יחסים חוזרים. פתרונות כלליים ופרטיים של יחסי חזרות דוגמאות ליחסי חזרות

שיטה זו מורכבת מהעובדה שפתרון בעיה קומבינטורית עם n אובייקטים מתבטא באמצעות פתרון של בעיה דומה עם מספר קטן יותר של אובייקטים באמצעות יחס כלשהו, ​​הנקרא רקורסיבי. אנו אומרים שרצף של אלמנטים u0 , u1 , ... un , ... על פני השדה של המספרים המרוכבים C מקיים יחס רקורסיבי בסדר k אם

כאשר a1 , … , ak הם מקדמים מ-C. קשרים מסוג זה נוצרים באופן טבעי בעת פתרון בעיות קומבינטוריות.

דוגמא. שיהיה רצף של מיקומים הממוספרים 1, 2, ... , n, ... וברגע הראשוני האובייקט נמצא במיקום ה-1. בתנועה אחת, הפריט זז קדימה 1 ו-2 עמדות. מצא את מספר הדרכים להגיע למיקום ה-n.

♦ תן un להיות המספר שאנו מעוניינים בו. ברור ש-u2 = 1, u3 = 2. לאחר מכן, בואו נחלק את כל הדרכים להגיע למיקום מספר n לשתי מחלקות: אלה שבהן האובייקט זז שלב אחד בשלב האחרון ואלו שבהן הוא זז 2 שלבים. ברור שבמקרה הראשון יש לנו אופציות un-1, בשני - אופציות un-2. לכן, יש לנו

הפולינום P(x) נקרא מאפייןליחס הישנות הליניארית (2). שימו לב שכל רצף חוזר של הסדר ה-k נקבע באופן ייחודי על ידי ציון k מהאיברים הראשונים שלו.

תן λ להיות שורש של הפולינום האופייני P(x).

משפט 1. הרצף u0 , u1 , … un , … , כאשר un = cλ n , c הוא קבוע שרירותי מ-C, עונה על יחס הישנות הליניארית (2).

♦ החלפת הערכים הנתונים un , n = 0, 1, … לתוך (2), יש לנו

cλ n - a1 cλ n-1 - a2 cλ n-2 - … - ak cλ n-k = cλ n-k (λ k - a1 λ k-1 - … - ak ) ≡ 0. ♦

משפט 2. תנו לרצפים un , vn , n = 0, 1, ... לעמוד ביחס החזרה הליניארית (2). ואז הרצף

rn , n = 0, 1, … , כאשר rn = α un + β vn , n , α, β הם קבועים שרירותיים מ-C.

♦ ההוכחה ברורה. ♦

משפט 3. תן ל- λ 1 , … , λ k להיות שורשים פשוטים (כלומר לא מרובים) של הפולינום האופייני P(x) עבור הרצף (2).

אז לפתרון הכללי של יחס הישנות זה יש את הצורה

כאשר c1, …, ck הם קבועים מתאימים מ-C.

♦ לפי ההערה הקודמת, הרצף un , n = 0, 1, … הוא פתרון ליחס (2). כדי להוכיח שלכל פתרון יש את הצורה (5) די להראות שעבור רצף שרירותי vn , n = 0, 1, … , מספק

(2), ישנם קבועים c1 , … , ck כך ש-un = vn , n . לשם כך, מספיק ש- v0 = u0 , v1 = u1 , … , vk-1 = uk-1 . שקול את התנאים האלה

ביחס ל-c1, c2, …, ck. הקובע של מערכת זו הוא הקובע של Vandermonde ולפי (7, עמ' 118).

לפי ההנחה לגבי השורשים λ 1 , … , λ k . מכאן הקביעה הבאה. ♦ כדוגמה, קחו בחשבון את יחס החזרה (3). יש לנו את הפולינום האופייני

P(x) = x2 - x -1

השורשים שלו הם λ 1 = 1 + 2 5, λ 2 = 1 - 2 5. הפתרון הכללי הוא

u n = c 1 1+ 2 5 n + c 2 1− 2 5 n

מערכת משוואות עבור קבועים c1 , c2 : c1 1 + 2 5 + c2 1 − 2 5 = 1

כעת תן λ להיות שורש של ריבוי r של הפולינום האופייני P(x). באופן דומה לקודם, אנו מוכיחים

משפט 4. רצפים c1 λ n , c2 nλ n ,K , cr n r − 1 λ n , n = 0, 1, … עבור

קבועים שרירותיים c1 , … , cr מ-C מספקים יחס (2).

