שיעור "המושג של מונומיאל. צורה סטנדרטית של מונומיאל" פיתוח מתודולוגי באלגברה בנושא. הגדרה של מונומיאל: מושגים קשורים, דוגמאות כדי להביא מונומיאל לצורה סטנדרטית אתה צריך

בשיעור זה ניתן הגדרה קפדנית של מונומיאל ונתבונן בדוגמאות שונות מתוך ספר הלימוד. הבה נזכיר את הכללים להכפלת חזקה עם אותם בסיסים. הבה נגדיר את הצורה הסטנדרטית של מונומיאל, מקדם המונומיאל וחלק האותיות שלו. הבה ניקח בחשבון שתי פעולות טיפוסיות עיקריות על מונומיאלים, כלומר הפחתה לצורה סטנדרטית וחישוב של ערך מספרי ספציפי של מונומיאל עבור ערכים נתונים של המשתנים המילוליים הכלולים בו. הבה ננסח כלל להפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית. בואו ללמוד כיצד לפתור בעיות סטנדרטיות עם כל מונומיאל.

נושא:מונומים. פעולות אריתמטיות על מונומיאלים

שיעור:הרעיון של מונומיאל. צורה סטנדרטית של מונומיאל

שקול כמה דוגמאות:

3. ;

הבה נמצא תכונות משותפות לביטויים הנתונים. בכל שלושת המקרים, הביטוי הוא מכפלה של מספרים ומשתנים המועלים לחזקה. על סמך זה אנו נותנים הגדרה מונומית : מונומיאל הוא ביטוי אלגברי המורכב ממכפלה של חזקות ומספרים.

כעת אנו נותנים דוגמאות לביטויים שאינם מונומיאלים:

הבה נמצא את ההבדל בין ביטויים אלה לקודמים. היא מורכבת מכך שבדוגמאות 4-7 ישנן פעולות חיבור, חיסור או חלוקה, בעוד שבדוגמאות 1-3, שהן מונומיות, אין פעולות אלו.

הנה עוד כמה דוגמאות:

ביטוי מספר 8 הוא מונומיאל מכיוון שהוא מכפלה של חזקה ומספר, ואילו דוגמה 9 אינה מונומית.

עכשיו בואו נגלה פעולות על מונומיאלים .

1. פישוט. בואו נסתכל על דוגמה מס' 3 ;ודוגמה מס' 2 /

בדוגמה השנייה אנו רואים רק מקדם אחד - , כל משתנה מופיע רק פעם אחת, כלומר המשתנה " א" מיוצג בעותק בודד כ"", באופן דומה, המשתנים "" ו-"" מופיעים פעם אחת בלבד.

בדוגמה מס' 3, להיפך, ישנם שני מקדמים שונים - ו, אנו רואים את המשתנה "" פעמיים - כ"" וכ"", באופן דומה, המשתנה "" מופיע פעמיים. כלומר, יש לפשט את הביטוי הזה, וכך אנו מגיעים הפעולה הראשונה המבוצעת על מונומיאלים היא הפחתת המונומיאל לצורה סטנדרטית . לשם כך, נצמצם את הביטוי מדוגמה 3 לצורה סטנדרטית, לאחר מכן נגדיר את הפעולה הזו ונלמד כיצד לצמצם כל מונומיאל לצורה סטנדרטית.

אז, שקול דוגמה:

הפעולה הראשונה בפעולת ההפחתה לצורה סטנדרטית היא תמיד להכפיל את כל הגורמים המספריים:

;

התוצאה של פעולה זו תיקרא מקדם המונומיאל .

בשלב הבא אתה צריך להכפיל את החזקות. בוא נכפיל את החזקות של המשתנה " איקס"לפי הכלל להכפלת חזקות עם אותם בסיסים, הקובע שכאשר מכפילים, המעריכים מתווספים:

עכשיו בואו נכפיל את הכוחות" בְּ-»:

;

אז הנה ביטוי פשוט:

;

ניתן לצמצם כל מונומיאל לצורה סטנדרטית. בואו ננסח כלל התקינה :

הכפל את כל הגורמים המספריים;

מניחים את המקדם המתקבל במקום הראשון;

הכפל את כל המעלות, כלומר, קבל את חלק האות;

כלומר, כל מונום מאופיין במקדם ובחלק אות. במבט קדימה, נציין שמונומיאלים בעלי אותו חלק אות נקראים דומים.

עכשיו אנחנו צריכים להתאמן טכניקה להפחתת מונומיאלים לצורה סטנדרטית . שקול דוגמאות מתוך ספר הלימוד:

מטלה: הביאו את המונומיאל לצורה סטנדרטית, שם את המקדם ואת חלק האות.

