Stanovenie empirickej distribučnej funkcie
Nech $ X $ je náhodná premenná. $ F (x) $ - distribučná funkcia danej náhodnej premennej. Uskutočníme $ n $ experimentov na danej náhodnej premennej za rovnakých nezávislých podmienok. V tomto prípade dostaneme postupnosť hodnôt $ x_1, \ x_2 \ $, ..., $ \ x_n $, ktorá sa nazýva výber.
Definícia 1
Každá hodnota $ x_i $ ($ i = 1,2 \ $, ..., $ \ n $) sa nazýva variant.
Jedným z odhadov teoretickej distribučnej funkcie je empirická distribučná funkcia.
Definícia 3
Empirická distribučná funkcia $ F_n (x) $ je funkcia, ktorá pre každú hodnotu $ x $ určuje relatívnu frekvenciu udalosti $ X \
kde $ n_x $ je počet možností menší ako $ x $, $ n $ je veľkosť vzorky.
Rozdiel medzi empirickou funkciou a teoretickou je v tom, že teoretická funkcia určuje pravdepodobnosť udalosti $ X
Vlastnosti empirickej distribučnej funkcie
Uvažujme teraz o niekoľkých základných vlastnostiach distribučnej funkcie.
Rozsah hodnôt funkcie $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je segment $$.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ neklesajúca funkcia.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je ľavá spojitá funkcia.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je po častiach konštantná funkcia a zvyšuje sa iba v bodoch hodnôt náhodnej premennej $ X $
Nech je $ X_1 $ najmenšia a $ X_n $ najväčšia možnosť. Potom $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ pre $ (x \ le X) _1 $ a $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $ pre $ x \ ge X_n $.
Uveďme vetu, ktorá spája teoretické a empirické funkcie.
Veta 1
Nech $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je empirická distribučná funkcia a $ F \ vľavo (x \ vpravo) $ je teoretická distribučná funkcia všeobecnej vzorky. Potom platí rovnosť:
\ [(\ mathop (lim) _ (n \ až \ infty) (| F) _n \ vľavo (x \ vpravo) -F \ vľavo (x \ vpravo) | = 0 \) \]
Príklady úloh na nájdenie empirickej distribučnej funkcie
Príklad 1
Nech má distribúcia vzorky zaznamenať nasledujúce údaje pomocou tabuľky:
Obrázok 1.
Nájdite veľkosť vzorky, zostavte empirickú distribučnú funkciu a vykreslite ju.
Veľkosť vzorky: n = 5 + 10 + 15 + 20 = 50 USD.
Podľa vlastnosti 5 máme, že pre $ x \ le 1 $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ a pre $ x> 4 $ $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $.
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Tak dostaneme:
Obrázok 2
Obrázok 3.
Príklad 2
Z miest centrálnej časti Ruska bolo náhodne vybraných 20 miest, pre ktoré boli získané tieto údaje o nákladoch na cestovanie vo verejnej doprave: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12 , 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Zostavte empirickú distribučnú funkciu pre danú vzorku a vytvorte jej graf.
Napíšme vzorové hodnoty vo vzostupnom poradí a vypočítajme frekvenciu každej hodnoty. Dostaneme nasledujúcu tabuľku:
Obrázok 4.
Veľkosť vzorky: $ n = $ 20.
Podľa vlastnosti 5 máme, že pre $ x \ le 12 $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ a pre $ x> 15 $ $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $.
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Tak dostaneme:
Obrázok 5.
Zostavme si empirickú distribúciu:
Obrázok 6.
Originalita: 92,12 $ \% $.
Prednáška 13. Pojem štatistických odhadov náhodných premenných
Nech je známe štatistické rozdelenie početností kvantitatívneho atribútu X. Označme počtom pozorovaní, pri ktorých je pozorovaná hodnota atribútu menšia ako x, a n - celkovým počtom pozorovaní. Je zrejmé, že relatívna frekvencia udalosti X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.