משפט 5. תן לפולינום האופייני P(x) שורשים λ 1 , … , λ s של ריבוי r1 , … , rs (r1 + … + rs = k) . ואז הפתרון הכללי של יחס החזרה

הבה נציין תכונה שימושית נוספת של יחסים חוזרים ליניאריים. משפט 6. נקבל את היחס

un = a1 un-1 + … + ak un-k

עם תנאים ראשוניים u1, …, בריטניה. אז היחס מתקיים עבור כל n ≥ k

♦ הוכחה באינדוקציה על נ. עבור n = k, השוויון (8) תקף. תן לזה להיות נכון עבור n. עבור n + 1 יש לנו

עם זאת, ברוב המקרים, כאשר לומדים בעיות ספירה, נוצרים יחסי הישנות לא ליניאריים, אשר לפתרון שלהם נעשה שימוש בטכניקות ספציפיות. חלק מהם יישקלו בהמשך. הבה ניתן דוגמה חשובה ליחס הישנות לא ליניארי.

משפט 7. תנו ל-C(n,k) להיות מספר התמורות של קבוצת n-אלמנטים שיש להם בדיוק k מחזורים. אז זה הוגן

♦ נחלק את קבוצת התמורות של קבוצת X = (1, 2, … n,) בעלת k מחזורים בדיוק לשתי מחלקות - תמורות שבהן יסוד n כלול במחזור היחידה, ותמורות שבהן יסוד n נמצא ב- מחזור של אורך l, l > 1. במקרה הראשון, מספר התמורות עולה בקנה אחד עם מספר התמורות של קבוצת X′ = (1, 2, …, n - 1) בעל k - 1 מחזורים, כלומר. C(n - 1, k - 1). במקרה השני, הסרת האלמנט n, חצי-

יש לנו החלפה של קבוצת X′ = (1, 2, …, n - 1) ב-k מחזורים, שמספרם שווה ל-C(n - 1, k). הבה נגלה כעת באיזה מספר דרכים ניתן להוסיף אלמנט n לתמורה בדרגה n - 1 עם k מחזורים. אם יש מחזור באורך i, אז זה יכול להיעשות בדרכים i. המספר הכולל של הדרכים שווה ל-i1 + … + ik, כאשר i1, …, ik הם אורכי מחזורי ההחלפה. עם זאת, i1 + … + ik = n - 1. לפיכך, מספר התמורות של המחלקה השנייה שווה ל

(n - 1)C(n - 1, k). מכאן אנו מקבלים (9). ♦

המספרים המתקבלים C(n,k) קשורים למספרי סטירלינג הידועים מהסוג הראשון sn,k , המוגדרים כך:

sn,k = (- 1)n+k C(n,k)

תנו טבלה של הערכים הראשונים של המספרים sn,k .

לשונית. מספרי סטירלינג מהסוג הראשון

חישובים קומבינטוריים על קבוצות סופיות

מבוא לקומבינטוריקה

הנושא של תורת האלגוריתמים הקומבינטוריים, הנקרא לעתים קרובות חישובים קומבינטוריים, הוא חישובים על מבנים מתמטיים נפרדים. בתיאוריה זו, מוקדשת תשומת לב רבה לגישה האלגוריתמית לפתרון בעיות של מתמטיקה בדידה, אופטימיזציה של ספירת אפשרויות והפחתה במספר הפתרונות הנחשבים.

תחום האלגוריתמים הקומבינטוריים כולל משימות הדורשות ספירה (הערכה) של מספר האלמנטים בקבוצה סופית או רישום אלמנטים אלו בסדר מיוחד (נספח ב'). במקרה זה, ההליך לבחירת אלמנטים עם החזר וגרסאותיו נמצאים בשימוש נרחב.

ישנם שני סוגים של בעיות ספירה. במקרה הפשוט, ניתן סט מסוים והוא נדרש לקבוע את המספר המדויק של האלמנטיםבו. במקרה הכללי, יש משפחה של קבוצות המוגדרות על ידי פרמטר כלשהו, ​​והקרדינליות של הסט מוגדרת כפונקציה של הפרמטר. יחד עם זאת, זה קורה לעתים קרובות הערכה מספקת של סדר הפונקציהולפעמים אתה רק צריך הערכת קצב הצמיחה שלו. לדוגמה, אם כוחה של הסט הנחשב גדל באופן אקספוננציאלי בפרמטר כלשהו, ​​אז זה עשוי להספיק כדי לנטוש את הגישה המוצעת לחקר הבעיה מבלי להיכנס לפרטים שונים. עבור בעיה מסוג כללי יותר זה, מיושמים ההליכים של הרחבות אסימפטוטיות, יחסי הישנות ופונקציות יצירת.

