V tejto lekcii uvedieme presnú definíciu monomiálu a pozrieme sa na rôzne príklady z učebnice. Pripomeňme si pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakými základmi. Definujme štandardný tvar jednočlena, koeficient jednočlenu a jeho písmenovú časť. Uvažujme o dvoch hlavných typických operáciách na monomiáliách, a to o redukcii na štandardný tvar a o výpočte konkrétnej číselnej hodnoty monomiálu pre dané hodnoty doslovných premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Sformulujme pravidlo na redukciu monomiálu na štandardný tvar. Poďme sa naučiť, ako riešiť štandardné problémy s akýmikoľvek monomámi.
Predmet:Monomiály. Aritmetické operácie s jednočlenmi
lekcia:Koncept monomiálu. Štandardná forma monomiálu
Zvážte niekoľko príkladov:
3. 
;
Nájdite spoločné znaky pre dané výrazy. Vo všetkých troch prípadoch je výraz súčinom čísel a premenných umocnených na mocninu. Na základe toho dávame definícia monomiálu : Monomial je algebraický výraz, ktorý pozostáva zo súčinu mocnín a čísel.
Teraz uvádzame príklady výrazov, ktoré nie sú jednočlenné:
Nájdime rozdiel medzi týmito výrazmi a predchádzajúcimi. Spočíva v tom, že v príkladoch 4-7 sú operácie sčítania, odčítania alebo delenia, kým v príkladoch 1-3, ktoré sú jednočlenné, tieto operácie nie sú.
Tu je niekoľko ďalších príkladov:
Výraz číslo 8 je jednočlenný, pretože je súčinom mocniny a čísla, zatiaľ čo príklad 9 nie je jednočlenný.
Teraz to poďme zistiť akcie na monomály .
1. Zjednodušenie. Pozrime sa na príklad č.3 ;a príklad č. 2 /
V druhom príklade vidíme iba jeden koeficient - , každá premenná sa vyskytuje iba raz, teda premenná " A"" je reprezentované v jednej kópii ako "", podobne premenné "" a "" sa vyskytujú iba raz.
V príklade č. 3 sú naopak dva rôzne koeficienty - a , premennú „“ vidíme dvakrát - ako „“ a ako „“, podobne premenná „“ sa vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by sa mal zjednodušiť, čím sme sa dostali prvou akciou vykonanou na monomiách je zredukovanie monomiálu na štandardnú formu . Aby sme to dosiahli, zredukujeme výraz z príkladu 3 na štandardný tvar, potom zadefinujeme túto operáciu a naučíme sa, ako zredukovať ľubovoľný monomický tvar na štandardný tvar.
Takže zvážte príklad:
Prvým krokom v operácii redukcie na štandardný tvar je vždy vynásobenie všetkých číselných faktorov:
;
Výsledok tejto akcie bude vyvolaný koeficient monomiálu .
Ďalej musíte znásobiť sily. Vynásobme mocniny premennej " X„podľa pravidla pre násobenie mocnín s rovnakými základmi, ktoré hovorí, že pri násobení sa exponenty sčítajú:
Teraz znásobme sily" pri»:
;
Takže tu je zjednodušený výraz:
;
Akýkoľvek monomiál môže byť zredukovaný na štandardnú formu. Poďme formulovať štandardizačné pravidlo :
Vynásobte všetky číselné faktory;
Výsledný koeficient umiestnite na prvé miesto;
Vynásobte všetky stupne, to znamená, že získate časť písmena;
To znamená, že akýkoľvek monomiál je charakterizovaný koeficientom a písmenom. Pri pohľade do budúcnosti si všimneme, že monomály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné.
Teraz musíme cvičiť technika na redukciu monomilov na štandardnú formu . Zvážte príklady z učebnice:
Zadanie: uveďte jednohlas do štandardnej podoby, pomenujte koeficient a písmenovú časť.
Na splnenie úlohy použijeme pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardný tvar a vlastnosti mocnín.
1. 
;
3. 
