בנה פונקציית התפלגות אמפירית עבור המדגם. פונקציית התפלגות אמפירית, מאפיינים. ייצוג גרפי של סדרות הפצה

קביעת פונקציית ההתפלגות האמפירית

תן $X$ להיות משתנה אקראי. $F(x)$ - פונקציית התפלגות של המשתנה האקראי הנתון. נבצע ניסויים של $n$ על משתנה מקרי נתון באותם תנאים בלתי תלויים. במקרה זה, נקבל רצף של ערכים $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, שנקרא מדגם.

הגדרה 1

כל ערך של $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) נקרא וריאנט.

אחת ההערכות של פונקציית ההתפלגות התיאורטית היא פונקציית ההתפלגות האמפירית.

הגדרה 3

פונקציית ההתפלגות האמפירית $F_n(x)$ היא הפונקציה שקובעת עבור כל ערך $x$ את התדירות היחסית של האירוע $X \

כאשר $n_x$ הוא מספר האפשרויות הקטן מ-$x$, $n$ הוא גודל המדגם.

ההבדל בין פונקציה אמפירית לפונקציה תיאורטית הוא שהפונקציה התיאורטית קובעת את ההסתברות לאירוע $X

תכונות של פונקציית ההתפלגות האמפירית

הבה נבחן כעת מספר מאפיינים בסיסיים של פונקציית ההתפלגות.

הטווח של הפונקציה $F_n\left(x\right)$ הוא הקטע $$.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה שאינה יורדת.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה רציפה שמאלית.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה קבועה חלקית ועולה רק בנקודות של ערכים של המשתנה האקראי $X$

תנו ל-$X_1$ להיות הקטן ביותר, ו-$X_n$ להיות הגרסה הגדולה ביותר. לאחר מכן $F_n\left(x\right)=0$ עבור $(x\le X)_1$ ו-$F_n\left(x\right)=1$ עבור $x\ge X_n$.

הבה נציג משפט המחבר בין הפונקציות התיאורטיות והאמפיריות.

משפט 1

תנו ל-$F_n\left(x\right)$ להיות פונקציית ההתפלגות האמפירית ו-$F\left(x\right)$ להיות פונקציית ההתפלגות התיאורטית של המדגם הכללי. אז השוויון מתקיים:

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

דוגמאות לבעיות למציאת פונקציית ההתפלגות האמפירית

דוגמה 1

תן להתפלגות המדגם את הנתונים הבאים, מתועדים באמצעות טבלה:

תמונה 1.

מצא את גודל המדגם, חבר פונקציית התפלגות אמפירית ותווה אותה.

גודל דוגמה: $n=5+10+15+20=50$.

לפי תכונה 5, יש לנו את זה עבור $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, ועבור $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

ערך $x

לפיכך, אנו מקבלים:

איור 2.

איור 3

דוגמה 2

מערי החלק המרכזי של רוסיה נבחרו באקראי 20 ערים, עבורן התקבלו הנתונים הבאים על תעריפים בתחבורה ציבורית: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

חבר פונקציית התפלגות אמפירית של מדגם זה ובנה את הגרף שלו.

אנו כותבים את ערכי המדגם בסדר עולה ומחשבים את התדירות של כל ערך. נקבל את הטבלה הבאה:

איור 4

גודל דוגמה: $n=20$.

לפי תכונה 5, יש לנו את זה עבור $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, ועבור $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

ערך $x

לפיכך, אנו מקבלים:

איור 5

בואו נשרטט את ההתפלגות האמפירית:

איור 6

מקוריות: $92.12\%$.

