נוסחאות וחוקי היגיון

במהלך שיעור המבוא על יסודות הלוגיקה המתמטית, התוודענו למושגי היסוד של ענף זה של המתמטיקה, וכעת הנושא מקבל המשך טבעי. בנוסף לחומר חינוכי חדש, או ליתר דיוק אפילו לא תיאורטי - אלא כללי, מחכות לנו משימות מעשיות, ולכן אם הגעתם לדף זה ממנוע חיפוש ו/או לא בקיא בחומר, אז אנא היכנסו לקישור הנ"ל ותתחיל מהמאמר הקודם. בנוסף, לצורך תרגול נצטרך 5 טבלאות אמת פעולות לוגיותאשר אני ממליץ בחום לשכתב ביד.

אל תזכור, אל תדפיס אותו, אלא תבין אותו שוב ותכתוב אותו מחדש על הנייר במו ידיך - כך שיעמדו לנגד עיניך:

– טבלה לא;
– טבלה I;
– טבלת OR;
– טבלת השלכות;
– טבלת שווי ערך.

זה מאוד חשוב. באופן עקרוני, יהיה נוח למספר אותם "טבלה 1", "טבלה 2" וכו'., אבל הדגשתי שוב ושוב את הפגם של גישה זו - כמו שאומרים, במקור אחד הטבלה תהיה ראשונה, ובאחר - מאה וראשון. לכן, נשתמש בשמות "טבעיים". בוא נמשיך:

למעשה, אתם כבר מכירים את המושג נוסחה לוגית. אני אתן לך סטנדרט, אבל די שנון הַגדָרָה: נוסחאותאלגברות פרופוזיציוניות נקראות:

1) כל הצהרות יסודיות (פשוטות);

2) אם והן נוסחאות, אז נוסחאות הן גם ביטויים של הצורה
.

אין נוסחאות אחרות.

בפרט, נוסחה היא כל פעולה לוגית, כגון כפל לוגי. שימו לב לנקודה השנייה – היא מאפשרת רקורסיבידרך "ליצור" נוסחה ארוכה באופן שרירותי. בגלל ה - נוסחאות, אז - גם נוסחה; שכן והם נוסחאות, אם כן – גם נוסחה וכו'. כל אמירה יסודית (שוב לפי ההגדרה)ניתן לכלול בנוסחה יותר מפעם אחת.

נוּסחָה לֹאהוא, למשל, סימון - וכאן יש אנלוגיה ברורה ל"זבל אלגברי", שממנה לא ברור אם צריך להוסיף או להכפיל מספרים.

ניתן לחשוב על הנוסחה הלוגית כ פונקציה לוגית. בוא נכתוב את זה צורה פונקציונליתאותו צירוף:

הצהרות אלמנטריות במקרה זה ממלאות גם את התפקיד של טיעונים (משתנים בלתי תלויים), אשר בלוגיקה הקלאסית יכולים לקבל 2 משמעויות: נָכוֹןאוֹ שקר. להלן, מטעמי נוחות, אקרא לפעמים אמירות פשוטות משתנים.

טבלה המתארת ​​נוסחה לוגית (פונקציה) נקראת, כפי שכבר הוכרז, שולחן האמת. בבקשה - תמונה מוכרת:

העיקרון של יצירת טבלת אמת הוא כדלקמן: "בכניסה" אתה צריך לרשום כל השילובים האפשרייםאמיתות ושקרים, שיכולים לקחת הצהרות אלמנטריות (טיעונים). במקרה זה, הנוסחה כוללת שני הצהרות, וקל לגלות שיש ארבעה צירופים כאלה. "בפלט" אנו מקבלים את הערכים הלוגיים המתאימים של הנוסחה כולה (פונקציה).

יש לומר שה"יציאה" כאן התבררה כ"בשלב אחד", אבל במקרה הכללי הנוסחה הלוגית מורכבת יותר. ובמקרים "קשים" כאלה אתה צריך לציית סדר ביצוע פעולות לוגיות:

- השלילה מתבצעת תחילה;
- שנית - צירוף;
– אז – ניתוק;
- אז רמז;
- ולבסוף, לשקולות יש את העדיפות הנמוכה ביותר.

כך, למשל, הערך מרמז שתחילה עליך לבצע כפל לוגי, ולאחר מכן חיבור לוגי: . בדיוק כמו באלגברה "רגילה" - "קודם נכפיל, ואז נוסיף."

ניתן לשנות את סדר הפעולות בדרך הרגילה - בסוגריים:
– כאן קודם כל מבצעים את הניתוק ורק אחר כך פעולה "חזקה" יותר.

כנראה שכולם מבינים, אבל ליתר ביטחון, כבאי: וזה שניים שוניםנוסחאות! (הן פורמלית והן מהותית)

בואו ניצור טבלת אמת עבור הנוסחה. IN נוסחה זוכולל שתי הצהרות יסוד ו"בכניסה" עלינו לרשום את כל השילובים האפשריים של אחדים ואפסים. כדי למנוע בלבול ואי התאמות, נסכים לרשום את השילובים בהחלט לפי הסדר הזה (שאני למעשה משתמש בו מההתחלה):

הנוסחה כוללת שניים פעולות לוגיות, ולפי העדיפות שלהם, אתה צריך לבצע תחילה שְׁלִילָההצהרות. ובכן, בואו נכחיש את העמודה "pe" - אנחנו הופכים אחדים לאפסים ואפסים לאחת:

בשלב השני, אנו מסתכלים על העמודות ומחילים עליהם או פעולה. במבט מעט קדימה, אני אגיד שהניתוק הוא קומוטטיבי (והם אותו הדבר), ולכן ניתן לנתח את העמודות בסדר הרגיל - משמאל לימין. בעת ביצוע הוספה לוגית, נוח להשתמש בנימוקים המיושמים הבאים: "אם יש שני אפסים, שמים אפס, אם יש לפחות אחד, שמים אחד.":

טבלת האמת נבנתה. עכשיו בואו נזכור את ההשלכה הישנה והטובה:

...בזהירות, בזהירות... מסתכל על סך כל העמודות.... באלגברה פרופוזיציונית נקראות נוסחאות כאלה שווה ערךאוֹ זֵהֶה:

(שלושה קווים אופקיים הם סמל זהות)

בחלקו ה-1 של השיעור הבטחתי להביע את המשמעות באמצעות פעולות לוגיות בסיסיות, ומימוש ההבטחה לא איחר לבוא! מי שרוצה יכול להכניס משמעות משמעותית למשמעות (לדוגמה, "אם יורד גשם, בחוץ לח")ולנתח באופן עצמאי את ההצהרה המקבילה.

בואו ננסח הגדרה כללית: שתי הנוסחאות נקראות שווה ערך (זהה)אם יקבלו אותם ערכיםעבור כל קבוצת ערכים הכלולה בנוסחאות המשתנות הללו (הצהרות יסודיות). גם כך נאמר "נוסחאות שוות ערך אם טבלאות האמת שלהן חופפות", אבל אני לא ממש אוהב את הביטוי הזה.

תרגיל 1

צור טבלת אמת לנוסחה וודא שהזהות שאתה מכיר נכונה.

נחזור שוב על סדר פתרון הבעיה:

1) מכיוון שהנוסחה כוללת שני משתנים, יהיו בסך הכל 4 קבוצות אפשריות של אפסים ואחדים. אנו רושמים אותם בסדר שצוין לעיל.

2) ההשלכות "חלשות" יותר מצירופים, אבל הן ממוקמות בסוגריים. אנו ממלאים את העמודה, ונוח להשתמש בנימוקים היישומיים הבאים: "אם נובע אפס מאחד, אז נשים אפס, בכל שאר המקרים - אחד". לאחר מכן, אנו ממלאים את העמודה למשמעות, ובמקביל, תשומת הלב!- יש לנתח עמודות "מימין לשמאל"!

3) ובשלב הסופי מלאו את העמודה האחרונה. וכאן נוח לחשוב כך: "אם יש שתי יחידות בעמודות, אז נשים אחת, בכל שאר המקרים - אפס".

ולבסוף, אנו בודקים את טבלת האמת שְׁקִילוּת .

שווי ערך בסיסי של אלגברה פרופוזיציונית

זה עתה פגשנו שניים מהם, אבל העניין, כמובן, אינו מוגבל רק אליהם. יש לא מעט זהויות ואני אפרט את החשובות והמפורסמות שבהן:

קומוטטיביות של צירוף וקומוטטיביות של ניתוק

קומוטטיביות- זו יכולת החזרה:

כללים מוכרים מכיתה א': "המוצר (הסכום) אינו משתנה על ידי סידור מחדש של הגורמים (מוסיף)". אבל למרות כל האלמנטריות לכאורה של תכונה זו, זה לא תמיד נכון במיוחד, זה לא קומוטטיבי כפל מטריצה (באופן כללי, לא ניתן לסדר אותם מחדש), א תוצר וקטור של וקטורים- אנטי קומוטטיבי (סידור מחדש של וקטורים כרוך בשינוי סימן).