;
Komentáre k prvému príkladu: Najprv zistime, či je tento výraz skutočne jednočlenný, skontrolujme, či obsahuje operácie násobenia čísel a mocnín a či obsahuje operácie sčítania, odčítania alebo delenia. Môžeme povedať, že tento výraz je jednočlenný, pretože vyššie uvedená podmienka je splnená. Ďalej, podľa pravidla pre redukciu monomiálu na štandardnú formu, vynásobíme číselné faktory:
- zistili sme koeficient daného monomiálu;
; ; ; to znamená, že sa získa doslovná časť výrazu:;
Zapíšme si odpoveď: ;
Komentáre k druhému príkladu: Podľa pravidla, ktoré vykonávame:
1) vynásobte číselné faktory:
2) vynásobte mocniny:
Premenné sú prezentované v jednej kópii, to znamená, že sa nedajú ničím násobiť, prepisujú sa bez zmien, stupeň sa násobí:
Zapíšme si odpoveď:
;
V tomto príklade je koeficient monomiálu rovný jednej a časť písmena je .
Komentáre k tretiemu príkladu: a Podobne ako v predchádzajúcich príkladoch vykonávame nasledujúce akcie:
1) vynásobte číselné faktory:
;
2) vynásobte mocniny:
;
Zapíšme si odpoveď: ;
V tomto prípade je koeficient monomiálu „“ a časť písmena 
.
Teraz uvažujme druhá štandardná operácia na monomiáliách . Keďže monomický výraz je algebraický výraz pozostávajúci z doslovných premenných, ktoré môžu nadobúdať špecifické číselné hodnoty, máme aritmetický číselný výraz, ktorý treba vyhodnotiť. To znamená, že ďalšia operácia s polynómami je výpočet ich konkrétnej číselnej hodnoty .
Pozrime sa na príklad. Monomálne dané:
tento jednočlen už bol zredukovaný na štandardnú formu, jeho koeficient sa rovná jednej a písmenová časť
Predtým sme povedali, že algebraický výraz nemožno vždy vypočítať, to znamená, že premenné, ktoré sú v ňom zahrnuté, nemôžu nadobudnúť žiadnu hodnotu. V prípade monočlenu môžu byť premenné, ktoré sú v ňom zahrnuté, akékoľvek, toto je vlastnosť monočlenu.
Takže v uvedenom príklade musíte vypočítať hodnotu monomiálu pri , , , .
Základné informácie o monomických znakoch obsahujú vysvetlenie, že každý monomizmus je možné zredukovať na štandardnú formu. V nižšie uvedenom materiáli sa na túto problematiku pozrieme podrobnejšie: načrtneme význam tejto akcie, zadefinujeme kroky, ktoré nám umožňujú nastaviť štandardnú formu monomiálu, a tiež upevníme teóriu riešením príkladov.
Význam redukcie monomiálu na štandardnú formu
Písanie monomiálu v štandardnej forme uľahčuje prácu s ním. Monomály sú často špecifikované v neštandardnej forme a potom je potrebné vykonať identické transformácie, aby sa daný monomál dostal do štandardnej formy.
Definícia 1
Redukcia monomiálu na štandardnú formu je vykonávanie príslušných akcií (identických transformácií) s jednočlenom s cieľom zapísať ho v štandardnom tvare.
Spôsob redukcie monomilu na štandardnú formu
Z definície vyplýva, že monomiál neštandardného tvaru je súčinom čísel, premenných a ich mocnín a je možné ich opakovanie. Monomial štandardného tvaru zase obsahuje vo svojom zápise iba jedno číslo a neopakujúce sa premenné alebo ich mocniny.
Ak chcete preniesť neštandardný monomiál do štandardnej formy, musíte použiť nasledujúce pravidlo pre redukciu monomiálu na štandardnú formu:
- prvým krokom je zoskupiť číselné faktory, identické premenné a ich mocniny;
- druhým krokom je výpočet súčinov čísel a uplatnenie vlastnosti mocnín s rovnakými základmi.