אסימפטוטיקה

אסימפטוטה היא קו מיוחד (לרוב קו ישר), שהוא הגבול לעקומה הנחשבת.

אסימפטוטיקה היא אמנות ההערכה והשוואה של שיעורי הצמיחה של פונקציות. אומרים את זה ב איקסהפונקציה ®¥ "מתנהגת כמו איקס", או "גדל באותו קצב כמו איקס", ובשעה איקס®0 "מתנהג כמו 1/ איקס". אומרים ש"יומן איקסבְּ- איקס®0 וכל e>0 מתנהג כמו איקסה, ומה נ®¥ גדל לא מהר יותר מ נעֵץ נ". הצהרות לא מדויקות אך ברורות באופן אינטואיטיבי מועילות בהשוואת פונקציות באותו אופן כמו היחסים<, £ и = при сравнивании чисел.

הבה נגדיר שלושה יחסים אסימפטוטיים עיקריים.

הגדרה 1.פוּנקצִיָה ו(איקס) שווה ל ז(איקס) בשעה איקס® x0, אם ורק אם =1.

במקרה זה, אומרים שהפונקציה היא ו(איקס) שווה אסימפטוטית לפונקציה ז(איקס) או מה ו(איקס) גדל באותו קצב כמו ז(איקס).

הגדרה 2. ו(איקס)=o( ז(איקס)) בשעה איקס® x0, אם ורק אם =0.

אומרים את זה ב איקס® x 0 f(איקס) גדל לאט יותר מאשר ז(איקס), או מה ו(איקס) "יש או-קטן" מ ז(איקס).

הגדרה 3 . ו(איקס)=O( ז(איקס)) בשעה איקס® x0, אם ורק אם קיים קבוע C כך sup =C.

במקרה הזה הם אומרים את זה ו(איקס) גדל לא מהר יותר מ ז(איקס), או מה שלא יהיה איקס® x 0 f(איקס) "יש O גדול" מ ז(איקס).

יַחַס ו(איקס)=ז(איקס)+o(ח(איקס)) בשעה איקס®¥ אומר זאת ו(x)-ג(איקס)=o(ח(איקס)). בדומה לכך ו(איקס)=ז(איקס)+O(ח(איקס)) אומר ש ו(איקס)-ז(איקס)=O(ח(איקס)).

ניתן להשתמש בביטויים O( ) ו-o( ) גם באי-שוויון. למשל, אי שוויון איקס+o(איקס)2 פאונד איקסבְּ- איקס®0 פירושו שלכל פונקציה ו(איקס) כך ש ו(איקס)=o(איקס), בשעה איקס®¥ x+f(איקס)2 פאונד איקסעבור כל הערכים הגדולים מספיק איקס.

הבה נציג כמה שיוויון אסימפטוטי שימושי.

הפולינום שווה אסימפטוטית לאיבר הגבוה ביותר שלו:

בְּ- איקס®¥; (4.1)

בְּ- איקס®¥; (4.2)

בְּ- איקס®¥ ו א ק¹0. (4.3)

סכומי החזקות של מספרים שלמים מספקים את היחס:

בְּ- נ®¥. (4.4)

לפיכך, במיוחד, יש לנו נ®¥

במקרה כללי יותר, מתי נ®¥ ולכל מספר שלם ק³0

; (4.6)

. (4.7)

יחסים חוזרים

הבה נמחיש את הרעיון של יחסי הישנות עם הבעיה הקלאסית שהציב ונחקר על ידי פיבונאצ'י בסביבות שנת 1200.