כדי להשלים את המשימה, נשתמש בכלל להפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית ותכונות הכוחות.

1. ;

3. ;

הערות על הדוגמה הראשונה: ראשית, בואו נקבע אם הביטוי הזה הוא באמת מונומיאל כדי לעשות זאת, בואו נבדוק האם הוא מכיל פעולות של כפל מספרים וחזקות והאם הוא מכיל פעולות של חיבור, חיסור או חילוק. אנו יכולים לומר שהביטוי הזה הוא מונומיאלי שכן התנאי לעיל מתקיים. לאחר מכן, על פי הכלל להפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית, נכפיל את הגורמים המספריים:

- מצאנו את המקדם של מונומיאל נתון;

; ; ; כלומר, מתקבל החלק המילולי של הביטוי:;

נרשום את התשובה: ;

הערות על הדוגמה השנייה: בהתאם לכלל שאנו מבצעים:

1) הכפל גורמים מספריים:

2) הכפל את החזקות:

משתנים מוצגים בעותק בודד, כלומר, לא ניתן להכפיל אותם בכלום, הם נכתבים מחדש ללא שינויים, התואר מוכפל:

נרשום את התשובה:

;

בדוגמה זו, מקדם המונומיאל שווה לאחד, וחלק האות הוא .

הערות על הדוגמה השלישית: אבדומה לדוגמאות הקודמות, אנו מבצעים את הפעולות הבאות:

1) הכפל גורמים מספריים:

;

2) הכפל את החזקות:

;

נרשום את התשובה: ;

במקרה זה, מקדם המונומיאל הוא "", וחלק האות .

עכשיו בואו נשקול פעולה סטנדרטית שנייה על מונומיאלים . מכיוון שמונומיאל הוא ביטוי אלגברי המורכב ממשתנים מילוליים שיכולים לקבל ערכים מספריים ספציפיים, יש לנו ביטוי מספרי אריתמטי שיש להעריך. כלומר, הפעולה הבאה על פולינומים היא חישוב הערך המספרי הספציפי שלהם .

בואו נסתכל על דוגמה. מונום נתון:

המונומיאל הזה כבר הצטמצם לצורה סטנדרטית, המקדם שלו שווה לאחד, וחלק האות

קודם אמרנו שלא תמיד ניתן לחשב ביטוי אלגברי, כלומר, המשתנים הכלולים בו אינם יכולים לקבל ערך כלשהו. במקרה של מונומיאל, המשתנים הכלולים בו יכולים להיות כל אחד;

אז, בדוגמה הנתונה, אתה צריך לחשב את הערך של המונומיאל ב , , , .

מידע בסיסי על מונומיאלים מכיל את ההבהרה שניתן לצמצם כל מונומיאל לצורה סטנדרטית. בחומר שלהלן נסתכל על סוגיה זו ביתר פירוט: נתאר את המשמעות של פעולה זו, נגדיר את השלבים המאפשרים לנו לקבוע את הצורה הסטנדרטית של מונומיאל, וכן נאחד את התיאוריה על ידי פתרון דוגמאות.

המשמעות של הפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית

כתיבת מונומיאל בצורה סטנדרטית הופכת את העבודה איתו נוחה יותר. לעתים קרובות מונומיאלים מצוינים בצורה לא סטנדרטית, ואז יש צורך לבצע טרנספורמציות זהות כדי להביא את המונומיאל הנתון לצורה סטנדרטית.

הגדרה 1

הפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטיתהוא ביצוע פעולות מתאימות (טרנספורמציות זהות) עם מונומיאל על מנת לכתוב אותו בצורה סטנדרטית.

שיטה להפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית

מההגדרה עולה שמונומיאל של צורה לא תקנית הוא מכפלה של מספרים, משתנים וכוחותיהם, וחזרתם אפשרית. בתורו, מונומיאל מהסוג הסטנדרטי מכיל בסימון שלו רק מספר אחד ומשתנים שאינם חוזרים על עצמם או עוצמתם.

כדי להביא מונומיאל לא סטנדרטי לצורה סטנדרטית, עליך להשתמש בדברים הבאים כלל להפחתת מונומיאל לצורה סטנדרטית:

• הצעד הראשון הוא לקבץ גורמים מספריים, משתנים זהים וכוחותיהם;
• השלב השני הוא לחשב את מכפלת המספרים ולהחיל את המאפיין של חזקות עם בסיסים שווים.

דוגמאות והפתרונות שלהן

נתון מונומיאל 3 x 2 x 2 . יש צורך להביא אותו לטופס סטנדרטי.

פִּתָרוֹן

הבה נקבץ גורמים מספריים וגורמים עם משתנה x, כתוצאה מכך המונומיאל הנתון יקבל את הצורה: (3 2) (x x 2) .