וחוץ מזה, כאן אני שוב רוצה להדגיש את הפורמליזם של הלוגיקה המתמטית. אז, למשל, הביטויים "התלמיד עבר את הבחינה ושתה"ו "התלמיד שתה ועבר את הבחינה"שונה מנקודת מבט תוכן, אך לא ניתן להבחין מנקודת המבט של האמת הפורמלית. ...כל אחד מאיתנו מכיר תלמידים כאלה, ומטעמים אתיים לא נשמיע שמות ספציפיים =)

אסוציאטיביות של כפל לוגי וחיבור

או, אם "בסגנון בית ספר" - נכס מתאם:

נכסים חלוקתיים

שימו לב שבמקרה השני יהיה זה לא נכון לדבר על "פתיחת הסוגריים" במובן מסוים, זו "פיקציה" - אחרי הכל, ניתן להסירם לגמרי: , כי הכפל הוא פעולה חזקה יותר.

ושוב, התכונות ה"בנאליות" הללו, לכאורה, אינן מתגשמות בכל המערכות האלגבריות, ויותר מכך, דורשות הוכחה (עליו נדבר בקרוב מאוד). אגב, החוק החלוקתי השני אינו תקף אפילו באלגברה ה"רגילה" שלנו. ולמעשה:

חוק האידמפוטנציה

מה לעשות, לטינית...

רק איזה עיקרון של נפש בריאה: "אני ואני זה אני", "אני או אני גם אני" =)

והנה כמה זהויות דומות:

...הממ, אני די תקוע... אז אולי אתעורר מחר עם דוקטורט =)

חוק השלילה הכפולה

ובכן, הנה דוגמה עם השפה הרוסית מציעה את עצמה - כולם יודעים היטב ששני חלקיקים "לא" פירושם "כן". וכדי להגביר את הקונוטציה הרגשית של הכחשה, משתמשים לעתים קרובות בשלושה "לא":
- אפילו עם ראיה זעירה זה עבד!

חוקי הקליטה

- "היה ילד?" =)

בזהות הנכונה ניתן להשמיט את הסוגריים.

חוקי דה מורגן

בואו נניח שהמורה הקפדני (את השם שלו אתה גם יודע :))נותן מבחן אם - התלמיד ענה על השאלה הראשונה ו – התלמיד ענה על השאלה השנייה. ואז הצהרה שאומרת את זה סטוּדֶנט לֹאעבר את המבחן, יהיה שווה ערך להצהרה - סטוּדֶנט לֹאענה על השאלה הראשונה אוֹלשאלה השניה.

כפי שצוין לעיל, שווי ערך כפוף להוכחה, המתבצעת בדרך כלל באמצעות טבלאות אמת. למעשה, כבר הוכחנו את השקילות המבטאות השלכה ושקילות, ועכשיו הגיע הזמן לגבש את הטכניקה לפתרון בעיה זו.

בואו נוכיח את הזהות. מכיוון שהוא כולל משפט בודד, יש רק שתי אפשרויות אפשריות בקלט: אחת או אפס. לאחר מכן, אנו מקצים עמודה בודדת ומחילים עליהן כלל אני:

כתוצאה מכך, הפלט הוא נוסחה, שהאמת שלה עולה בקנה אחד עם אמיתות האמירה. הוכחה שקילות.

כן, ההוכחה הזו פרימיטיבית (ויש שיגידו "טיפש"), אבל מורה טיפוסי למתמטיקה ירעיד את נשמתו עבורו. לכן, גם לדברים פשוטים כאלה אין להתייחס בזלזול.

כעת נבדוק, למשל, את תוקפו של חוק דה מורגן.

ראשית, בואו ניצור טבלת אמת עבור הצד השמאלי. מכיוון שהניתוק נמצא בסוגריים, אנו מבצעים אותו תחילה, ולאחר מכן אנו שוללים את העמודה:

לאחר מכן, בואו ניצור טבלת אמת לצד ימין. גם כאן הכל שקוף - קודם כל אנחנו מבצעים שלילות "חזקות" יותר, ואז מיישמים אותן על העמודות כלל אני:

התוצאות תאמו, ובכך הוכחה הזהות.

כל שקילות יכולה להיות מיוצגת בטופס זהה לנוסחה האמיתית. זה אומר ש עבור כל קבוצה ראשונית של אפסים ואחדיםה"פלט" הוא אחד בהחלט. ויש לכך הסבר פשוט מאוד: מכיוון שטבלאות האמת חופפות, אז, כמובן, הן מקבילות, למשל, נחבר את הצד השמאלי והימני של הזהות המוכחת של דה מורגן על ידי שוויון.

או, באופן קומפקטי יותר:

משימה 2

הוכח את ההשוואות הבאות:

ב)

פתרון קצר בסוף השיעור. בואו לא נתעצל! נסו לא רק ליצור טבלאות אמת, אלא גם בְּבִירוּרלגבש מסקנות. כפי שציינתי לאחרונה, הזנחת דברים פשוטים יכולה להיות מאוד מאוד יקרה!

בואו נמשיך להכיר את חוקי ההיגיון!

כן, זה לגמרי נכון - אנחנו כבר עובדים קשה איתם:

נָכוֹןבְּ- , שקוראים לו זהה לנוסחה האמיתיתאוֹ חוק ההיגיון.

בשל המעבר המוצדק בעבר משוויון לנוסחה אמיתית זהה, כל הזהויות המפורטות לעיל מייצגות חוקי לוגיקה.

נוסחה שלוקחת ערך שקרבְּ- כל סט של ערכים של המשתנים הכלולים בו, שקוראים לו נוסחה שגויה זההאוֹ סְתִירָה.

דוגמה חתימה לסתירה מהיוונים הקדמונים:
- שום אמירה לא יכולה להיות נכונה ושקרית בו זמנית.

ההוכחה היא טריוויאלית:

ה"פלט" מכיל רק אפסים, ולכן הנוסחה היא באמת שקר זהה.

עם זאת, כל סתירה היא גם חוק היגיון, בפרט:

אי אפשר לכסות נושא כה נרחב במאמר אחד, ולכן אסתפק בכמה חוקים נוספים:

חוק האמצע הבלתי נכלל

– בלוגיקה הקלאסית, כל משפט הוא נכון או לא נכון ואין אפשרות שלישית. "להיות או לא להיות" - זו השאלה.

צור סימן אמת בעצמך וודא שכן נכון באופן זההנוּסחָה.

חוק הניגוד

חוק זה נדון באופן אקטיבי כאשר דנו במהות תנאי הכרחי, אנחנו זוכרים: "אם בחוץ לח כשיורד גשם, אז נובע שאם בחוץ יבש, אז בהחלט לא ירד גשם.".

גם מחוק זה עולה כי אם הוגן הוא יָשָׁר מִשׁפָּט, ואז ההצהרה, שנקראת לפעמים מולמִשׁפָּט.

אם זה נכון לַהֲפוֹךמשפט, אז מתוקף חוק הניגוד, המשפט תקף גם הוא, ההפך מההפך:

ושוב נחזור לדוגמאות המשמעותיות שלנו: להצהרות – המספר מתחלק ב-4, – המספר מתחלק ב-2יריד יָשָׁרו מולמשפטים, אבל שקר לַהֲפוֹךו ההפך מההפךמשפטים. עבור הניסוח ה"מבוגר" של משפט פיתגורס, כל 4 ה"כיוונים" נכונים.

חוק הסילוגיזם

גם קלאסיקה של הז'אנר: "כל האלונים הם עצים, כל העצים הם צמחים, ולכן כל האלונים הם צמחים.".

ובכן, כאן שוב ברצוני לציין את הפורמליזם של ההיגיון המתמטי: אם המורה המחמיר שלנו חושב שתלמיד מסוים הוא עץ אלון, אז מנקודת מבט פורמלית תלמיד זה הוא בהחלט צמח =) ... אם כי, אם אתה חושב על זה, אז אולי גם מנקודת מבט לא רשמית =)

בואו ניצור טבלת אמת עבור הנוסחה. בהתאם לעדיפות של פעולות לוגיות, אנו מקפידים על האלגוריתם הבא:

1) אנו מבצעים את ההשלכות ו. באופן כללי, אתה יכול לבצע מיד את ההשלכה השלישית, אבל זה יותר נוח (ומקובל!)להבין את זה קצת מאוחר יותר;

2) חל על עמודות כלל אני;

3) עכשיו אנחנו מבצעים;

4) ובשלב הסופי אנו מיישמים את ההשלכה על העמודות ו.

אל תהסס לשלוט בתהליך עם האצבע המורה והאמצעית :))


מהטור האחרון אני חושב שהכל ברור בלי הערות:
, וזה מה שהיה צריך להוכיח.

משימה 3

גלה האם הנוסחה הבאה היא חוק היגיון:

פתרון קצר בסוף השיעור. אה, וכמעט שכחתי - בואו נסכים לרשום את קבוצות האפסים והאחדות המקוריות בדיוק באותו סדר כמו בהוכחת חוק הסילוגיזם. כמובן שניתן לסדר מחדש את הקווים, אבל זה יקשה מאוד על ההשוואה לפתרון שלי.