Empirická distribučná funkcia(distribučná funkcia vzorky) je funkcia, ktorá pre každú hodnotu x určuje relatívnu frekvenciu udalosti X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.
Na rozdiel od empirickej distribučnej funkcie vzorky sa distribučná funkcia všeobecnej populácie nazýva teoretická distribučná funkcia. Rozdiel medzi týmito funkciami je v tom, že teoretická funkcia definuje pravdepodobnosť udalosti X< x, тогда как эмпирическая – relatívna frekvencia tej istej udalosti.
Ako n rastie, relatívna frekvencia udalosti X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами
Vlastnosti empirickej distribučnej funkcie:
1) Hodnoty empirickej funkcie patria do segmentu
2) - neklesajúca funkcia
3) Ak je najmenšia možnosť, potom = 0 pre, ak je najväčšia možnosť, potom = 1 pre.
Empirická distribučná funkcia vzorky sa používa na odhad teoretickej distribučnej funkcie všeobecnej populácie.
Príklad... Zostrojme empirickú funkciu pre rozdelenie vzorky:
| Varianty | |||
| Frekvencie |
Nájdite veľkosť vzorky: 12 + 18 + 30 = 60. Najmenšia možnosť je 2, teda = 0 pre x £ 2. Hodnota x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Požadovaná empirická funkcia má teda tvar:
Najdôležitejšie vlastnostištatistické hodnotenia
Nech sa vyžaduje študovať nejaký kvantitatívny znak bežnej populácie. Predpokladajme, že z teoretických úvah bolo možné stanoviť ktorý rozdelenie má charakteristiku a je potrebné vyhodnotiť parametre, ktorými sa určuje. Napríklad, ak je študovaný znak normálne distribuovaný vo všeobecnej populácii, potom musíte odhadnúť matematické očakávanie a štandardnú odchýlku; ak má prvok Poissonovo rozdelenie, potom je potrebné odhadnúť parameter l.
Zvyčajne sú k dispozícii iba vzorové údaje, napríklad hodnoty kvantitatívnej charakteristiky získané ako výsledok n nezávislých pozorovaní. Ak vezmeme do úvahy nezávislé náhodné premenné, môžeme to povedať nájsť štatistický odhad neznámeho parametra teoretického rozdelenia znamená nájsť funkciu pozorovaných náhodných veličín, ktorá dáva približnú hodnotu odhadovaného parametra. Napríklad na odhadnutie matematického očakávania normálneho rozdelenia zohráva úlohu funkcie aritmetický priemer
Aby štatistické odhady poskytovali správne aproximácie odhadovaných parametrov, musia spĺňať určité požiadavky, z ktorých najdôležitejšie sú požiadavky nezaujatosť a konzistencia odhady.
Nech je štatistický odhad neznámeho parametra teoretického rozdelenia. Nech sa nájde odhad pre vzorku veľkosti n. Zopakujme si skúsenosť, t.j. extrahujeme z bežnej populácie inú vzorku rovnakej veľkosti a z jej údajov získame iný odhad. Opakovaním experimentu mnohokrát dostaneme rôzne čísla. Skóre možno považovať za náhodnú premennú a čísla za jej možné hodnoty.
Ak odhad udáva približnú hodnotu v hojnosti, t.j. každé číslo je väčšie ako skutočná hodnota, v dôsledku toho je matematické očakávanie (stredná hodnota) náhodnej premennej väčšie ako:. Podobne, ak dáva odhad s nevýhodou, potom .
Použitie štatistického odhadu, ktorého matematické očakávanie sa nerovná odhadovanému parametru, by teda viedlo k systematickým (jednociferným) chybám. Ak je to naopak, zaručuje to proti systematickým chybám.
Nezaujatý sa nazýva štatistický odhad, ktorého matematické očakávanie sa rovná odhadovanému parametru pre akúkoľvek veľkosť vzorky.