הרצאה 13

נדע את ההתפלגות הסטטיסטית של התדרים של התכונה הכמותית X. הבה נסמן במספר התצפיות שבהן נצפתה ערכה של התכונה הקטן מ-x, וב-n את המספר הכולל של התצפיות. ברור, התדירות היחסית של האירוע X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

פונקציית הפצה אמפירית(פונקציית התפלגות דגימה) היא פונקציה שקובעת עבור כל ערך x את התדירות היחסית של האירוע X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

בניגוד לפונקציית ההתפלגות האמפירית של המדגם, פונקציית התפלגות האוכלוסייה נקראת פונקציית התפלגות תיאורטית.ההבדל בין הפונקציות הללו הוא שהפונקציה התיאורטית מגדירה הִסתַבְּרוּתאירועים X< x, тогда как эмпирическая – תדירות יחסיתאותו אירוע.

ככל ש-n גדל, התדירות היחסית של האירוע X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

תכונות של פונקציית ההתפלגות האמפירית:

1) ערכי הפונקציה האמפירית שייכים למרווח

2) - פונקציה לא יורדת

3) אם - האפשרות הקטנה ביותר, אז = 0 ב, אם - האפשרות הגדולה ביותר, אז = 1 ב.

פונקציית ההתפלגות האמפירית של המדגם משמשת להערכת פונקציית ההתפלגות התיאורטית של האוכלוסייה.

דוגמא. בואו נבנה פונקציה אמפירית לפי התפלגות המדגם:

אפשרויות
תדרים

בוא נמצא את גודל המדגם: 12+18+30=60. האפשרות הקטנה ביותר היא 2, אז =0 עבור x £ 2. הערך של x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. לפיכך, לפונקציה האמפירית הרצויה יש את הצורה:

המאפיינים החשובים ביותרהערכות סטטיסטיות

יידרש לחקור תכונה כמותית כלשהי של האוכלוסייה הכללית. הבה נניח שמשיקולים תיאורטיים ניתן היה לקבוע זאת איזה מהםלהתפלגות יש תכונה ויש צורך להעריך את הפרמטרים שלפיהם היא נקבעת. לדוגמה, אם התכונה הנחקרת מתפלגת באופן נורמלי באוכלוסייה הכללית, אזי יש צורך להעריך את התוחלת המתמטית ואת סטיית התקן; אם לתכונה יש התפלגות Poisson, אז יש צורך להעריך את הפרמטר l.

בדרך כלל זמינים רק נתונים לדוגמה, כגון ערכי תכונות מ-n תצפיות עצמאיות. בהתחשב כמשתנים אקראיים בלתי תלויים, אנו יכולים לומר זאת למצוא אומדן סטטיסטי של פרמטר לא ידוע של התפלגות תיאורטית פירושו למצוא פונקציה של משתנים אקראיים נצפים הנותנת ערך משוער של הפרמטר המשוער. לדוגמה, כדי להעריך את התוחלת המתמטית להתפלגות נורמלית, תפקידה של פונקציה מבוצע על ידי הממוצע האריתמטי

על מנת שאומדנים סטטיסטיים יתנו קירובים נכונים של הפרמטרים המשוערים, עליהם לעמוד בדרישות מסוימות, ביניהן החשובות ביותר הן הדרישות חוסר פניות ו כּוֹשֵׁר פֵּרָעוֹן הערכות.

תן להיות הערכה סטטיסטית של הפרמטר הלא ידוע של ההתפלגות התיאורטית. אפשר למצוא את האומדן על סמך מדגם בגודל n. בואו נחזור על הניסוי, כלומר. אנו מחלצים מהאוכלוסייה הכללית מדגם נוסף באותו גודל ועל סמך הנתונים שלו, אנו מקבלים אומדן שונה של . אם נחזור על הניסוי פעמים רבות, נקבל מספרים שונים. ניתן לחשוב על הציון כמשתנה אקראי ועל המספרים כעל ערכיו האפשריים.

אם ההערכה נותנת קירוב בשפע, כלומר כל מספר גדול מהערך האמיתי, אז, כתוצאה מכך, התוחלת המתמטית (הערך הממוצע) של המשתנה האקראי גדולה מ:. באופן דומה, אם הוא מעריך עם חיסרון, לאחר מכן .