המרת נוסחאות לוגיות

בנוסף למטרה ה"הגיונית" שלהן, נעשה שימוש נרחב בקוויוולנטיות כדי לשנות ולפשט נוסחאות. באופן גס, אפשר להחליף חלק אחד של הזהות באחר. אז, למשל, אם בנוסחה לוגית אתה נתקל בקטע, אז לפי חוק האידמפוטנציה, במקום זה אתה יכול (וצריך) לכתוב בפשטות. אם אתה רואה, אז לפי חוק הקליטה, פשט את הסימון ל. וכולי.

בנוסף, יש עוד דבר חשוב: הזהויות תקפות לא רק להצהרות אלמנטריות, אלא גם לנוסחאות שרירותיות. לדוגמה:

, איפה - כל (מורכב ככל שתרצה)נוסחאות.

הבה נשנה, למשל, את ההשלכה המורכבת (זהות ראשונה):

לאחר מכן, אנו מיישמים את חוק דה מורגן ה"מורכב" על הסוגר, ובשל עדיפות הפעולות, זהו החוק שבו :

ניתן להסיר את הסוגריים, כי בפנים יש צירוף "חזק" יותר:

ובכן, עם קומוטטיביות באופן כללי הכל פשוט - אתה אפילו לא צריך לייעד שום דבר... משהו בחוק הסילוגיזם שקע בנשמתי :))

לפיכך, ניתן לשכתב את החוק בצורה מורכבת יותר:

אמרו בקול את השרשרת ההגיונית "עם אלון, עץ, צמח", ותבינו שהמשמעות המהותית של החוק לא השתנתה כלל על ידי סידור ההשלכות מחדש. אלא שהנוסח הפך מקורי יותר.

כאימון, בואו נפשט את הנוסחה.

איפה להתחיל? קודם כל, הבן את סדר הפעולות: כאן השלילה מוחלת על סוגריים שלמים, ש"מהודקים" לאמירה בצירוף "קצת חלש יותר". בעיקרו של דבר, לפנינו התוצר הלוגי של שני גורמים: . מבין שתי הפעולות הנותרות, למשמעות יש את העדיפות הנמוכה ביותר, ולכן לכל הנוסחה יש את המבנה הבא: .

בדרך כלל, הצעד הראשון הוא להיפטר מהשקילות והמשמעות (אם הם)ולצמצם את הנוסחה לשלוש פעולות לוגיות בסיסיות. מה אני יכול להגיד... הגיוני.

(1) אנו משתמשים בזהות . ובמקרה שלנו.

זה בדרך כלל אחריו "שואודאונים" עם סוגריים. קודם כל הפתרון, אחר כך ההערות. כדי להימנע מ"חמאה וחמאה", אשתמש בסמלי שוויון "רגילים":

(2) אנו מיישמים את חוק דה מורגן על הסוגריים החיצוניים, כאשר .

השיעור במדעי המחשב מיועד לתלמידי כיתות י' בית ספר תיכון, שתכנית הלימודים שלו כוללת את הסעיף "אלגברה של היגיון". נושא זה קשה מאוד לתלמידים, ולכן אני, כמורה, רציתי לעניין אותם בלימוד חוקי ההיגיון, פישוט ביטויים לוגיים וניגשים לפתרון בעיות לוגיות בעניין. בצורה הרגילה, מתן שיעורים בנושא זה מייגע ומציק, וחלק מההגדרות לא תמיד ברורות לילדים. בקשר למתן מרחב מידע, הזדמן לי לפרסם את שיעורי במעטפת ה"למידה". תלמידים, לאחר שנרשמו אליו, יכולים להשתתף בקורס זה בזמנם הפנוי ולקרוא שוב את מה שלא היה ברור בכיתה. חלק מהתלמידים, שהחמיצו שיעורים עקב מחלה, משלימים את הנושא שהוחמצו בבית או בבית הספר ומוכנים תמיד לשיעור הבא. צורת הוראה זו התאימה מאוד לילדים רבים, ואותם חוקים שלא היו מובנים להם נלמדים כיום בצורת מחשב הרבה יותר קלה ומהירה. אני מציע אחד משיעורי מדעי המחשב הללו, הנערך באופן אינטגרטיבי עם ICT.

מערך שיעור

1. הסבר על חומר חדש באמצעות מחשב – 25 דקות.
2. מושגים והגדרות בסיסיים שפורסמו ב"למידה" - 10 דקות.
3. חומר לסקרנים – 5 דקות.
4. שיעורי בית - 5 דקות.

1. הסבר על חומר חדש

חוקי ההיגיון הפורמלי

הקשרים האמיתיים הפשוטים וההכרחיים ביותר בין מחשבות מתבטאים בחוקי היסוד של ההיגיון הפורמלי. אלו הם חוקי הזהות, אי-סתירה, אמצע, סיבה מספקת.

חוקים אלו הם יסודיים מכיוון שהם ממלאים תפקיד מיוחד בלוגיקה. תפקיד חשוב, הם הנפוצים ביותר. הם מאפשרים לך לפשט ביטויים לוגיים ולבנות מסקנות והוכחות. שלושת החוקים הראשונים שלעיל זוהו ונוסחו על ידי אריסטו, וחוק התבונה מספקת - על ידי ג' לייבניץ.

חוק הזהות: בתהליך של נימוק מסוים, כל מושג ושיקול דעת חייבים להיות זהים לעצמו.

חוק אי הסתירה: לא יתכן שעין אחת ואחת תהיה ולא תהיה טבועה באותו דבר באותו כבוד בו זמנית. כלומר, אי אפשר לאשר ולהכחיש משהו בו זמנית.

חוק האמצע הבלתי נכלל: מבין שתי טענות סותרות, האחת נכונה, השנייה שקרית והשלישית לא ניתנת.

חוק היגיון מספק: כל מחשבה אמיתית חייבת להיות מוצדקת מספיק.

החוק האחרון אומר שהוכחה למשהו מניחה ביסוס של מחשבות אמיתיות בדיוק ורק. לא ניתן להוכיח מחשבות שווא. יש פתגם לטיני טוב: "לעשות טעויות נפוץ לכל אדם, אבל להתעקש על טעות נפוץ רק לטיפש". אין נוסחה לחוק זה, שכן הוא מהותי במהותו בלבד. שיפוטים אמיתיים, חומר עובדתי, נתונים סטטיסטיים, חוקי מדע, אקסיומות, משפטים מוכחים יכולים לשמש כטיעונים לאישור מחשבה אמיתית.

חוקי אלגברה פרופוזיציונית

אלגברה פרופוזיציונית (אלגברה של לוגיקה) היא חלק בלוגיקה מתמטית החוקרת פעולות לוגיות על הצהרות וכללים להמרת הצהרות מורכבות.

כאשר פותרים בעיות לוגיות רבות, לעתים קרובות יש צורך לפשט את הנוסחאות המתקבלות על ידי פורמליזציה של התנאים שלהן. פישוט של נוסחאות באלגברה פרופוזיציונית מתבצעת על בסיס טרנספורמציות שוות המבוססות על חוקים לוגיים בסיסיים.

חוקי אלגברה פרופוזיציונית (אלגברה של לוגיקה) הם טאוטולוגיות.

לפעמים חוקים אלו נקראים משפטים.

באלגברה פרופוזיציונית, חוקים לוגיים באים לידי ביטוי בצורה של שוויון של נוסחאות שוות. בין החוקים בולטים אלה המכילים משתנה אחד.

ארבעת החוקים הראשונים להלן הם חוקי היסוד של אלגברה פרופוזיציונית.

חוק הזהות:

כל מושג ושיקול דעת זהים לעצמו.

חוק הזהות אומר שבתהליך החשיבה לא ניתן להחליף מחשבה אחת באחרת, מושג אחד באחר. אם חוק זה מופר, עלולות להיות טעויות לוגיות.

למשל, הגיון הם אומרים בצדק שהלשון תיקח אותך לקייב, אבל קניתי אתמול לשון מעושנת, מה שאומר שעכשיו אני יכול ללכת בבטחה לקייבאינו נכון, מכיוון שהמילה הראשונה והשנייה "שפה" מתכוונות למושגים שונים.

בהנמקה: התנועה היא נצחית. הליכה לבית הספר היא תנועה. לכן, ללכת לבית הספר הוא לנצחהמילה "תנועה" משמשת בשני מובנים שונים (הראשון - במובן הפילוסופי - כתכונה של חומר, השני - במובן היומיומי - כפעולה של תנועה במרחב), מה שמוביל למסקנה שקרית.

חוק אי סתירה:

הצעה ושלילתה אינן יכולות להיות נכונות בו זמנית. כלומר, אם ההצהרה א- נכון, אז השלילה שלו לא אחייב להיות שקר (ולהיפך). אז העבודה שלהם תמיד תהיה שקרית.

שוויון זה משמש לעתים קרובות בעת פישוט ביטויים לוגיים מורכבים.

לפעמים חוק זה מנוסח כך: שתי אמירות סותרות אינן יכולות להיות נכונות בו זמנית. דוגמאות לאי ציות לחוק אי סתירה:

1. יש חיים על מאדים ואין חיים על מאדים.