פיבונאצ'י שם את הבעיה שלו בצורה של סיפור על קצב הגידול של אוכלוסיית ארנבות תחת ההנחות הבאות. הכל מתחיל בזוג ארנבים אחד. כל זוג ארנבות הופך פורה (פורה) לאחר חודש, לאחר מכן כל זוג מוליד מדי חודש זוג ארנבות חדש. ארנבים לעולם אינם מתים והרבייה שלהם לעולם אינה מפסיקה. תן להיות F n- מספר זוגות הארנבונים באוכלוסיה לאחר נחודשים ולתת לאוכלוסייה זו מורכבת נ נזוגות המלטה ו או נזוגות "ישנים", כלומר. F n = נ נ + או נ. לפיכך, בחודש הבא יתרחשו האירועים הבאים:

אוכלוסיה ותיקה ב ( נהרגע +1) יגדל במספר הלידות באותו זמן נ, כלומר O n+1 = או נ + נ נ= F n;

כל זקן בנקודת זמן נהזוג מייצר בזמן ( נ+1) זוג צאצאים, כלומר. Nn+1= ג נ.

בחודש הבא, הדפוס הזה חוזר על עצמו:

O n+2 = O n+1+ Nn+1= Fn+1,

Nn+2=O n+1;

בשילוב השוויון הזה, נקבל את יחס הישנות פיבונאצ'י:

O n+2 + Nn+2=Fn+1 + O n+1,

Fn+2 = Fn+1 + F n. (4.8)

בחירת התנאים הראשוניים לרצף פיבונאצ'י אינה חשובה; המאפיינים המהותיים של רצף זה נקבעים על ידי היחס החוזר (4.8). בדרך כלל מאמינים F0=0, F1=1 (לפעמים F0=F1=1).

קשר החזרה (4.8) הוא מקרה מיוחד של יחסי הישנות ליניאריים הומוגניים עם מקדמים קבועים:

x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +...a k x n-k , (4.9)

איפה מקדמים א iלא תלויים ב נו x 1, x2, …, x kנחשבים ניתנים.

יש שיטה כללית לפתרון (כלומר למצוא x nכפונקציה נ) יחסים חוזרים ליניאריים עם מקדמים קבועים. הבה נבחן שיטה זו באמצעות יחס (4.8) כדוגמה. אנחנו מוצאים פתרון בטופס

F n=crn (4.10)

עם קבוע עםו ר. החלפת ביטוי זה ב-(4.8), נקבל

cr + 2 = crn+ 1 + crn,

crn(rn-r-1)=0. (4.11)

זה אומר ש F n=crnהוא פתרון אם אחד מהם עם=0, או ר= 0 (ומכאן F n =0 עבור כולם נ), וגם (וזה מקרה מעניין יותר) אם ר 2 - r -1=0, והקבוע עםשרירותי. ואז מ-(4.11) זה נובע

ר= או ר = . (4.12)

המספר "1.618" ידוע כיחס "הזהב", שכן מאז ימי קדם מאמינים שלמשולש (מלבן) עם צלעות 1 יש את הפרופורציות הכי נעימות לעין.

הסכום של שני פתרונות להישנות לינארית הומוגנית הוא כמובן גם פתרון, ואפשר למעשה להראות שהפתרון הכללי של רצף פיבונאצ'י הוא

F n= , (4.13)

איפה הקבועים עםו עם'נקבעים לפי התנאים ההתחלתיים. בהצבת F 0 =0 ו- F 1 =1, נקבל את מערכת המשוואות הלינאריות הבאה:

, (4.14)

שהפתרון שלו נותן

ג = -ג" = . (4.15)

במתמטיקה משתמשים לעתים קרובות במונחים כמו "פונקציות רקורסיביות", "רצפים חוזרים", "יחסים רקורסיביים", "אלגוריתמים רקורסיביים". לכל המונחים הללו יש שורש זהה, שמקורו במילה הלטינית gesiggege - להחזיר. המשותף לפונקציות רקורסיביות, אלגוריתמים רקורסיביים ורצפים חוזרים הוא שכדי לחשב את הערך הבא של הפונקציה, להשיג את היישום הבא של האלגוריתם, לקבוע את האיבר הבא ברצף, יש צורך להתייחס לערכים הקודמים שלהם מחושב קודם לכן. בתורו, חישוב הערכים הקודמים דורש גישה לערכים הנדרשים שחושבו קודם לכן, וכן הלאה. לפיכך, על מנת לקבל את הערך של פונקציה, היישום של אלגוריתם, או הערך של איבר בסדרה על אחר הצהרייםשלב, אתה צריך לדעת את הערכים שלהם (עמ'- 1)-השלב, ולכן, בשלב הראשון. הכלל שקובע כיצד לחשב את הערך הבא של פונקציה או האיבר הבא ברצף, בהינתן שערכים אלו ידועים בשלב הראשון, נקרא יחס רקורסיבי.פיתוח קשרי הישנות היא אחת השיטות לפתרון בעיות שונות. שיטה זו נמצאת בשימוש נרחב בקומבינטוריקה.