לפיכך, שימוש באומדן סטטיסטי, שהתוחלת המתמטית שלו אינה שווה לפרמטר המשוער, יוביל לטעויות שיטתיות (סימן אחד). אם, להיפך, אז זה מבטיח מפני טעויות שיטתיות.

חסר פניות נקרא אומדן סטטיסטי, שהתוחלת המתמטית שלו שווה לפרמטר המשוער עבור כל גודל מדגם.

עָקוּרנקרא אומדן שאינו עומד בתנאי זה.

חוסר ההטיה של ההערכה עדיין לא מבטיח קירוב טוב לפרמטר המשוער, שכן הערכים האפשריים עשויים להיות מאוד מפוזר סביב הערך הממוצע שלו, כלומר. השונות יכולה להיות משמעותית. במקרה זה, האומדן שנמצא מנתוני מדגם אחד, למשל, עשוי להתברר כרחוק באופן משמעותי מהערך הממוצע, ומכאן מהפרמטר המוערך עצמו.

יָעִיל נקרא אומדן סטטיסטי אשר עבור גודל מדגם נתון n, יש השונות הקטנה ביותר האפשרית .

כאשר בוחנים דגימות בנפח גדול, נדרשות אומדנים סטטיסטיים כּוֹשֵׁר פֵּרָעוֹן .

עָשִׁיר נקרא אומדן סטטיסטי, אשר, כמו n®¥, נוטה בהסתברות לפרמטר המשוער. לדוגמה, אם השונות של אומדן לא מוטה שואפת לאפס כמו n®¥, אז גם מעריך כזה מתברר כעקבי.

קביעת פונקציית ההתפלגות האמפירית

הגדרה 1

כל ערך של $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) נקרא וריאנט.

אחת ההערכות של פונקציית ההתפלגות התיאורטית היא פונקציית ההתפלגות האמפירית.

הגדרה 3

פונקציית ההתפלגות האמפירית $F_n(x)$ היא הפונקציה שקובעת עבור כל ערך $x$ את התדירות היחסית של האירוע $X \

כאשר $n_x$ הוא מספר האפשרויות הקטן מ-$x$, $n$ הוא גודל המדגם.

ההבדל בין פונקציה אמפירית לפונקציה תיאורטית הוא שהפונקציה התיאורטית קובעת את ההסתברות לאירוע $X

תכונות של פונקציית ההתפלגות האמפירית

הבה נבחן כעת מספר מאפיינים בסיסיים של פונקציית ההתפלגות.

טווח פונקציות $F_n\left(x\right)$ -- קטע קו $$.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה שאינה יורדת.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה רציפה שמאלית.

$F_n\left(x\right)$ היא פונקציה קבועה חלקית ועולה רק בנקודות של ערכים של המשתנה האקראי $X$

הבה נציג משפט המחבר בין הפונקציות התיאורטיות והאמפיריות.

משפט 1

\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

דוגמאות לבעיות למציאת פונקציית ההתפלגות האמפירית

דוגמה 1

תן להתפלגות המדגם את הנתונים הבאים, מתועדים באמצעות טבלה:

תמונה 1.

מצא את גודל המדגם, חבר פונקציית התפלגות אמפירית ותווה אותה.

גודל דוגמה: $n=5+10+15+20=50$.

לפי תכונה 5, יש לנו את זה עבור $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, ועבור $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

ערך $x

לפיכך, אנו מקבלים:

איור 2.

איור 3

דוגמה 2

חבר פונקציית התפלגות אמפירית של מדגם זה ובנה את הגרף שלו.

אנו כותבים את ערכי המדגם בסדר עולה ומחשבים את התדירות של כל ערך. נקבל את הטבלה הבאה:

איור 4

גודל דוגמה: $n=20$.

לפי תכונה 5, יש לנו את זה עבור $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, ועבור $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

ערך $x

לפיכך, אנו מקבלים:

איור 5

בואו נשרטט את ההתפלגות האמפירית:

איור 6

מקוריות: $92.12\%$.