2. אוליה סיימה את התיכון ולומדת בכיתה י'.

חוק האמצע הבלתי נכלל:

באותו רגע בזמן, משפט יכול להיות נכון או לא נכון, אין אפשרות שלישית. נכון גם א,אוֹ לא א.דוגמאות ליישום חוק האמצע הבלתי נכלל:

1. המספר 12345 הוא זוגי או אי זוגי, אין אפשרות שלישית.

2. החברה פועלת בהפסד או באיזון.

3. נוזל זה עשוי להיות חומצה או לא.

חוק האמצע הבלתי נכלל אינו חוק המוכר על ידי כל הלוגיקים כחוק אוניברסלי של היגיון. חוק זה חל כאשר ההכרה עוסקת במצב נוקשה: "או - או", "אמת-שקר". כאשר מתרחשת אי ודאות (לדוגמה, בהנמקה לגבי העתיד), לעתים קרובות לא ניתן ליישם את חוק האמצע הבלתי נכלל.

שקול את ההצהרה הבאה: המשפט הזה שקרי.זה לא יכול להיות נכון כי זה אומר שזה שקר. אבל זה גם לא יכול להיות שקר, כי אז זה יהיה נכון. הצהרה זו אינה נכונה ואינה שקרית, ולכן היא מפרה את חוק האמצע הבלתי נכלל.

פָּרָדוֹקס(פרדוקסים יווניים - בלתי צפוי, מוזר) בדוגמה זו מתעוררת בשל העובדה שהמשפט מתייחס לעצמו. פרדוקס ידוע נוסף הוא בעיית המספרה: בעיר אחת, ספר גוזר את שיערם של כל התושבים, מלבד אלה שגוזרים בעצמם. מי גוזר את השיער של הספר?בלוגיקה, בשל הפורמליות שלה, לא ניתן לקבל צורה של אמירה עצמית כזו. זה שוב מאשר את הרעיון שבעזרת האלגברה של ההיגיון אי אפשר לבטא את כל המחשבות והטיעונים האפשריים. הבה נראה כיצד, בהתבסס על ההגדרה של שקילות טענה, ניתן להשיג את שאר חוקי האלגברה הטענות.

לדוגמה, בואו נקבע מה שווה ערך (שווה ערך ל) א(פעמיים לא א,כלומר שלילת השלילה א).לשם כך, בואו נבנה טבלת אמת:

לפי הגדרת שקילות, עלינו למצוא את העמודה שהערכים שלה עולים בקנה אחד עם ערכי העמודה א.זו תהיה העמודה א.

כך נוכל לנסח חוק הכפלשליליות:

אם אתה שולל הצהרה פעמיים, התוצאה היא ההצהרה המקורית. למשל, ההצהרה א= מטרוסקין- חתולשווה להצהרה ת = זה לא נכון שמטרוסקין הוא לא חתול.

באופן דומה, ניתן לגזור ולאמת את החוקים הבאים:

מאפיינים של קבועים:

חוקי החוסר אונות:

לא משנה כמה פעמים נחזור על: הטלוויזיה דולקת או הטלוויזיה דולקת או הטלוויזיה דולקת...משמעות ההצהרה לא תשתנה. דומה מחזרה חם בחוץ, חם בחוץ...זה לא יתחמם מעלה אחת.

חוקי הקומוטטיביות:

A v B = B v A

A&B = B&A

אופרנדים או INבפעולות, ניתן להחליף ניתוק וצירוף.

חוקי האסוציאטיביות:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

אם הביטוי משתמש רק בפעולת הניתוק או רק בפעולת הצירוף, אז אתה יכול להזניח את הסוגריים או לסדר אותם באופן שרירותי.

חוקי הפצה:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(חלוקה של ניתוק
יחסית לצירוף)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(הפצה של הצירוף
לגבי ניתוק)

החוק החלוקתי של חיבור ביחס לקישור דומה לחוק החלוקתי באלגברה, אך לחוק החלוקתי של חיבור ביחס לצירוף אין אנלוגיה הוא תקף רק בלוגיקה. לכן יש צורך להוכיח זאת. ההוכחה מתבצעת בצורה נוחה ביותר באמצעות טבלת אמת:

חוקי הקליטה:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

הוכח בעצמך את חוקי הקליטה.

חוקי דה מורגן:

ניסוחים מילוליים של חוקי דה מורגן:

כלל מנמוני:בצד שמאל של הזהות, פעולת השלילה עומדת על האמירה כולה. בצד ימין נראה שהוא נשבר והשלילה עומדת על כל אחת מהאמירות הפשוטות, אך במקביל משתנה הפעולה: ניתוק לצירוף ולהיפך.

דוגמאות ליישום חוק דה מורגן:

1) הצהרה זה לא נכון שאני יודע ערבית או סיניתזהה לאמירה אני לא יודע עֲרָבִיתואני לא יודע סינית.

2) הצהרה זה לא נכון שלמדתי את הלקח וקיבלתי בו ד'.זהה לאמירה או שלא למדתי את הלקח, או שלא קיבלתי בו ד'.

החלפת פעולות ההשלכה וההשקילות

פעולות ההשלכה וההשקילות אינן נמנות לפעמים מהפעולות הלוגיות של מחשב מסוים או מתרגם משפת תכנות. עם זאת, כדי לפתור בעיות רבות פעולות אלו נחוצות. ישנם כללים להחלפת פעולות אלו ברצפים של פעולות שלילה, ניתוק וצירוף.

אז, החלף את הפעולה השלכותאפשרי לפי הכלל הבא:

כדי להחליף את הפעולה שְׁקִילוּתיש שני כללים:

קל לאמת את תקפותן של נוסחאות אלו על ידי בניית טבלאות אמת לצד ימין ושמאל של שתי הזהויות.

הכרת הכללים להחלפת פעולות ההשלכה וההשקילות עוזרת, למשל, לבנות נכון את שלילת ההשלכה.

שקול את הדוגמה הבאה.

תן את ההצהרה:

E = זה לא נכון שאם אזכה בתחרות, אקבל פרס.

לתת א= אני אנצח בתחרות

ב = אני אקבל פרס.

לפיכך, E = אני אנצח בתחרות, אבל לא אקבל פרס.

גם הכללים הבאים מעניינים:

ניתן להוכיח את תקפותם גם באמצעות טבלאות אמת.

הביטוי שלהם בשפה טבעית מעניין.

למשל, הביטוי

אם פו הדוב אכל דבש, אז הוא שבע

זהה לביטוי

אם פו הדב לא שבע, אז הוא לא אכל דבש.

תרגיל:להמציא ביטויים לדוגמה המבוססים על הכללים האלה.

2. מושגי יסוד והגדרותבנספח 1

3. חומר לסקרניםבנספח 2

4. שיעורי בית

1) למד את חוקי ההיגיון באמצעות הקורס "אלגברה של היגיון", הממוקם במרחב המידע (www.learning.9151394.ru).

2) בדוק את ההוכחה לחוקי דה מורגן במחשב על ידי בניית טבלת אמת.

יישומים

1. מושגי יסוד והגדרות (נספח 1).
2. חומר לסקרנים (נספח 2).

1. מלא את הטבלה על ידי כתיבת מערכת הסימונים העשרונית את המספרים המתאימים למספרים הכתובים במערכת הספרות הרומיות:

2. המר מספרים ממערכת המספרים הרומית למערכת המספרים העשרונית:

3. כתוב במערכת המספרים הרומית:

4. רשום את האלפביתים של מערכות המספרים המיקום הבאות:

5. האלפבית של אילו מערכות מספרים מיקומיים ניתנים להלן? רשום את שמותיהם:

6. רשום את הבסיס הקטן ביותר של מערכת המספרים שבו ניתן לכתוב את המספרים הבאים:

7. רשום את המספרים בצורה מורחבת:

8. חשב את המקבילות העשרוניות של המספרים הבאים:

9. חשב את המקבילות העשרוניות של המספרים הבינאריים הבאים:

10. רשום את המספרים המקסימליים והמינימליים בני ארבע ספרות:

11. למחשבון הפועל במערכת המספרים השלישיים יש חמישה מכרים להצגת מספרים על המסך. מהו המספר העשרוני הגדול ביותר שהמחשבון הזה יכול לעבוד איתו?

12. ציין את המספרים בסדר עולה:

13. השווה את המספרים:

14. חשב את x שעבורו השוויון נכונים:

15. איש חכם אחד כתב: "אני בן 33. אמי בת 124 ואבי בן 131. ביחד אנחנו בני 343". באיזו מערכת מספרים השתמש החכם ובן כמה הוא היה?

16. לאדם אחד היו 102 מטבעות. הוא חילק אותו שווה בשווה בין שני ילדיו. כולם קיבלו 12 מטבעות ואחד נשאר. באיזו מערכת מספרים השתמשו וכמה מטבעות היו?

17. בנו ציור על מישור הקואורדינטות על ידי סימון וחיבור הנקודות ברצף שצוין.