הדוגמה הפשוטה ביותר ליחס חוזר היא הנוסחה לחישוב מספר התמורות של קבוצת n-אלמנטים. נוסחאות אלו נראות כמו R x = 1, R p = R p _ x pוניתן להשיגו בדרך הבאה.

יִהיֶה פאלמנטים /, / 2 , ..., /„, קבוצות אני.ליו

ניתן לקבל תמורה חדשה של אלמנטים אלו באופן הבא: קח תמורה כלשהי של האלמנטים /, / 2 , ..., ובכל הדרכים האפשריות בין האלמנטים המצוינים, כולל ההתחלה והסוף, שים את האלמנט / ו. ברור ששיטות כאלה יהיו פ.כתוצאה מכך, מהתמורה /, / 2 , ..., / d _, יתקבלו פתמורות. המשמעות היא שתמורות מ פאלמנטים ב פפעמים יותר מתמורות מ פ-1 אלמנטים של הסט אני.זה מבסס את הקשר הישנות R p = R p _ x p.באמצעות יחס זה, אנו משיגים ברציפות R p -pR p _ x \u003d p (p-) R p _ 2 - p (p - )(n -2)...2Рח אבל R x - 1, מכיוון שניתן לעשות רק תמורה אחת מאלמנט אחד. כך P n \u003d n (n-1)(" - 2)___2-1 = פ.על בסיס האמור לעיל

גם הדברים הבאים נכונים: R p = (עמ'-אחד עשר! = 1.

כעת אנו נותנים דוגמה לרצף מספרים חוזר, הנקרא לעתים קרובות מספרי פיבונאצ'י,אחרי המתמטיקאי האיטלקי מהמאה ה-13, שהקים אותה כתוצאה מפתרון הבעיה הבאה. זוג ארנבות מביא פעם בחודש צאצא של שני ארנבים (נקבה וזכר). גם ארנבות שזה עתה נולדו, חודשיים לאחר הלידה, מביאות צאצאים. כמה ארנבות יופיעו בשנה אם היה זוג ארנבות אחד בהתחלה?

ממצב הבעיה נובע שבעוד חודש יהיו שני זוגות ארנבות (זוג הארנבונים הראשון יביא צאצאים). בעוד חודשיים - שלושה זוגות, ובעוד שלושה חודשים - חמישה זוגות, שכן הזוג שהופיע לאחר החודש הראשון יתן צאצאים.

סמן ב- /„ את מספר זוגות הארנבים שאחרי פחודשים מתחילת השנה. ואז בתחילת השנה / 0 = 1, בחודש /, = 2, בעוד חודשיים / 2 = / 0 + /, = 3, בשלושה חודשים / 3 = = / 2 + /1 =5. לכן, במקרה הכללי, כדי לחשב את מספר הארנבים בסוף כל חודש, נקבל את היחס החוזר /„ = + / i _ 2 . יחס זה מאפשר זאת

חשב את מספר זוגות הארנבים בסוף השנה לפי הביטוי / 12 \u003d / n + /אתה P R ובתנאי ש / 0 = 1, /, = 2. זה שווה ל- 377. המספרים המתקבלים כתוצאה מיישום יחס החזרה לעיל, כלומר. הרצף 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... נקראים מספרי פיבונאצ'י. ראוי לציין שבעזרת יחס החזרה המתאר סדרה מספרית זו, נפתרות בעיות רבות של קומבינטוריקה. הנה אחד מהם.

מצא את מספר הרצפים של אפסים ואחדים באורך פאלה שבהם שתי יחידות אינן זו לצד זו. הבה נוודא שניתן לפתור בעיה זו באמצעות יחס החזרה

/ i \u003d / "-1 + / i- 2-

קח כל רצף מ פ+1 אפסים ואחדים כך שהוא לא מכיל שניים עוקבים. זה יכול להסתיים באפס או אחד. אם הרצף מסתיים באפס, ניתן לזרוק אותו ורצף של אורך פ,בהם שתי יחידות אינן צמודות. לעומת זאת, אם ניקח את הרצף הזה ונקצה לו אפס בסוף, נקבל רצף כזה של אורך n+ 1, שבו שתי יחידות אינן זו לצד זו.