Premiestnený je odhad, ktorý nespĺňa túto podmienku.
Nezaujatosť odhadu ešte nezaručuje, že sa získa dobrá aproximácia odhadovaného parametra, pretože možné hodnoty môžu byť veľmi rozptýlené okolo svojho priemeru, t.j. rozptyl môže byť významný. V tomto prípade sa odhad zistený napríklad z údajov jednej vzorky môže ukázať ako výrazne vzdialený od strednej hodnoty, a teda od samotného odhadovaného parametra.
Efektívne je štatistický odhad, ktorý má pre danú veľkosť vzorky n najmenší možný rozptyl .
Pri zvažovaní vzoriek veľkých rozmerov sa požiadavka kladie na štatistické odhady konzistencia .
Bohatí je štatistický odhad, ktorý pre n® ¥ pravdepodobne smeruje k odhadovanému parametru. Napríklad, ak má rozptyl nezaujatého odhadu tendenciu k nule ako n® ¥, potom je tento odhad tiež konzistentný.
Stanovenie empirickej distribučnej funkcie
Nech $ X $ je náhodná premenná. $ F (x) $ - distribučná funkcia danej náhodnej premennej. Uskutočníme $ n $ experimentov na danej náhodnej premennej za rovnakých nezávislých podmienok. V tomto prípade dostaneme postupnosť hodnôt $ x_1, \ x_2 \ $, ..., $ \ x_n $, ktorá sa nazýva výber.
Definícia 1
Každá hodnota $ x_i $ ($ i = 1,2 \ $, ..., $ \ n $) sa nazýva variant.
Jedným z odhadov teoretickej distribučnej funkcie je empirická distribučná funkcia.
Definícia 3
Empirická distribučná funkcia $ F_n (x) $ je funkcia, ktorá pre každú hodnotu $ x $ určuje relatívnu frekvenciu udalosti $ X \
kde $ n_x $ je počet možností menší ako $ x $, $ n $ je veľkosť vzorky.
Rozdiel medzi empirickou funkciou a teoretickou je v tom, že teoretická funkcia určuje pravdepodobnosť udalosti $ X
Vlastnosti empirickej distribučnej funkcie
Uvažujme teraz o niekoľkých základných vlastnostiach distribučnej funkcie.
Rozsah hodnôt funkcie $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ - oddiele $$.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ neklesajúca funkcia.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je ľavá spojitá funkcia.
$ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je po častiach konštantná funkcia a zvyšuje sa iba v bodoch hodnôt náhodnej premennej $ X $
Nech je $ X_1 $ najmenšia a $ X_n $ najväčšia možnosť. Potom $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ pre $ (x \ le X) _1 $ a $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $ pre $ x \ ge X_n $.
Uveďme vetu, ktorá spája teoretické a empirické funkcie.
Veta 1
Nech $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) $ je empirická distribučná funkcia a $ F \ vľavo (x \ vpravo) $ je teoretická distribučná funkcia všeobecnej vzorky. Potom platí rovnosť:
\ [(\ mathop (lim) _ (n \ až \ infty) (| F) _n \ vľavo (x \ vpravo) -F \ vľavo (x \ vpravo) | = 0 \) \]
Príklady úloh na nájdenie empirickej distribučnej funkcie
Príklad 1
Nech má distribúcia vzorky zaznamenať nasledujúce údaje pomocou tabuľky:
Obrázok 1.
Nájdite veľkosť vzorky, zostavte empirickú distribučnú funkciu a vykreslite ju.
Veľkosť vzorky: n = 5 + 10 + 15 + 20 = 50 USD.
Podľa vlastnosti 5 máme, že pre $ x \ le 1 $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ a pre $ x> 4 $ $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $.
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Tak dostaneme:
Obrázok 2
Obrázok 3.