18. בנו ציור על מישור הקואורדינטות על ידי סימון וחיבור ברצף של הנקודות:

19. בנה ציור על מישור הקואורדינטות על ידי סימון וחיבור רציף של הנקודות:

20. המר מספרים שלמים מעשרוני לבינארי:

21. המר מספרים שלמים מעשרוני לבינארי בשיטת ההפרש:

22. פענח את התמונה הגרפית על ידי ייצוג המספרים העשרוניים הבאים בקוד בינארי (כתוב כל ספרה בינארית בתא נפרד; הצל תאים עם אפסים):

23. כמה 1 יש בסימון בינארי למספר עשרוני?

24. כמה 0 יש בסימון בינארי של מספר עשרוני?

25. רשום את המספרים השלמים הטבעיים השייכים למרווחים המספריים הבאים:

26. המר מספרים שלמים מעשרוני לאוקטאלי:

27. המר מספרים שלמים מעשרוני להקסדצימלי:

28. מלאו את הטבלה שבכל שורה שלה יש לכתוב אותו מספר במערכות מספרים עם בסיס 2, 8, 10 ו-16.

29. בצע פעולת חיבור על מספרים בינאריים. בדוק על ידי המרת המונחים והסכום למערכת המספרים העשרונית.

30. בצע פעולת כפל במספרים בינאריים. בדוק על ידי המרת הגורמים והמוצר לסימון עשרוני.

31. פיתוח לוחות חיבור וכפל למערכת המספרים האוקטליים.

32. פתרו את המשוואה

33. באולימפיאדת האינפורמטיקה השתתפו 30 בנות ו-50 בנים ובסך הכל 100 איש. באיזו מערכת מספרים המידע הזה מתועד?

34. מצא את הערך של הביטוי K+L+M+N במערכת המספרים האוקטאלית אם:

35. בנו גרף המשקף את הקשרים של מושגי יסוד בנושא "מערכות מספרים".

36. המר את המספר 1010 ממערכת המספרים העשרונית למערכת המספרים הבינארית. כמה יחידות מכיל המספר המתקבל? בתשובתך, ציין מספר אחד - מספר היחידות.
תשובה: 7.

37. ייצג מספרים עשרוניים בפורמט 8 סיביות ללא סימן.

38. כתוב את הקוד הישיר של מספרים עשרוניים בפורמט 8 סיביות חתום.

39. מצא את המקבילות העשרוניות של מספרים באמצעות הקודים הישירים שלהם, הכתובים בפורמט 8 סיביות חתום:

40. כתוב את המספרים הבאים בצורה טבעית:

41. כתוב את המספר 2014.4102(10) בחמש דרכים שונות בצורה רגילה:

42. כתוב את המספרים הבאים בצורה נורמלית עם מנטיס מנורמל - שבר תקין שיש לו ספרה שאינה אפס אחרי הנקודה העשרונית:

43. שקול קטע של טבלת הקידוד ASCII:

45. תקציר שהוקלד במחשב מכיל 16 עמודים, לכל עמוד 32 שורות, בכל שורה 64 תווים. קבע את נפח המידע של המאמר בקידוד Unicode, כאשר כל תו מקודד ב-16 סיביות.

46. ​​כל ספרה הקסדצימלית משויכת לשרשרת של ארבע 0 ו-1 (טטרד בינארי):
פענוח תמונות גרפיות על ידי החלפת כל ספרה הקסדצימלית בטטרד בינארי. צבעו את התאים באפסים.

47. חשב את הכמות הנדרשת של זיכרון וידאו עבור מצב גרפי אם רזולוציית מסך הצג היא 1024x768, עומק הצבע הוא 32 סיביות.

48. חשב את כמות זיכרון הווידאו הנדרשת עבור מצב הגרפיקה אם רזולוציית מסך הצג היא 1024x768 ומספר הצבעים בפלטה הוא 256.

49. לאחסון תמונת רסטר בגודל 128x64 פיקסלים, הוקצו 8 KB של זיכרון. מהו המספר המרבי האפשרי של צבעים בפלטת התמונות?

50. מאמר שהוקלד במחשב מכיל 4 עמודים, לכל עמוד 40 שורות, בכל שורה 64 תווים. בייצוג אחד של Unicode, כל תו מקודד ב-16 סיביות. קבע את נפח המידע של המאמר בגרסה זו של ייצוג Unicode.
תשובה: 1) 20 KB.

51. רשום משפט אחד נכון ושקרי אחד מביולוגיה, גיאוגרפיה, מדעי המחשב, היסטוריה, מתמטיקה, ספרות:

52. בהצהרות הבאות, הדגש את הפשוטים, ציין כל אחד מהם באות; רשום כל משפט מורכב באמצעות אותיות וסימני פעולות לוגיות.

53. הטבלה מציגה את השאילתות ואת מספר הדפים שנמצאו באמצעותן עבור פלח מסוים באינטרנט.

54. הטבלה מציגה את השאילתות ומספר הדפים שנמצאו בהן עבור פלח מסוים באינטרנט.

55. הטבלה מציגה את השאילתות ואת מספר הדפים שנמצאו באמצעותן עבור פלח מסוים באינטרנט.

56. פלח מסוים באינטרנט מורכב מ-1000 אתרים. הטבלה מציגה את השאילתות ואת מספר הדפים שנמצאו עבורן בפלח רשת זה:

60. מצא את הערך של הביטוי הלוגי עבור הערכים שצוינו של X:

61. מלא את הטבלה בערכים בוליאניים:

62. שלושה חברים שיחקו כדורגל בחצר ושברו חלון עם כדור. וניה אמרה: "אני ששברתי את החלון, קוליה לא שבר את החלון". קוליה אמר: "לא אני או סשה עשיתי את זה". סשה אמר: "לא אני או וניה עשינו את זה." וסבתא ישבה על הספסל וראתה הכל. היא אמרה שרק ילד אחד אמר את האמת בשתי הפעמים, אבל לא אמרה מי שבר את החלון. מי זה?

63. נבדק מקרה של גניבה. בראגין, קורגין וליכודייב חשודים בפשע זה. כל אחד מהם מסר את העדות הבאה.
בריאגין: "לא עשיתי את זה. ליקודויב עשה את זה".
ליכודייב: "זו לא אשמתי, אבל גם לקורגין אין שום קשר לזה".
קורגין: "ליקודייב אינו אשם. ברייגין ביצע את הפשע".
החקירה קבעה בבירור כי שני אנשים ביצעו את הגניבה בנוסף, החשודים היו מבולבלים בעדותם וכל אחד מהם לא מסר עדות אמיתית לחלוטין. מי ביצע את הפשע?
פתור את הבעיה על ידי מילוי וניתוח טבלת האמת:

64. בטיול פגשו חמישה חברים - אנטון, בוריס, ואדים, דימה וגרישה - חבר למטייל. הם ביקשו ממנה לנחש את שמות המשפחה שלהם, וכל אחד מהם אמר הצהרה אחת נכונה ושקרית אחת:
דימה אמר: "שם המשפחה שלי הוא משין, ושם המשפחה של בוריס הוא חוכלוב".
אנטון אמר: "משין הוא שם המשפחה שלי, ושם המשפחה של ואדים הוא בלקין." בוריס אמר: "שם המשפחה של ואדים הוא טיכונוב, ושם המשפחה שלי הוא משין".
ואדים אמר: "שם המשפחה שלי הוא בלקין, ושם המשפחה של גרישה הוא צ'כוב."
גרישה אמר: "כן, שם המשפחה שלי הוא צ'כוב, ושם המשפחה של אנטון הוא טיכונוב."
איזה שם משפחה יש לכל אחד מחבריך?

(Dm(¬Bx)+(¬Dm)Bx)*(Am(¬Wb)+(¬Am)Wb)*(Bm(¬W)+(¬Bm)W)*(Wb(¬Gh)+( ¬Wb)Gch)*(Gch(¬At)+(¬Gch)At)=1
הביטוי נכון כאשר כל הסכומים נכונים. נניח ש-Dm=1, ואז Am=0, Bm=0; אבל אז Wb=1 ו-W=1, וזה בלתי אפשרי. אז Bh נכון. אז Bm הוא שקר, W הוא נכון, At הוא שקר, Gch הוא נכון, Wb הוא שקר, Am הוא נכון.
תשובה: בוריס חוכלוב, ואדים טיכונוב, גרישה צ'כוב, אנטון משין, דימה בלקין.

65. שלושה חברים, אוהדי כדורגל, התווכחו על תוצאות הטורניר הקרוב.
דעתו של יורי: “תראה, ברצלונה לא תהיה הראשונה. "זניט יהיה הראשון."
דעתו של ויקטור: "ברצלונה תהיה המנצחת". ואין מה להגיד על זניט, זה לא יהיה הראשון".
דעתו של ליאוניד: "ריאל לא תראה את המקום הראשון, אבל לברצלונה יש את כל הסיכויים לזכות".
בסיום התחרות התברר שכל אחת משתי ההנחות של שני החברים אוששה, ושתי ההנחות של החבר השלישי התבררו כשגויות. מי זכה בטורניר?
פתור את הבעיה על ידי חיבור והמרת ביטוי לוגי:

66. גלה איזה אות צריך להיות במוצא המעגל עבור כל סט אפשרי של אותות בכניסות. מלא את טבלת הפעולה של המעגל. איזה ביטוי לוגי מתאר את המעגל?