תן את מספר הרצפים של אורך פ+1, שבו שניים אינם צמודים ואשר מסתיימים באפס, שווה ל g n.ניקח כעת רצף LONG /7 + 1 שבו שני 1ים אינם צמודים ואשר מסתיים ב-1. מכיוון ששתי 1 לא צמודות, לפני ה-1 האחרון ברצף יש אפס, כלומר. הרצף מסתיים ב-01. אם נזרוק את המספרים הללו, נקבל רצף של אורך פ - 1, שבו שתי יחידות אינן בשורה. מספר רצפים כאלה gn_^.מכיוון שכל רצף ארוך n+ 1, שבו שניים אינם בשורה, מסתיים באחד או אפס, עבור המספר הכולל של רצפים כאלה, לפי כלל הסכום, נקבל g n+ ^ - g n + ז n_x. יתר על כן, עבור רצפים של אורך פ= 1, ישנם שני רצפים: 0 ו-1, שבהם שני 1 לא צמודים, בגלל

למה גל- 2. לרצפים של אורך פ - 2, ישנם שלושה רצפים שבהם שני 1 אינם צמודים: 00, 01 ו-10. לכן, = 3. לפיכך, הקשר הישנות gn+l = gn + gn_( , g^ = 2, g 2=3 שווה ערך ליחס הרקורסיבי /i+1 = /„ + /, =2, /2 = 3, המתאר את הסדרה

פיבונאצ'י. לכן, עבור כל /7 = 1,2, ..., באמצעות יחס זה, ניתן לפתור את הבעיה שנוסחה לעיל.

יש לציין כי גזירת יחסי החזרה היא לעיתים פשוטה, ולעיתים דורשת מאמץ רציני. עבור בעיות מסוימות, יחסי החזרה פשוטים, עבור אחרים - מורכבים. אי הנוחות הכללית של יחסי הישנות היא שכדי לחשב איבר ברצף, יש צורך לחשב את כל האיברים הקודמים שלו.

פתרון כללייחס חוזר (1) הוא קבוצת כל הרצפים הממלאים יחס זה.

החלטה פרטיתיחס (1) אחד הרצפים המקיימים יחס זה נקרא.

דוגמה 1¢.המשך א n=א 0 +נד א n=א n - 1 +ד. זוהי הנוסחה למונח המשותף של התקדמות אריתמטית עם הבדל דועם החבר הראשוני של ההתקדמות א 0 .

דוגמה 2¢.המשך ב נ=ב 0 × q nהוא פתרון כללי של היחס ב נ=ב נ - 1 ×q. זוהי הנוסחה למונח המשותף של התקדמות גיאומטרית עם מכנה ש¹0 ועם החבר הראשוני של ההתקדמות ב 0 .

דוגמה 3¢.מה שנקרא הנוסחה של בינטי נ= הוא פתרון מסוים של היחס j נ=j נ-2+j נ- 1 עבור j 0 =j 1 =1.

מאז שורשים פשוטים איקס 1 ,…,x kמובחן בזוגיות, ואז D¹0. מכאן שלמערכת (5) יש פתרון (ייחודי).

משימה 1.מצא את המונח הנפוץ של התקדמות גיאומטרית באמצעות נוסחה (4).

הַחְלָטָה ב נ=qb n- 1 נראה כמו . כך .

משימה 2.מצא את הפתרון הכללי של יחס פיבונאצ'י א n + 2 =א n+א n + 1 .

הַחְלָטָה. פולינום אופייני ליחס החזרה א n + 2 =א n+א n+1 יש את הצורה . כך .

אנו נותנים ללא הוכחה את ההכללה הבאה של משפט 1.

משפט 2. תן לפולינום האופייני ליחס הישנות הליניארי ההומוגנית (3). קשורשים: a 1 כפל , …, א קריבוי , , . אז לפתרון הכללי של קשר החזרה (3) יש את הצורה הבאה:

משימה 3.מצא את הפתרון הכללי של הקשר.

הַחְלָטָה.לפולינום האופייני יש שורש 2 של ריבוי 3. לכן,.

תגובה. ניתן למצוא את הפתרון הכללי של היחס הליניארי הבלתי-הומוגני (2) כסכום הפתרון הכללי של היחס הליניארי ההומוגני (3) והפתרון הפרטיקולרי של היחס הליניארי הבלתי-הומגני (2).