Príklad 2
Z miest centrálnej časti Ruska bolo náhodne vybraných 20 miest, pre ktoré boli získané tieto údaje o nákladoch na cestovanie vo verejnej doprave: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12 , 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Zostavte empirickú distribučnú funkciu pre danú vzorku a vytvorte jej graf.
Napíšme vzorové hodnoty vo vzostupnom poradí a vypočítajme frekvenciu každej hodnoty. Dostaneme nasledujúcu tabuľku:
Obrázok 4.
Veľkosť vzorky: $ n = $ 20.
Podľa vlastnosti 5 máme, že pre $ x \ le 12 $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 0 $ a pre $ x> 15 $ $ F_n \ vľavo (x \ vpravo) = 1 $.
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Hodnota $ x
Tak dostaneme:
Obrázok 5.
Zostavme si empirickú distribúciu:
Obrázok 6.
Originalita: 92,12 $ \% $.
Priemer vzorky.
Nech sa vyberie vzorka objemu n na štúdium všeobecnej populácie s ohľadom na kvantitatívny atribút X.
Výberový priemer sa nazýva aritmetický priemer atribútu výberového súboru.
Ukážkový rozptyl.
Aby bolo možné pozorovať rozptyl kvantitatívnej charakteristiky hodnôt vzorky okolo jej strednej hodnoty, zavádza sa súhrnná charakteristika - rozptyl vzorky.
Selektívny rozptyl je aritmetický priemer druhých mocnín odchýlky pozorovaných hodnôt znaku od ich priemeru.
Ak sú všetky hodnoty charakteristiky výberu odlišné, potom
Opravený rozptyl.
Vzorový rozptyl je skreslený odhad všeobecného rozptylu, t.j. matematické očakávanie rozptylu vzorky sa nerovná odhadovanému všeobecnému rozptylu, ale je
Na opravu rozptylu vzorky ho stačí vynásobiť zlomkom
Selektívny korelačný koeficient sa zistí podľa vzorca
kde sú vzorové smerodajné odchýlky hodnôt a.
Vzorový korelačný koeficient ukazuje blízkosť lineárneho vzťahu medzi a: čím je bližšie k jednej, tým silnejší je lineárny vzťah medzi a.
23. Mnohouholník frekvencií je lomená čiara, ktorej segmenty spájajú body. Na vytvorenie mnohouholníka frekvencií sa možnosti položia na vodorovnú os a im zodpovedajúce frekvencie sa položia na zvislú os a body sa spoja s úsečkami.
Mnohouholník relatívnych frekvencií je konštruovaný rovnakým spôsobom, s výnimkou toho, že relatívne frekvencie sú vynesené na y y.
Frekvenčný histogram je stupňovitý útvar pozostávajúci z obdĺžnikov, ktorých základňami sú čiastkové intervaly dĺžky h a výšky sa rovnajú pomeru. Na zostavenie histogramu frekvencií na vodorovnej osi sa vynesú čiastkové intervaly a nad nimi sa v určitej vzdialenosti (výške) nakreslia segmenty rovnobežne s osou vodorovnej čiary. Plocha i-tého obdĺžnika sa rovná súčtu frekvencií, variant intervalu i-o, preto sa plocha histogramu frekvencií rovná súčtu všetkých frekvencií, t.j. veľkosť vzorky.
Empirická distribučná funkcia
kde n x- počet vzorkovaných hodnôt menší ako X; n- veľkosť vzorky.
22 Definujme si základné pojmy matematickej štatistiky
.Základné pojmy matematickej štatistiky. Všeobecná populácia a vzorka. Variačné rady, štatistické rady. Skupinová vzorka. Skupinové štatistické rady. Mnohouholník frekvencií. Funkcia rozdelenia vzorky a histogram.
Všeobecná populácia- celý súbor dostupných objektov.
Ukážka- súbor predmetov náhodne vybraných z bežnej populácie.
Volá sa postupnosť variantov zapísaná vo vzostupnom poradí variačnýďalej a zoznam možností a ich zodpovedajúce frekvencie alebo relatívne frekvencie - štatistický rad: čaj vybraný z bežnej populácie.