67. לגבי איזה מהשמות הפרטיים נכון ההצהרה:

מילות מפתח:

• אלגברה של לוגיקה
• הַצהָרָה
• פעולה לוגית
• צירוף
• ניתוק
• שְׁלִילָה
• ביטוי לוגי
• שולחן האמת
• חוקי ההיגיון

1.3.1. הַצהָרָה

אלגברה במובן הרחב של המילה היא המדע של פעולות כלליות, בדומה לחיבור וכפל, שניתן לבצע על מגוון עצמים מתמטיים. אובייקטים מתמטיים רבים (מספרים שלמים ו מספר רציונלי, פולינומים, וקטורים, קבוצות) אתה לומד בקורס אלגברה בבית ספר, שבו אתה מתוודע לענפי מתמטיקה כמו אלגברה של מספרים, אלגברה של פולינומים, אלגברה של קבוצות וכו'.

עבור מדעי המחשב, ענף במתמטיקה הנקרא אלגברה לוגית חשוב; האובייקטים של האלגברה של הלוגיקה הם הצהרות.

לדוגמה, לגבי המשפטים "המדען הרוסי הגדול M.V. לומונוסוב נולד ב-1711" ו"שניים ועוד שש זה שמונה" אנחנו בהחלט יכולים לומר שהם נכונים. המשפט "דרורים נמצאים בתרדמת חורף" הוא שקרי. לכן, משפטים אלו הם הצהרות.

לדוגמה, המשפט "משפט זה שקר" אינו הצהרה כי לא ניתן לומר שהוא נכון או לא נכון מבלי לקבל סתירה. אכן, אם נקבל שהמשפט נכון, הרי שזה סותר את הנאמר. אם נקבל שהמשפט שקרי, אז נובע שהוא נכון.

לגבי המשפט "גרפיקה ממוחשבת היא הנושא הכי מעניין בקורס מדעי המחשב בבית הספר", אי אפשר גם לומר באופן חד משמעי אם הוא נכון או שקר. תחשוב בעצמך למה.

לדוגמה, משפטים כגון: "כתוב שיעורי בית", "איך מגיעים לספרייה?", "מי הגיע אלינו? "

דוגמאות להצהרות יכולות להיות:

1. "Na זה מתכת" (אמירה אמיתית);
2. "החוק השני של ניוטון בא לידי ביטוי בנוסחה F=m a" (אמירה אמיתית);
3. "ההיקף של מלבן עם אורכי צלעות a u b שווה ל- b" (משפט כוזב).

ביטויים מספריים אינם הצהרות, אך משני ביטויים מספריים ניתן ליצור משפט על ידי חיבורם עם סימני שוויון או אי שוויון. לדוגמה:

1. "34-5 = 2 4" (הצהרה אמיתית);
2. "II4-VI > VIII" (הצהרה כוזבת).

גם שוויון ואי-שוויון המכילים משתנים אינם הצהרות. לדוגמה, המשפט "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

ההצדקה לאמיתות או שקר של אמירות נקבעת על ידי המדעים שאליהם הם שייכים. האלגברה של ההיגיון מופשטת מהתוכן הסמנטי של הצהרות. היא מתעניינת רק אם אמירה נתונה היא נכונה או שקרית. באלגברה לוגית, הצהרות מסומנות באותיות ונקראות משתנים לוגיים. יתרה מכך, אם ההצהרה נכונה, אז הערך של המשתנה הלוגי המתאים מסומן באחד (A = 1), ואם הוא שקר - באפס (B = 0). 0 ו-1 המציינים את הערכים של משתנים בוליאניים נקראים ערכים בוליאניים.

על ידי הפעלה עם משתנים לוגיים, שיכולים להיות שווים רק ל-0 או 1, האלגברה של הלוגיקה מאפשרת לצמצם את עיבוד המידע לפעולות עם נתונים בינאריים. זהו המנגנון של האלגברה הלוגית המהווה את הבסיס של התקני מחשב לאחסון ועיבוד מידע. תוכלו להיתקל באלמנטים של אלגברה לוגית בתחומים רבים אחרים של מדעי המחשב.

1.3.2. פעולות לוגיות

הצהרות יכולות להיות פשוטות או מורכבות. אמירה נקראת פשוטה אם אף חלק ממנה אינו עצמו הצהרה. הצהרות מורכבות (מורכבות) בנויות מאלה פשוטות תוך שימוש בפעולות לוגיות.

הבה נבחן את הפעולות הלוגיות הבסיסיות המוגדרות על הצהרות. כולם מתאימים לחיבורים המשמשים בשפה הטבעית.

צירוף

חשבו על שתי הצהרות: A = "מייסד האלגברה של הלוגיקה הוא ג'ורג' בול", B = "המחקר של קלוד שאנון איפשר ליישם את האלגברה של הלוגיקה בטכנולוגיית המחשב." ברור שהמשפט החדש "מייסד האלגברה של הלוגיקה הוא ג'ורג' בול, והמחקר של קלוד שאנון איפשר ליישם את האלגברה של הלוגיקה בטכנולוגיית מחשבים" נכון רק אם שתי ההצהרות המקוריות נכונות בו זמנית.

כדי לכתוב צירוף, נעשה שימוש בסימנים הבאים: , , И, &. לדוגמה: A B, A B, A AND B, A&B.

ניתן לתאר את הצירוף בצורה של טבלה, הנקראת טבלת אמת:

טבלת האמת מפרטת את כל הערכים האפשריים של ההצהרות המקוריות (עמודות A ו-B), והמספרים הבינאריים המתאימים מסודרים בדרך כלל בסדר עולה: 00, 01, 10, 11. העמודה האחרונה מתעדת את התוצאה של הפעולה הלוגית עבור האופרנדים המתאימים.

אחרת, הצירוף נקרא כפל לוגי. תחשוב למה.

ניתוק

שקול שתי הצהרות: A = "הרעיון של שימוש בסמליות מתמטית בלוגיקה שייך לגוטפריד וילהלם לייבניץ," B = "לייבניץ הוא מייסד החשבון הבינארי." ברור שהמשפט החדש "הרעיון של שימוש בסמליות מתמטית בלוגיקה שייך לגוטפריד וילהלם לייבניץ או לייבניץ הוא מייסד החשבון הבינארי" שקרי רק אם שתי ההצהרות המקוריות שגויות בו זמנית.

קבע באופן עצמאי את האמת או השקר של שלושת ההצהרות שנחשבו.

כדי לכתוב ניתוק, נעשה שימוש בסימנים הבאים: v, |, OR, +. לדוגמה: AvB, A|B, A OR B, A+B.

ההפרדה מוגדרת על ידי טבלת האמת הבאה:

אחרת, ניתוק נקרא חיבור לוגי. תחשוב למה.

היפוך

כדי לכתוב היפוך, נעשה שימוש בסימנים הבאים: NOT, ¬, ‾. לדוגמה: NOT, ¬, ‾.

ההיפוך נקבע על ידי טבלת האמת הבאה:

היפוך נקרא אחרת שלילה לוגית.

השלילה של האמירה "יש לי מחשב בבית" תהיה האמירה "זה לא נכון שיש לי מחשב בבית" או, שזה אותו דבר ברוסית, "אין לי מחשב בבית". השלילה של האמירה "אני לא יודע סינית" תהיה האמירה "זה לא נכון שאני לא יודע סינית" או, שזה אותו דבר ברוסית, "אני יודע סינית". שלילת האמירה "כל תלמידי כיתות ט' הם תלמידים מצוינים" היא האמירה "לא נכון שכל תלמידי כיתות ט' הם תלמידים מצוינים", במילים אחרות, "לא כל הבנים מכיתות ט' מצוינים. תלמידים."

לפיכך, כאשר בונים שלילה לאמירה פשוטה, או שמשתמשים בביטוי "זה לא נכון ש...", או שהשלילה נבנית לפרדיקט, אזי החלקיק "לא" מתווסף לפועל המקביל.

כל משפט מורכב יכול להיכתב כביטוי לוגי - ביטוי המכיל משתנים לוגיים, סימני אופרטור לוגי וסוגריים. פעולות לוגיות בביטוי לוגי מבוצעות בסדר הבא: היפוך, צירוף, ניתוק. ניתן לשנות את סדר הפעולות באמצעות סוגריים.

דוגמה 1. תן A = "המילה "קרוזר" מופיעה בדף האינטרנט," B = "המילה "ספינת קרב" מופיעה בדף האינטרנט." אנו שוקלים פלח מסוים של האינטרנט המכיל 5,000,000 דפי אינטרנט. בה, משפט A נכון עבור 4800 עמודים, משפט B נכון עבור 4500 עמודים, והצהרה A v B נכונה עבור 7000 עמודים. לגבי כמה דפי אינטרנט הביטויים וההצהרות הבאים יהיו נכונים במקרה זה?