ממוצע מדגם.

אפשר לחלץ מדגם בגודל n כדי לחקור את האוכלוסייה הכללית ביחס לתכונה הכמותית X.

ממוצע המדגם הוא הממוצע האריתמטי של תכונת המדגם.

שונה במדגם.

על מנת לצפות בפיזור של תכונה כמותית של ערכי מדגם סביב הערך הממוצע שלה, מוצג מאפיין סיכום - שונות המדגם.

שונות המדגם היא הממוצע האריתמטי של ריבועי הסטייה של הערכים הנצפים של תכונה מהערך הממוצע שלהם.

אם כל הערכים של תכונת המדגם שונים, אז

שונות מתוקנת.

השונות המדגם היא אומדן מוטה של השונות הכללית, כלומר. התוחלת המתמטית של השונות המדגם אינה שווה לשונות הכללית המשוערת, אלא שווה ל

כדי לתקן את שונות המדגם, מספיק להכפיל אותה בשבר

מקדם מתאם לדוגמהנמצא על פי הנוסחה

היכן סטיות התקן לדוגמה של ו.

מקדם המתאם המדגם מראה את ההידוק של הקשר הליניארי בין לבין: ככל שמתקרב לאחדות, כך הקשר הליניארי בין לבין חזק יותר.

23. מצולע של תדרים הוא קו שבור, שקטעיו מחברים את הנקודות. כדי לבנות מצולע של תדרים, על ציר abscissa, לבטל את האפשרויות, ועל ציר ordinate, את התדרים המתאימים ולחבר את הנקודות עם קטעי ישרים.

המצולע של התדרים היחסיים בנוי בצורה דומה, אלא שהתדרים היחסיים משורטטים על ציר ה-y.

היסטוגרמה של תדרים היא דמות מדורגת המורכבת ממלבנים, שבסיסיהם הם מרווחים חלקיים באורך h, והגבהים שווים ליחס. כדי לבנות היסטוגרמת תדר, משורטים מרווחים חלקיים על ציר ה-x, ומעליהם מצוירים קטעים במקביל לציר ה-X במרחק (גובה). השטח של המלבן ה-i שווה ל- סכום התדרים של הווריאציה של מרווח ה-i-o, לכן שטח ההיסטוגרמה של התדר שווה לסכום כל התדרים, כלומר. גודל המדגם.

פונקציית הפצה אמפירית

איפה n x- מספר ערכי מדגם קטן מ איקס; נ- גודל המדגם.

22בואו נגדיר את המושגים הבסיסיים של סטטיסטיקה מתמטית

.מושגי יסוד של סטטיסטיקה מתמטית. אוכלוסיה כללית ומדגם. סדרות וריאציות, סדרות סטטיסטיות. בחירה מקובצת. סדרות סטטיסטיות מקובצות. פוליגון תדירות. פונקציית הפצה לדוגמה והיסטוגרמה.

אוּכְלוֹסִיָה- כל מכלול האובייקטים הזמינים.

לִטעוֹם- קבוצה של אובייקטים שנבחרו באקראי מהאוכלוסייה הכללית.

רצף של אפשרויות הכתובות בסדר עולה נקרא וריאציותזה לצד זה, ורשימת האפשרויות והתדרים המתאימים או התדרים היחסיים שלהן - סדרות סטטיסטיות:תה נבחר מהאוכלוסייה הכללית.

מְצוּלָעתדרים נקראים קו שבור, שקטעיו מחברים את הנקודות.

היסטוגרמת תדרנקראת דמות מדורגת המורכבת ממלבנים, שבסיסיהם הם מרווחים חלקיים באורך h, והגבהים שווים ליחס.

פונקציית הפצה לדוגמה (אמפירית).לקרוא לפונקציה F*(איקס), הקובע עבור כל ערך איקסתדירות יחסית של האירוע איקס< x.