Polygón frekvencie sa nazývajú prerušovaná čiara, ktorej segmenty spájajú body.
Histogram frekvencie sa nazýva stupňovitý útvar pozostávajúci z obdĺžnikov, ktorých základňami sú čiastkové intervaly dĺžky h a výšky sa rovnajú pomeru.
Vzorková (empirická) distribučná funkcia zavolajte funkciu F *(X), ktorý určuje pre každú hodnotu X relatívna frekvencia udalosti X< x.
Ak sa skúma nejaký súvislý znak, potom variačný rad môže pozostávať z veľmi Vysoké čísločísla. V tomto prípade je pohodlnejšie použiť súhrnná vzorka... Na jeho získanie je interval, v ktorom sú uzavreté všetky pozorované hodnoty prvku, rozdelený na niekoľko rovnakých čiastkových intervalov dĺžky h a potom nájdite pre každý čiastočný interval n i- súčet frekvencií variantu, do ktorého spadal i interval.
20. Zákon veľkých čísel by sa nemal chápať ako jeden všeobecný zákon spojený s veľkými číslami. Zákon veľkých čísel je zovšeobecnený názov pre niekoľko teorémov, z ktorých vyplýva, že pri neobmedzenom zvyšovaní počtu pokusov majú priemerné hodnoty tendenciu k určitým konštantám.
Patria medzi ne vety Čebyševa a Bernoulliho. Čebyševova veta je najvšeobecnejší zákon veľkých čísel.
Dôkaz teorémov, zjednotených pojmom „zákon veľkých čísel“, je založený na Čebyševovej nerovnosti, podľa ktorej je stanovená pravdepodobnosť odchýlky od jeho matematického očakávania:
19 Pearsonovo rozdelenie (chi - square) - rozdelenie náhodnej premennej
kde sú náhodné premenné X 1, X 2, ..., X n nezávislé a majú rovnakú distribúciu N(0,1). Navyše počet termínov, t.j. n sa nazýva "počet stupňov voľnosti" rozdelenia chí-kvadrát.
Rozdelenie chí-kvadrát sa používa pri odhade rozptylu (pomocou intervalu spoľahlivosti), pri testovaní hypotéz zhody, homogenity, nezávislosti,
Distribúcia tŠtudentovo t je rozdelenie náhodnej premennej
kde sú náhodné premenné U a X nezávislý, U má štandardné normálne rozdelenie N(0,1) a X- rozdelenie chi - štvorcový s n stupne slobody. V čom n sa nazýva "počet stupňov voľnosti" študentského rozdelenia.
Používa sa pri hodnotení matematického očakávania, predpokladanej hodnoty a iných charakteristík pomocou intervalov spoľahlivosti, na testovanie hypotéz o hodnotách matematických očakávaní, regresných koeficientov,
Fisherovo rozdelenie je rozdelenie náhodnej premennej
Fisherovo rozdelenie sa používa na testovanie hypotéz o primeranosti modelu v regresnej analýze, o rovnosti rozptylov av iných problémoch aplikovanej štatistiky.
18Lineárna regresia je štatistický nástroj používaný na predpovedanie budúcich cien na základe údajov z minulosti a bežne sa používa na určenie, kedy sú ceny prehriate. Metóda najmenších štvorcov sa používa na vykreslenie „najlepšej“ priamky cez sériu cenových bodov. Cenové body použité ako vstup môžu byť ľubovoľné z nasledujúcich hodnôt: otvorené, zatvorené, vysoké, nízke,
17. Dvojrozmerná náhodná premenná je usporiadaná množina dvoch náhodných veličín resp.
Príklad: Hodia sa dve kocky. - počet bodov padnutých na prvej a druhej kocke
Univerzálnym spôsobom, ako definovať zákon rozdelenia dvojrozmernej náhodnej premennej, je distribučná funkcia.