4. יצירת פונקציות.סדרה פורמלית א 0 +א 1 איקס+א 2 איקס 2 +…+a k x k+... התקשרו פונקציית הפקת הרצף א 0 ,א 1 ,א 2 ,…,א ק,…

הפונקציה היוצרת היא סדרה מתכנסת או סדרה מתפצלת. שתי סדרות שונות עשויות להיות שוות כפונקציות, אך להיווצר פונקציות של רצפים שונים. לדוגמה, שורות 1+2 איקס+2 2 איקס 2 +…+2k x k+... ו-1+3 איקס+3 2 איקס 2 +…+3k x k+... מגדירים את אותה פונקציה (שווה ל-1 בנקודה איקס=1, בלתי מוגדר בנקודות איקס>1), אך הם יוצרים פונקציות של רצפים שונים.

תכונות של יצירת פונקציות של רצפים:

סכום (הפרש) של יצירת פונקציות של רצפים א nו ב נשווה לפונקציית ההפקה של הסכום (ההפרש) של הרצפים א n+ב נ;

תוצר של יצירת פונקציות של רצפים א nו ב נהיא הפונקציה היוצרת של קונבולוציית רצף א nו ב נ:

ג נ=א 0 ב נ+א 1 ב נ - 1 +…+א n - 1 ב 1 +א נ ב 0 .

דוגמה 1הפונקציה יוצרת עבור הרצף

דוגמה 2הפונקציה יוצרת עבור הרצף 1, 1, 1, ...

ליחס החזרה יש להזמין ק , אם הוא מאפשר להביע f(n+k) במונחים של f(n), f(n+1), …, f(n+k-1).

דוגמא.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 הוא יחס הישנות מסדר שני.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) הוא יחס חוזר בסדר השלישי.

אם ניתן יחס חוזר מסדר ה-k, אז אינסוף רצפים יכולים לספק אותו, שכן ניתן להגדיר את k האלמנטים הראשונים של הרצף באופן שרירותי - אין ביניהם יחסים. אבל אם המונחים k הראשונים ניתנים, אז כל שאר האלמנטים נקבעים באופן ייחודי.

באמצעות יחס החזרה והמונחים הראשוניים, ניתן לכתוב את מונחי הרצף אחד אחד, ובמוקדם או במאוחר נקבל כל אחד מהאיברים שלו. עם זאת, אם אתה צריך לדעת רק איבר ספציפי אחד ברצף, אז זה לא רציונלי לחשב את כל הקודמים. במקרה זה, נוח יותר לקבל נוסחה לחישוב האיבר ה-n.

הפתרון של קשר החזרהכל רצף שעבורו מתקיים היחס הנתון באופן זהה נקרא.

דוגמא. הרצף 2, 4, 8, …, 2 n הוא הפתרון ליחס f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n).

הוכחה. האיבר המשותף של הרצף הוא f(n)=2 n . אז f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1 . עבור כל n, מתקיימת הזהות 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n. לכן, כאשר מחליפים את הרצף 2 n בנוסחה f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n), היחס מתקיים באופן זהה. לפיכך, 2 n הוא הפתרון של היחס המצוין.

פתרון קשר החזרהצו kth נקרא כללי, אם זה תלוי בקבועים שרירותיים α 1 , α 2 , ... α k ועל ידי בחירת קבועים אלו ניתן לקבל כל פתרון של היחס הזה.

דוגמא. יחס החזרה ניתן: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). הבה נוכיח שלפתרון הכללי שלו יש את הצורה: f(n)= α 2 n + β3 n .

1. ראשית נוכיח שהרצף f(n)=α 2 n + β3 n הוא פתרון ליחס הישנות. החליפו את הרצף הזה ביחסי החזרה.

f(n)= α 2 n + β 3 n , כך f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2, אם כן

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n)= α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10–6)+ β 3 n ∙(15 – 6)= α 2 n+2 + β 3 n +2 = f( n+2).

יחס החזרה תופס, לפיכך, α 2 n + β 3 n הוא הפתרון של יחס החזרה זה.

2. הבה נוכיח שכל פתרון של הקשר f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) יכול להיכתב כ-f(n)= α 2 n + β 3 n . אבל כל פתרון של יחס הישנות מסדר שני נקבע באופן ייחודי על ידי הערכים של שני האיברים הראשונים של הרצף. לכן, די להראות שלכל a=f(1) ו-b=f(2) יש α ו- β כך ש-2 α +3 β =a ו-4 α +9 β =b. קל לראות שלמערכת המשוואות יש פתרון לכל ערכים של a ו-b.