אם תכונה רציפה כלשהי נחקרת, אז סדרת הווריאציות עשויה להיות מורכבת מאוד מספר גדולמספרים. במקרה זה זה יותר נוח לשימוש מדגם מקובץ. כדי להשיג אותו, המרווח, המכיל את כל הערכים הנצפים של התכונה, מחולק למספר מרווחים חלקיים שווים באורך ח, ולאחר מכן מצא עבור כל מרווח חלקי n iהוא סכום התדרים של הווריאציה שנפלה לתוכו אנימרווח -ה.

20. אין להבין את חוק המספרים הגדולים כחוק כללי אחד הקשור למספרים גדולים. חוק המספרים הגדולים הוא שם כללי למספר משפטים, שממנו נובע שעם עלייה בלתי מוגבלת במספר הניסיונות, הערכים הממוצעים נוטים לכמה קבועים.

אלה כוללים את משפטי צ'בישב וברנולי. משפט צ'בישב הוא החוק הכללי ביותר של המספרים הגדולים.

הבסיס להוכחת המשפטים, המאוחדת במונח "חוק המספרים הגדולים", הוא אי השוויון של צ'בישב, המבסס את ההסתברות לסטייה מהציפיות המתמטיות שלו:

19 התפלגות פירסון (צ'י ריבוע) - התפלגות של משתנה מקרי

שבו משתנים אקראיים X 1 , X 2 ,…, X nהם עצמאיים ובעלי אותה התפלגות נ(0.1). במקרה זה, מספר המונחים, כלומר. נ, נקרא "מספר דרגות החופש" של התפלגות ה-chi-squad.

התפלגות ה-chi-square משמשת בהערכת השונות (באמצעות רווח סמך), בבדיקת השערות של הסכמה, הומוגניות, עצמאות,

הפצה טתלמיד הוא התפלגות של משתנה מקרי

שבו משתנים אקראיים Uו איקסעצמאי, Uיש התפלגות נורמלית סטנדרטית נ(0,1) ו איקס– חלוקה צ'י – ריבוע עם נדרגות חופש. איפה ננקרא "מספר דרגות החופש" של התפלגות התלמיד.

הוא משמש בעת הערכת הציפייה המתמטית, הערך החזוי ומאפיינים אחרים באמצעות רווחי סמך, לבדיקת השערות לגבי ערכי הציפיות המתמטיות, מקדמי תלות רגרסיה,

התפלגות פישר היא התפלגות של משתנה מקרי

התפלגות פישר משמשת לבדיקת השערות לגבי הלימות המודל בניתוח רגרסיה, לגבי שוויון השונות ובבעיות אחרות של סטטיסטיקה יישומית.

18רגרסיה לינאריתהוא כלי סטטיסטי המשמש לניבוי מחירים עתידיים מנתוני העבר ומשמש בדרך כלל כדי לקבוע מתי המחירים מתחממים יתר על המידה. שיטת הריבועים הקטנים ביותר משמשת כדי לצייר את הקו הישר "ההתאמה הטובה ביותר" דרך סדרה של נקודות ערך מחיר. נקודות המחיר המשמשות כקלט יכולות להיות כל אחת מהאפשרויות הבאות: פתוח, סגור, גבוה, נמוך,

17. משתנה מקרי דו-ממדי הוא קבוצה מסודרת של שני משתנים אקראיים או .

דוגמה: זורקים שתי קוביות. - מספר הנקודות שהוטלו על הקובייה הראשונה והשנייה, בהתאמה

דרך אוניברסלית לציין את חוק ההתפלגות של משתנה אקראי דו-ממדי היא פונקציית ההתפלגות.

15.m.o משתנים אקראיים דיסקרטיים

נכסים:

1) M(ג) = ג, ג- קבוע;

2) M(CX) = ס"מ(איקס);

3) M(x1 + x2) = M(x1) + M(x2), איפה x1, x2- משתנים אקראיים בלתי תלויים;

4) M(x 1 x 2) = M(x1)M(x2).