המוצר בסוגריים הוא 6. בהחלת הכלל של כפל חזקה עם אותם בסיסים, אנו מציגים את הביטוי בסוגריים כמו: x 1 + 2 = x 3. כתוצאה מכך, אנו מקבלים מונומיאל בצורה הסטנדרטית: 6 x 3.

גרסה קצרה של הפתרון נראית כך: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .

תשובה: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.

דוגמה 2

המונומיאל ניתן: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . יש צורך להביא אותו לטופס סטנדרטי ולציין את המקדם שלו.

פִּתָרוֹן

למונום הנתון יש גורם מספרי אחד בסימון שלו: - 1, בואו נעביר אותו להתחלה. לאחר מכן נקבץ את הגורמים עם המשתנה a ואת הגורמים עם המשתנה b. אין מה לקבץ איתו את המשתנה m, אז נשאיר אותו בצורתו המקורית. כתוצאה מהפעולות לעיל נקבל: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.

בואו נבצע פעולות עם כוחות בסוגריים, ואז המונומיאל יקבל את הצורה הסטנדרטית: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. מתוך ערך זה נוכל לקבוע בקלות את מקדם המונומיאל: הוא שווה ל-1. אפשר בהחלט להחליף מינוס אחד פשוט בסימן מינוס: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.

תיעוד קצר של כל הפעולות נראה כך:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

תשובה:

a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, המקדם של המונומיאל הנתון הוא - 1.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

אני. ביטויים המורכבים ממספרים, משתנים ומעצמותיהם באמצעות פעולת הכפל נקראים מונומיאלים.

דוגמאות של מונומיאלים:

א)א; ב)אב; V) 12; ז)-3c; ד) 2a 2 ∙(-3.5b) 3 ; ה)-123.45xy 5 z; ו) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).

II. סוג זה של מונומיאל, כאשר הגורם המספרי (מקדם) מגיע ראשון, ואחריו המשתנים עם עוצמתם, נקרא הסוג הסטנדרטי של מונומיאל.

לפיכך, המונומיאלים שניתנו לעיל, מתחת לאותיות א ב ג), ז)ו ה)כתוב בצורה סטנדרטית, והמונומיות מתחת לאותיות ד)ו ו)נדרש להביא אותו לצורה סטנדרטית, כלומר לצורה שבה הגורם המספרי מגיע ראשון, ואחריו גורמי האותיות עם המעריכים שלהם, וגורמי האותיות נמצאים בסדר אלפביתי. הבה נציג מונומיאלים ד)ו ו)לתצוגה הסטנדרטית.

ד) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85.75a 2 ב 3 ;

ו) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .

III.סכום המעריכים של כל המשתנים הכלולים במונומיאל נקרא דרגת המונומיאל.

דוגמאות.איזו תואר יש למונומיאלים? א) - ז)?

א) א.ראשון;

ב) אב.שְׁנִיָה: אבתואר הראשון ו בבחזקת הראשונה - סכום האינדיקטורים 1+1=2 ;

V) 12. אפס, שכן אין גורמי אותיות;

ז) -3ג.ראשון;

ד) -85.75a 2 ב 3 .חמישי. צמצמנו את המונומיאל הזה לצורה סטנדרטית, יש לנו אלתואר השני ו בבשלישית. בואו נחבר את האינדיקטורים: 2+3=5 ;

ה) -123.45xy 5 z.שְׁבִיעִית. צירפנו את המעריכים של גורמי האותיות: 1+5+1=7 ;

ו) -60a 3 c 3 .שישית, מאז סכום המעריכים של גורמי האותיות 3+3=6 .

IV. מונומים בעלי אותו חלק האותיות נקראים מונומים דומים.

דוגמא.ציין מונומיאלים דומים בין המונומיאלים הנתונים 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56א 2 ב 2 ג; 4) 98.7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2.3a 4 x; 7) 34x 2 שנים.

הבה נציג מונומיאלים 1), 4) ו 5) לתצוגה הסטנדרטית. אז שורת הנתונים המונומיאלים תיראה כך:

1) 3א 2 ב 2 ג; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56א 2 ב 2 ג; 4) 98.7a 3 לפני הספירה; 5) 10a 4x; 6) -2.3a 4 x; 7) 34x 2 שנים.

דומים יהיו אלה שיש להם אותו חלק אות, כלומר. 1) ו-3); 2) ו-4); 5) ו-6).

1) 3a 2 ב 2 ג ו 3) 56א 2 ב 2 ג;

2) -4.1a 3 לפני הספירה ו 4) 98.7a 3 לפני הספירה;

5) 10a 4 x ו 6) -2.3a 4 x.