לפיכך, f(n)= α 2 n + β 3 n הוא הפתרון הכללי של היחס החוזר f(n+2)=5f(n+1)–6f(n).

יחסי הישנות לינארית עם מקדמים קבועים

אין כללים כלליים לפתרון קשרי הישנות, אך קיים מחלקה תדיר של קשרי הישנות שעבורם ידוע אלגוריתם לפתרונם. אלו הם יחסים חוזרים ליניאריים עם מקדמים קבועים, כלומר. יחסי סוג:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+...+c k f(n).

הבה נמצא את הפתרון של יחס החזרה הליניארית הכללית עם מקדמים קבועים מהסדר הראשון.

ליחס הישנות ליניארי עם מקדמים קבועים מהסדר הראשון יש את הצורה: f(n+1)=c f(n).

תן f(1)=a, ואז f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, בדומה ל-f(4)=c 3 ∙a וכן הלאה, שימו לב ש-f(n)=c n -1 ∙f(1).

הבה נוכיח שהרצף c n -1 ∙f(1) הוא הפתרון של יחס הישנות מסדר ראשון. f(n)=c n -1 ∙f(1), אז f(n+1)=c n f(1). החלפת ביטוי זה ליחס, נקבל את הזהות c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1).

כעת נשקול ביתר פירוט יחסי הישנות לינארית עם מקדמים קבועים מהסדר השני , כלומר, יחסי הצורה

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).

שימו לב שכל השיקולים מתקיימים גם ביחסים מסדר גבוה.

מאפייני פתרון:

1) אם הרצף x n הוא פתרון (*), אז הרצף a∙x n הוא גם פתרון.

הוכחה.

x n הוא פתרון ל (*), ומכאן x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n. אנחנו מכפילים את שני הצדדים של השוויון ב-a. נקבל a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n . משמעות הדבר היא שציר n הוא הפתרון (*).

2) אם הרצפים x n ו- y n הם פתרונות (*), אז הרצף x n +y n הוא גם פתרון.

הוכחה.

x n ו- y n הם פתרונות, כך שהזהויות הבאות מתקיימות:

x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n.

בואו נוסיף את שני השוויון מונח אחר מונח:

x n +2 + y n +2 \u003d C 1 ∙ x n +1 + C 2 ∙ x n + C 1 ∙ y n +1 + C 2 ∙ y n \u003d C 1 ∙ (x n +1 + y n + 1) + (x n +yn). זה אומר ש-x n +y n הוא הפתרון ל- (*).

3) אם r 1 הוא פתרון למשוואה הריבועית r 2 =С 1 r+С 2, אז הרצף (r 1) n הוא הפתרון ליחס (*).

r 1 הוא הפתרון של המשוואה הריבועית r 2 =C 1 r+C 2, אז (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2. הבה נכפיל את שני הצדדים של השוויון ב-(r 1) n . לקבל

r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.

r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.

זה אומר שהרצף (r 1) n הוא הפתרון ל- (*).

מנכסים אלו נובע דרך פתרוןיחסי הישנות לינארית עם מקדמים קבועים מהסדר השני:

1. חבר את המשוואה האופיינית (ריבועית) r 2 =C 1 r+C 2. בוא נמצא את השורשים שלו r 1, r 2. אם השורשים שונים, אז הפתרון הכללי הוא f(n)= ar 1 n +βr 2 n .

2. מצא את המקדמים a ו-β. תן f(0)=a, f(1)=b. מערכת משוואות

יש פתרון לכל a ו-b. פתרונות אלו הם

מְשִׁימָה . בואו נמצא נוסחה למונח המשותף של רצף פיבונאצ'י.

הַחְלָטָה . למשוואה האופיינית יש את הצורה x 2 \u003d x + 1 או x 2 -x-1 \u003d 0, השורשים שלה הם מספרים, מה שאומר שלפתרון הכללי יש את הצורה f (n) \u003d . כפי שקל לראות, מהתנאים ההתחלתיים f(0)=0, f(1)=1 נובע כי a=-b=1/Ö5, וכתוצאה מכך, לפתרון הכללי של רצף פיבונאצ'י יש את הצורה :

.

באופן מפתיע, ביטוי זה לוקח ערכי מספר שלמים עבור כל ערכי הטבע של n.