התוחלת המתמטית של סכום המשתנים האקראיים שווה לסכום הציפיות המתמטיות שלהם, כלומר.

התוחלת המתמטית להפרש של משתנים אקראיים שווה להפרש הציפיות המתמטיות שלהם, כלומר.

התוחלת המתמטית של המכפלה של משתנים אקראיים שווה למכפלת הציפיות המתמטיות שלהם, כלומר.

אם כל הערכים של משתנה מקרי מוגדלים (מורידים) באותו מספר C, אזי התוחלת המתמטית שלו תגדל (תפחת) באותו מספר

14. אקספוננציאלי(אקספוננציאלי)חוק ההפצה איקסיש חוק התפלגות אקספוננציאלי (מעריכי) עם פרמטר λ >0 אם צפיפות ההסתברות שלו היא בצורה:

ערך צפוי: .

פיזור: .

חוק ההפצה האקספוננציאלית ממלא תפקיד חשוב בתורת התורים ובתורת המהימנות.

13. חוק ההתפלגות הנורמלית מאופיין בשיעור כשל a (t) או צפיפות הסתברות כישלון f (t) של הצורה:

, (5.36)

כאשר σ היא סטיית התקן של SW איקס;

M איקס- ציפייה מתמטית של CB איקס. פרמטר זה מכונה לעתים קרובות מרכז הפיזור או הערך הסביר ביותר של ה-SW. איקס.

איקס- משתנה אקראי, שניתן לקחת אותו כזמן, ערך זרם, ערך מתח חשמלי וטיעונים אחרים.

החוק הרגיל הוא חוק שני פרמטרים, שעבורו צריך לדעת את מ איקסו- σ.

ההתפלגות הנורמלית (התפלגות גאוסית) משמשת להערכת המהימנות של מוצרים המושפעים ממספר גורמים אקראיים, שלכל אחד מהם יש השפעה מועטה על ההשפעה המתקבלת.

12. חוק הפצה אחיד. משתנה מקרי מתמשך איקסיש חוק הפצה אחיד על הפלח [ א, ב], אם צפיפות ההסתברות שלו קבועה בקטע זה ושווה לאפס מחוצה לו, כלומר.

ייעוד: .

ערך צפוי: .

פיזור: .

ערך אקראי איקס, מופץ באופן אחיד על קטע נקרא מספר אקראימ-0 ל-1. הוא משמש כחומר המקור להשגת משתנים אקראיים עם כל חוק הפצה. חוק ההתפלגות האחיד משמש בניתוח טעויות עיגול בחישובים מספריים, בסדרה של בעיות תור, במודל סטטיסטי של תצפיות בכפוף להתפלגות נתונה.

11. הַגדָרָה.צפיפות הפצההסתברויות של משתנה אקראי רציף X נקראת פונקציה f(x)היא הנגזרת הראשונה של פונקציית ההתפלגות F(x).

צפיפות הפצה נקראת גם פונקציה דיפרנציאלית. כדי לתאר משתנה אקראי בדיד, צפיפות ההתפלגות אינה מקובלת.

המשמעות של צפיפות ההתפלגות היא שהיא מראה באיזו תדירות מופיע משתנה אקראי X בשכונה כלשהי של הנקודה איקסכאשר חוזרים על ניסויים.

לאחר הצגת פונקציות ההתפלגות וצפיפות ההתפלגות, נוכל לתת את ההגדרה הבאה של משתנה אקראי רציף.

10. צפיפות הסתברות, צפיפות התפלגות ההסתברות של משתנה אקראי x, היא פונקציה p(x) כך ש

ולכל א< b вероятность события a < x < b равна
.

אם p(x) הוא רציף, אז עבור ∆x קטן מספיק ההסתברות לאי השוויון x< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями

ואם F(x) ניתן להבדיל, אז