א) לא (א או ב);

ג) המילה "קרוזר" מופיעה בדף האינטרנט, אך המילה "ספינת קרב" אינה מופיעה.

פִּתָרוֹן. הבה נצייר את קבוצת כל דפי האינטרנט של מגזר האינטרנט הנבדקים כמעגל, שבתוכו נציב שני עיגולים: אחד מהם מתאים לקבוצת דפי האינטרנט שבהם משפט א' נכון, השני - שבו משפט ב' הוא נכון (איור 1.3).

אורז. 1.3.
תמונה גרפיתדפי אינטרנט מרובים

הבה נציג בצורה גרפית את קבוצות דפי האינטרנט שעבורם הביטויים וההצהרות א) - ג) נכונים (איור 1.4)

אורז. 1.4.
ייצוג גרפי של קבוצות של דפי אינטרנט שעבורם ביטויים והצהרות א) - ג) נכונים

התרשימים שנבנו יעזרו לנו לענות על השאלות הכלולות במשימה.

הביטוי A OR B נכון עבור 7,000 דפי אינטרנט, וישנם 5,000,000 דפים בסך הכל, לכן, הביטוי A OR B הוא שקר עבור 4,993,000 דפי אינטרנט. במילים אחרות, עבור 4,993,000 דפי אינטרנט, הביטוי NOT (A או B) נכון.

הביטוי A v B נכון עבור אותם דפי אינטרנט שבהם A (4800) נכון, כמו גם עבור אותם דפי אינטרנט שבהם B (4500) נכון. אם כל דפי האינטרנט היו שונים, אזי הביטוי A v B יהיה נכון עבור 9300 (4800 + 4500) דפי אינטרנט. אבל, לפי התנאי, יש רק 7000 דפי אינטרנט כאלה. זה אומר שב-2300 (9300 - 7000) דפי אינטרנט שתי המילים מופיעות בו-זמנית. לכן, ביטוי A & B נכון עבור 2300 דפי אינטרנט.

כדי לברר לכמה דפי אינטרנט משפט A נכון ובו בזמן משפט B הוא שקר, יש להחסיר 2300 מ-4800. לפיכך, המשפט "המילה "קרוזר" מופיעה בדף האינטרנט והמילה "ספינת קרב" לא להופיע" נכון ב-2500 דפי אינטרנט.

רשום את הביטוי הלוגי המתאים לאמירה הנחשבת.

באתר המרכז הפדרלימידע ומשאבים חינוכיים (http://fcoir.edu.ru/) מכיל את מודול המידע "הצהרה. אמירות פשוטות ומורכבות. פעולות לוגיות בסיסיות". היכרות עם משאב זה תאפשר לך להרחיב את הבנתך בנושא שאתה לומד.

1.3.3. בניית טבלאות אמת לביטויים לוגיים

לביטוי לוגי, אתה יכול לבנות טבלת אמת המראה אילו ערכים הביטוי לוקח עבור כל קבוצות הערכים של המשתנים הכלולים בו. כדי לבנות טבלת אמת עליך:

1. count n - מספר המשתנים בביטוי;
2. לספור את המספר הכולל של פעולות לוגיות בביטוי;
3. לקבוע את רצף הפעולות הלוגיות, תוך התחשבות בסוגריים ובסדרי עדיפויות;
4. לקבוע את מספר העמודות בטבלה: מספר משתנים + מספר פעולות;
5. למלא את כותרת הטבלה, לרבות משתנים ופעולות בהתאם לרצף שנקבע בפסקה 3;
6. קבע את מספר השורות בטבלה (לא סופר את כותרת הטבלה) m = 2n;
7. רשום קבוצות של משתני קלט, תוך התחשבות בעובדה שהם מייצגים סדרה שלמה של מספרים בינאריים של n-bit מ-0 עד 2 n - 1;
8. מלא את הטבלה עמודה אחר עמודה, תוך ביצוע פעולות לוגיות בהתאם לרצף שנקבע.

בואו נבנה טבלת אמת לביטוי הלוגי A v A & B. היא מכילה שני משתנים, שתי פעולות, וקודם מבצעים את הצירוף, ואחר כך את הניתוק. הטבלה תכלול ארבע עמודות בסך הכל:

קבוצות של משתני קלט הן מספרים שלמים מ-O עד 3, המוצגים בקוד בינארי דו ספרתי: 00, 01, 10, 11. טבלת האמת המושלמת נראית כך:

שימו לב שהעמודה האחרונה (התוצאה) זהה לעמודה A. במקרה זה, הביטוי הלוגי A v A & B אמור להיות שווה ערך לביטוי הלוגי A.

1.3.4. מאפיינים של פעולות לוגיות

הבה נבחן את התכונות הבסיסיות (החוקים) של האלגברה של הלוגיקה.

ניתן להוכיח את חוקי האלגברה הלוגית באמצעות טבלאות אמת.

הבה נוכיח את חוק ההפצה לתוספת לוגית:

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

צירוף המקרים של העמודות התואמות לביטויים הלוגיים בצד שמאל וימין של השוויון מוכיח את תוקפו של חוק ההפצה לתוספת הגיונית.

דוגמה 2. בואו נמצא את הערך של ביטוי לוגי עבור המספר X = 0.

פִּתָרוֹן. כאשר X = 0 נקבל את הביטוי הלוגי הבא: . מכיוון שביטויים לוגיים הם 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. פתרון בעיות לוגיות

בואו נסתכל על מספר דרכים לפתור בעיות לוגיות.

בעיה 1. קוליה, ואסיה וסריוז'ה ביקרו את סבתם בקיץ. יום אחד שבר אחד הבנים בטעות את האגרטל האהוב על סבתו. כשנשאלו מי שבר את האגרטל, הם ענו את התשובות הבאות:

סריוז'ה: 1) לא שברתי את זה. 2) ואסיה לא שברה את זה.

ואסיה: 3) סריוז'ה לא שבר את זה. 4) קוליה שברה את האגרטל.

קוליה: 5) לא שברתי את זה. 6) סריוז'ה שברה את האגרטל.

הסבתא ידעה שאחד מנכדיה, בוא נקרא לו אמת, אמר את האמת בשתי הפעמים; השני, בואו נקרא לו ג'וקר, אמר שקר בשתי הפעמים; השלישי, בואו נקרא לו ערמומי, אמר את האמת פעם אחת, ופעם אחרת - שקר. תן שם של האמת, הג'וקר והערמומי. איזה נכד שבר את האגרטל?

פִּתָרוֹן.תן K = "קוליה שבר אגרטל", B = "Vasya שבר אגרטל", C = "Seryozha שבר אגרטל". בואו ניצור טבלת אמת איתה נציג את הצהרותיו של כל ילד 1.

1 בהתחשב בעובדה שהאגרטל נשבר על ידי נכד אחד, ניתן היה ליצור לא את הטבלה כולה, אלא רק את השבר שלו המכיל את קבוצות משתני הקלט הבאות: 001, 010, 100.

על סמך מה שהסבתא יודעת על נכדיה, כדאי לחפש בטבלה שורות המכילות, בסדר מסוים, שלושה צירופי ערכים: 00, 11, 01 (או 10). היו שתי שורות כאלה בטבלה (הן מסומנות בסימני ביקורת). לפי השני שבהם, האגרטל נשבר על ידי קוליה ואסייה, מה שסותר את התנאי. לפי השורות הראשונות שנמצאו, סריוז'ה שבר את האגרטל, והתברר שהוא ערמומי. ואסיה התברר כג'וקר. שמו של הנכד האמיתי הוא קוליה.

בעיה 2. אלה, וליה, סימה ודשה משתתפות בתחרויות התעמלות. מעריצים העלו הצעות לגבי זוכים אפשריים:

1. סימה תהיה ראשונה, וליה תהיה שנייה;
2. סימה תהיה שניה, דאשה תהיה שלישית;
3. אלה יהיה שני, דאשה תהיה רביעית.

בסיום התחרות התברר שבכל אחת מההנחות רק אחת מהאמירות נכונה, השנייה שקרית. איזה מקום תפסה כל אחת מהבנות בתחרות אם כולן הגיעו למקומות שונים?

פִּתָרוֹן. בואו נסתכל על כמה הצהרות פשוטות:

C 1 = "סימה תפסה את המקום הראשון";

B 2 = "וואליה תפסה את המקום השני";

C 2 = "סימה תפסה את המקום השני";

D 3 = "דאשה תפסה את המקום השלישי";

A 2 = "אללה לקח את המקום השני";

D 4 = "דאשה תפסה את המקום הרביעי."

