuté sú iba čísla s dvomi koncovými nulami 1000 - iba tie s tromi koncovými nulami.

Napríklad:

Číslo 79516 možno deliť 2, pretože končí na 6 – párne číslo; 9651 nemožno deliť 2, pretože 1 je nepárna číslica; 1790 bude delené 2, pretože koncová číslica je nula. 3470 je delené 5 (posledná číslica je 0); 1054 nie je deliteľné 5 (koncové číslo 4). 7800 je deliteľné 10 a 100; 542 000 je deliteľné 10, 100, 1000.

Charakteristické sú menej známe, no veľmi ľahko použiteľné prvky deliteľnosti na 3 a 9 , 4 , 6 a 8, 25 ... Tiež dostupný vlastnosti deliteľnosť podľa 7, 11, 13, 17, 19 a tak ďalej, ale v praxi sa používajú oveľa menej často.

Charakteristickým znakom delenia 3 a 9.

Na tri a / alebo na deväť tie čísla, pri ktorých je výsledkom sčítania číslic násobok troch a/alebo deviatich, sa bezo zvyšku rozdelia.

napríklad:

Číslo 156321, výsledok sčítania 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 sa delí 3, respektíve 9, a samotné číslo možno deliť 3 a 9. Číslo 79123 sa nedá deliť buď 3 alebo 9, takže súčet jej číslic (22) nie je deliteľný týmito číslami.

Charakteristickým znakom delenia 4, 8, 16 atď.

Obrázok možno bezo zvyšku deliť štyri, ak má dve posledné číslice nuly alebo ide o číslo, ktoré možno deliť 4. Vo všetkých ostatných variantoch delenie bezo zvyšku nie je možné.

napríklad:

Číslo 75300 je delené 4, pretože posledné dve číslice sú nuly; 48834 nie je deliteľné 4, pretože posledné dve číslice dávajú 34, nie je deliteľné 4; 35908 je deliteľné 4, pretože posledné dve číslice 08 dávajú 8 deliteľné 4.

Podobný princíp platí pre kritérium deliteľnosti podľa osem... Číslo je deliteľné ôsmimi, ak sú jeho posledné tri číslice nuly alebo tvoria číslo deliteľné 8. V opačnom prípade nebude podiel získaný delením celé číslo.

Rovnaké vlastnosti pre delenie podľa 16, 32, 64 a tak ďalej, ale nepoužívajú sa v každodennej výpočtovej technike.

Najvýraznejšia vlastnosť deliteľnosti 6.

Číslo je vydelené šesť, ak je deliteľné dvomi aj tromi, pri všetkých ostatných možnostiach je delenie bezo zvyšku nemožné.

Napríklad:

126 je deliteľné 6, pretože je deliteľné aj 2 (konečné párne číslo je 6) aj 3 (súčet číslic 1 + 2 + 6 = 9 je deliteľný tromi)

Najvýraznejšia vlastnosť deliteľnosti 7.

Číslo je vydelené sedem ak je rozdiel medzi jeho zdvojeným posledným číslom a „číslom, ktoré zostalo bez poslednej číslice“ deliteľný siedmimi, potom je samotné číslo deliteľné siedmimi.

napríklad:

Číslo 296492. Vezmite poslednú číslicu „2“, zdvojnásobte ju, vyjde vám 4. Odčítajte 29649 - 4 = 29645. Je problematické zistiť, či je deliteľné 7, preto znova analyzujte. Potom zdvojnásobíme poslednú číslicu "5", vyjde nám 10. Odčítame 2964 - 10 = 2954. Výsledok je rovnaký, nie je jasné, či je deliteľné 7, preto pokračujeme v analýze. Analyzujeme ho s poslednou číslicou „4“, zdvojnásobíme, vyjde nám 8. Odčítame 295 - 8 = 287. Porovnáme dvestoosemdesiatsedem - nie je deliteľné 7, v tomto ohľade pokračujeme v hľadaní . Analogicky zdvojnásobíme poslednú číslicu "7", vyjde nám 14. Odčítajte 28 - 14 = 14. Číslo 14 je delené 7, takže pôvodné číslo je delené 7.

Deliteľnosť 11 výbežkami.

Na jedenásť delia sa len tie čísla, v ktorých je výsledok sčítania číslic umiestnených na nepárnych miestach buď rovný súčtu číslic umiestnených na párnych miestach, alebo sa líši číslom deliteľným jedenástimi.

Napríklad:

Číslo 103 785 je delené 11, pretože súčet číslic umiestnených na nepárnych miestach 1 + 3 + 8 = 12 sa rovná súčtu číslic umiestnených na párnych miestach 0 + 7 + 5 = 12. Číslo 9 163 627 sa delí 11, pretože súčet čísel na nepárnych miestach je 9 + 6 + 6 + 7 = 28 a súčet čísel na párnych miestach je 1 + 3 + 2 = 6; rozdiel medzi číslami 28 a 6 je 22 a toto číslo je deliteľné 11. Číslo 461 025 nie je deliteľné 11, keďže čísla 4 + 1 + 2 = 7 a 6 + 0 + 5 = 11 sa nerovnajú navzájom, ale ich rozdiel 11 - 7 = 4 nie je deliteľný 11.

Charakteristickým znakom je deliteľnosť 25.

Na dvadsaťpäť delí čísla, ktorých posledné dve číslice sú nuly alebo tvoria číslo, ktoré možno deliť dvadsiatimi piatimi (to znamená čísla končiace na 00, 25, 50 alebo 75). Pri iných možnostiach nie je možné celé číslo deliť 25.

Napríklad:

9450 je deliteľné 25 (končí 50); 5085 nie je násobkom 25.