15.m.o Diskrétne náhodné premenné
Vlastnosti:
1) M(C) = C, C- konštantný;
2) M(CX) = CM(X);
3) M(X 1 + X 2) = M(X 1) + M(X 2), kde X 1, X 2- nezávislé náhodné premenné;
4) M(X 1 X 2) = M(X 1)M(X 2).
Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní, t.j.
Matematické očakávanie rozdielu náhodných veličín sa rovná rozdielu ich matematických očakávaní, t.j.
Matematické očakávanie súčinu náhodných veličín sa rovná súčinu ich matematických očakávaní, t.j.
Ak sa všetky hodnoty náhodnej premennej zvýšia (znížia) o rovnaké číslo C, potom sa jej matematické očakávanie zvýši (zníži) o rovnaké číslo
14. Exponenciálny(exponenciálny)distribučný zákon X má exponenciálny (exponenciálny) zákon rozdelenia s parametrom λ> 0, ak má hustota pravdepodobnosti tvar:
Očakávaná hodnota: .
Disperzia:.
Zákon exponenciálneho rozdelenia hrá dôležitú úlohu v teórii radenia a teórii spoľahlivosti.
13. Zákon normálneho rozdelenia je charakterizovaný mierou porúch a (t) alebo hustotou pravdepodobnosti porúch f (t) v tvare:
, (5.36)
kde σ je štandardná odchýlka SV X;
m X- matematické očakávanie SV X... Tento parameter sa často označuje ako stred rozptylu alebo najpravdepodobnejšia hodnota MW. X.
X- náhodná veličina, ktorú možno brať ako čas, hodnotu prúdu, hodnotu elektrického napätia a iné argumenty.
Normálny zákon je dvojparametrový zákon, na ktorý treba poznať m X a σ.
Normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie) sa používa na posúdenie spoľahlivosti produktov, ktoré sú ovplyvnené množstvom náhodných faktorov, z ktorých každý nepodstatne ovplyvňuje výsledný efekt.
12. Zákon o jednotnej distribúcii... Spojitá náhodná premenná X má zákon o jednotnej distribúcii v segmente [ a, b] ak je jeho hustota pravdepodobnosti konštantná na tomto intervale a rovná sa nule mimo neho, tj.
Označenie:.
Očakávaná hodnota: .
Disperzia:.
Náhodná hodnota X rovnomerne rozložené na segmente sa nazýva náhodné číslo od 0 do 1. Slúži ako východiskový materiál pre získanie náhodných veličín s ľubovoľným distribučným zákonom. Zákon o rovnomernom rozdelení sa používa pri analýze zaokrúhľovacích chýb pri vykonávaní numerických výpočtov, pri mnohých problémoch radenia, pri štatistickom modelovaní pozorovaní podliehajúcich danému rozdeleniu.
11. Definícia. Hustota distribúcie pravdepodobností spojitej náhodnej premennej X sa nazýva funkcia f (x) Je prvou deriváciou distribučnej funkcie F (x).
Hustota distribúcie je tiež tzv diferenciálna funkcia... Pre popis diskrétnej náhodnej premennej je hustota distribúcie neprijateľná.
Význam hustoty distribúcie je, že ukazuje, ako často sa náhodná premenná X objavuje v niektorom okolí bodu X pri opakovaní experimentov.
Po predstavení distribučných funkcií a hustoty distribúcie môžeme uviesť nasledujúcu definíciu spojitej náhodnej premennej.
10. Hustota pravdepodobnosti, hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej x, je funkcia p (x) taká, že 
a pre akékoľvek a< b вероятность события a < x < b равна
.
Ak je p (x) spojité, potom pre dostatočne malé ∆x je pravdepodobnosť nerovnosti x< X < x+∆x приближенно равна p(x) ∆x (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения F(x) случайной величины x, связана с плотностью распределения соотношениями
a ak je F (x) diferencovateľné, potom 