מכיוון שבכל אחת משלוש ההנחות אחת מהמשפטים נכונה והשנייה שקרית, נוכל להסיק את הדברים הבאים:

1. C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
2. C 2 + D 3 = 1, C 2 D 3 = 0;
3. A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

התוצר הלוגי של הצהרות אמיתיות יהיה נכון:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

בהתבסס על חוק ההפצה, אנו הופכים את הצד השמאלי של ביטוי זה:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

ההצהרה C 1 C 2 פירושה שסימה לקחה גם את המקומות הראשון וגם השני. לפי תנאי הבעיה, הצהרה זו שקרית. גם ההצהרה B 2 C 2 שגויה. בהתחשב בחוק הפעולות עם הקבוע 0, אנו כותבים:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

שינוי נוסף של הצד השמאלי של השוויון הזה והדרה של הצהרות שגויות בעליל נותן:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

מהשוויון האחרון עולה ש-C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. זה אומר שסימה תפסה את המקום הראשון, אלא תפסה את השני, דאשה תפסה את השלישי. כתוצאה מכך, וליה לקח את המקום הרביעי.

תוכלו להכיר דרכים נוספות לפתרון בעיות לוגיות, וכן לקחת חלק באולימפיאדות אינטרנט ובתחרויות לפתרונן באתר "מתמטיקה לתלמידי בית ספר" (http://www.kenqyry.com/).

באתר http://www.kaser.com/ ניתן להוריד גרסת הדגמה של פאזל לוגיקה שימושי מאוד של שרלוק המפתח מיומנויות לוגיקה וחשיבה.

1.3.6. אלמנטים לוגיים

אלגברה של לוגיקה היא ענף במתמטיקה הממלא תפקיד חשוב בתכנון מכשירים אוטומטיים ובפיתוח חומרה ותוכנה לטכנולוגיות מידע ותקשורת.

אתה כבר יודע שכל מידע יכול להיות מיוצג בצורה דיסקרטית - כסט קבוע של ערכים בודדים. מכשירים המעבדים ערכים כאלה (אותות) נקראים דיסקרטיים. ממיר בדיד שאחרי עיבוד אותות בינאריים מייצר את הערך של אחת הפעולות הלוגיות נקרא אלמנט לוגי.

באיור. 1.5 מציג את הסמלים (דיאגרמות) של אלמנטים לוגיים המיישמים כפל לוגי, חיבור לוגי והיפוך.

איור 1.5.
אלמנטים לוגיים

האלמנט הלוגי AND (קומינקטור) מיישם את פעולת הכפל הלוגי (איור 1.5, א). יחידה ביציאה של אלמנט זה תופיע רק כאשר יש יחידות בכל הכניסות.

האלמנט הלוגי OR (דיסjunktor) מיישם את פעולת החיבור הלוגית (איור 1.5, ב). אם לפחות קלט אחד הוא אחד, אז הפלט של האלמנט יהיה גם אחד.

האלמנט הלוגי NOT (מהפך) מיישם את פעולת השלילה (איור 1.5, ג). אם הקלט של האלמנט הוא O, אז הפלט הוא 1 ולהיפך.

התקני מחשב המבצעים פעולות על מספרים בינאריים ותאים המאחסנים נתונים הם מעגלים אלקטרוניים המורכבים מאלמנטים לוגיים בודדים. נושאים אלו יידונו ביתר פירוט בקורס מדעי המחשב לכיתות י'-י"א.

דוגמה 3. בואו ננתח את המעגל האלקטרוני, כלומר, לגלות איזה אות צריך להיות במוצא עבור כל סט אפשרי של אותות בכניסות.

פִּתָרוֹן. נזין את כל השילובים האפשריים של אותות בכניסות A עד B לטבלת האמת. בואו נתחקה אחר הטרנספורמציה של כל זוג אותות בזמן שהם עוברים דרך אלמנטים לוגיים ונכתוב את התוצאה בטבלה. טבלת האמת המושלמת מתארת ​​לחלוטין את המעגל האלקטרוני הנדון.

ניתן לבנות טבלת אמת גם באמצעות ביטוי לוגי המתאים למעגל אלקטרוני. האלמנט ההגיוני האחרון במעגל הנדון הוא החיבור. הוא מקבל אותות מכניסה L ומהמהפך. בתורו, המהפך מקבל אות מכניסה B. לפיכך,

עבודה עם סימולטור הלוגי (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) תעזור לך לקבל הבנה מלאה יותר של אלמנטים לוגיים ומעגלים אלקטרוניים.

החשוב ביותר

אמירה היא משפט בכל שפה שניתן לקבוע באופן חד משמעי את תוכנו כאמת או שקר.

פעולות לוגיות בסיסיות המוגדרות על הצהרות: היפוך, צירוף, ניתוק.

טבלאות אמת לפעולות לוגיות בסיסיות:

בעת הערכת ביטויים בוליאניים, השלבים בסוגריים מבוצעים תחילה. עדיפות לביצוע פעולות לוגיות:

שאלות ומשימות

1.3.1. הַצהָרָה
1.3.2. פעולות לוגיות
1.3.3. בניית טבלאות אמת לביטויים לוגיים
1.3.4. מאפיינים של פעולות לוגיות
1.3.5. פתרון בעיות לוגיות
1.3.6. אלמנטים לוגיים

1. קראו את חומרי המצגת לפסקה הכלולים בנספח האלקטרוני לספר הלימוד. האם המצגת משלימה את המידע הכלול בטקסט של הפסקה?

2. הסבירו מדוע המשפטים הבאים אינם הצהרות.
1) באיזה צבע הבית הזה?
2) המספר X אינו עולה על אחד.
3) 4X+3.
4) הסתכל מהחלון.
5) שתו מיץ עגבניות!
6) הנושא הזה משעמם.
7) ריקי מרטין היא הזמרת הפופולרית ביותר.
8) היית בתיאטרון?

3. תן דוגמה אחת להצהרות נכונות ושקריות מביולוגיה, גיאוגרפיה, מדעי המחשב, היסטוריה, מתמטיקה, ספרות.

4. בהצהרות הבאות, הדגש את ההצהרות הפשוטות, ציין כל אחת מהן באות; רשום כל משפט מורכב באמצעות אותיות וסימני פעולות לוגיות.
1) המספר 376 הוא זוגי ותלת ספרתי.
2) בחורף, ילדים הולכים על החלקה על הקרח או סקי.
3) שנה חדשהניפגש בדאצ'ה או בכיכר האדומה.
4) זה לא נכון שהשמש נעה סביב כדור הארץ.
5) כדור הארץ בצורת כדור, שנראה כחול מהחלל.
6) במהלך שיעור מתמטיקה ענו תלמידי תיכון על שאלות המורה וגם כתבו עבודה עצמאית.

5. בנה את השלילה של ההצהרות הבאות.

6. תן ל-A = "אניה אוהבת שיעורי מתמטיקה", וב- = "אניה אוהבת שיעורי כימיה." הביעו את הנוסחאות הבאות בשפה רגילה:

7. פלח מסוים באינטרנט מורכב מ-1000 אתרים. שרת החיפוש הרכיב באופן אוטומטי טבלה של מילות מפתח עבור אתרים בפלח זה. הנה השבר שלו:

8. בנו טבלאות אמת עבור הביטויים הלוגיים הבאים:

9. ספק הוכחה לחוקים הלוגיים הנדונים בפסקה באמצעות טבלאות אמת.

10. במערכת המספרים העשרונית ניתנים שלושה מספרים: A=23, B=19, C=26. המירו את A, B ו-C למערכת המספרים הבינארית ובצעו פעולות לוגיות סיביות (A v B) ו-C. תנו את התשובה במערכת המספרים העשרונית.

11. מצא את המשמעויות של הביטויים:

12. מצא את הערך של הביטוי הלוגי (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. תן A = "האות הראשונה של השם היא תנועות", B = "האות הרביעית של השם היא עיצור." מצא את הערך של הביטוי הלוגי A v B עבור השמות הבאים:
1) אלנה 2) ואדים 3) אנטון 4) פדור
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. המקרה של ג'ון, בראון וסמית' נבדק. ידוע שאחד מהם מצא והחביא את האוצר. במהלך החקירה אמר כל אחד מהחשודים שתי הצהרות:
סמית: "לא עשיתי את זה. בראון עשה את זה".
ג'ון: בראון לא אשם. סמית' עשה את זה".
בראון: "לא עשיתי את זה. ג'ון לא עשה את זה."
בית המשפט מצא שאחד מהם שיקר פעמיים, השני אמר את האמת פעמיים, השלישי שיקר פעם אחת ואמר את האמת פעם אחת. איזה חשוד צריך לזכות?
תשובה: סמית' וג'ון.

15. אליושה, בוריה וגרישה מצאו כלי עתיק באדמה. בבחינת הממצא המדהים, כל אחד הניח שתי הנחות:
1) אליושה: "זהו כלי יווני שנעשה במאה החמישית".
2) בוריה: "זהו כלי פיניקי שנעשה במאה ה-3".
3) גרישה: "כלי זה אינו יווני ונעשה במאה הרביעית".
המורה להיסטוריה אמרה לילדים שכל אחד מהם צודק רק באחת משתי הנחות היסוד. היכן ובאיזה מאה יוצר הכלי?
תשובה: כלי פיניקי, שנעשה במאה ה-5.

16. גלה איזה אות צריך להיות במוצא המעגל האלקטרוני עבור כל קבוצה אפשרית של אותות בכניסות. ערכו טבלה של אופן פעולת המעגל. איזה ביטוי לוגי מתאר את המעגל?