Príklady a ich riešenia
Príklad 1Daný monomiál 3 x 2 x 2 . Je potrebné ho uviesť do štandardného formulára.
Riešenie
Zoskupujme číselné faktory a faktory s premennou x, výsledkom čoho bude daný monomiál v tvare: (3 2) (x x 2) .
Produkt v zátvorkách je 6. Použitím pravidla násobenia mocnín s rovnakými základmi uvádzame výraz v zátvorkách ako: x 1 + 2 = x 3. V dôsledku toho získame monomiál štandardného tvaru: 6 x 3.
Skrátená verzia riešenia vyzerá takto: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
odpoveď: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Príklad 2
Monomial je daný: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Je potrebné uviesť ho do štandardného formulára a uviesť jeho koeficient.
Riešenie
daný jednočlen má v zápise jeden číselný činiteľ: - 1, presuňme ho na začiatok. Potom zoskupíme faktory s premennou a a faktory s premennou b. Premennú m nie je s čím zoskupiť, preto ju necháme v pôvodnej podobe. V dôsledku vyššie uvedených akcií dostaneme: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Urobme operácie s mocninami v zátvorkách, potom bude mať jednočlen štandardný tvar: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Z tohto vstupu môžeme ľahko určiť koeficient monomiálu: rovná sa - 1. Mínus jedna je celkom možné jednoducho nahradiť znamienkom mínus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Krátky záznam všetkých akcií vyzerá takto:
a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m
odpoveď:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, koeficient daného monomiálu je -1.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
ja Výrazy, ktoré sa skladajú z čísel, premenných a ich mocničiek pomocou akcie násobenia, sa nazývajú jednočleny.
Príklady monomilov:
A) a; b) ab; V) 12; G)-3c; d) 2a2°(-3,5b)3; e)-123,45xy 5 z; a) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
II. Tento typ monomiálu, kedy je na prvom mieste číselný faktor (koeficient) a za ním premenné so svojimi mocnosťami, sa nazýva štandardný typ monomilu.
Teda monomiály uvedené vyššie, pod písmenami a B C), G) A e) napísané v štandardnej forme a monomály pod písmenami d) A a) je potrebné uviesť ho do štandardného tvaru, t. j. do tvaru, v ktorom je na prvom mieste číselný faktor, za ním nasledujú písmenové faktory s ich exponentmi a písmenové faktory sú v abecednom poradí. Predstavme si monomiály d) A a) na štandardný pohľad.
d) 2a 2 ∙ (-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a2b3;
a) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a3c3.
III.Súčet exponentov všetkých premenných zahrnutých v jednočlene sa nazýva stupeň jednočlena.
Príklady. Aký stupeň majú monomiály? a) - g)?
a) a. Najprv;
b) ab. Po druhé: A na prvom stupni a b na prvú mocninu - súčet ukazovateľov 1+1=2 ;
V) 12. Nula, pretože neexistujú žiadne písmenové faktory;
G) -3c. Najprv;
d) -85,75a2b3. Po piate. Tento monomiál sme zredukovali na štandardnú formu, máme A do druhého stupňa a b v treťom. Sčítajme ukazovatele: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Siedmy. Spočítali sme exponenty faktorov písmen: 1+5+1=7 ;
a) -60a3c3. Po šieste, keďže súčet exponentov písmenových faktorov 3+3=6 .
IV. Monomiály, ktoré majú rovnakú časť písmena, sa nazývajú podobné monomály.
Príklad. Označte medzi danými jednočlenmi podobné jednočleny 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 pred Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 r.
Predstavme si monomály 1), 4) A 5) na štandardný pohľad. Potom bude riadok monomiálnych údajov vyzerať takto:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 pred Kr.; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 pred Kristom; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 r.
Podobné budú tie, ktoré majú rovnakú písmenkovú časť, t.j. 1) a 3); 2) a 4); 5) a 6).
1) 3a 2 b 2 c a 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4,1a 3 pnl a 4) 98,7a 3 pred Kristom;
5) 10a 4 x a 6) -2,3a 4 x.