שיטת הכיוונים המצומדים של פאוול. כיוונים מצומדים ראה מה הם "כיוונים מצומדים" במילונים אחרים

כיוונים קשורים

זוג כיוונים הנובעים מנקודה P של פני השטח S וכאלה שהקווים הישרים המכילים אותם הם הקטרים ​​המצומדים של אינדיקטורת Dupin של פני השטח S בנקודה ר.על מנת לקבל הנחיות ( דו:dv), בנקודה P של המשטח S היה S.n., זה הכרחי ומספיק כדי לעמוד בתנאי

איפה ל, מו נ-מקדמים של הצורה הריבועית השנייה של פני השטח ס,מחושב בנקודה ר.דוגמאות: כיוונים אסימפטוטיים, כיוונים עיקריים.

מוּאָר.: Pogorelov A.V., Differential, ed. 5, M., 1969.
E. V. Shikin.

אנציקלופדיה מתמטית. - מ.: האנציקלופדיה הסובייטית. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

ראה מה הם "כיוונים מחוברים" במילונים אחרים:

מדור גיאומטריה, בו לומדים גיאומטריה. תמונות, בעיקר עקומות ומשטחים, תוך שימוש בשיטות מתמטיות. אָנָלִיזָה. בדרך כלל בגיאומטריות דינמיות נלמדות תכונות העקומות והמשטחים בקטן, כלומר תכונות של חלקים קטנים באופן שרירותי מהם. חוץ מזה, ב… אנציקלופדיה מתמטית

1) סכום הריבועים של אורכי חצאי הקוטרים המצומדים של אליפסה הוא ערך קבוע השווה לסכום ריבועי אורכי חצאי הצירים שלה. 2) שטחה של מקבילית המוקפת סביב אליפסה, שלצלעותיה יש כיוונים מצומדים, קבוע ושווה ל... ... אנציקלופדיה מתמטית

כיוון על משטח רגיל, שבו העקמומיות של הקטע הרגיל של המשטח הוא אפס. כדי שהכיוון בנקודה P יהיה A.N, יש צורך ומספיק למלא את התנאי הבא: היכן נמצאות הקואורדינטות הפנימיות על פני השטח, ו-L, M ו-N... ... אנציקלופדיה מתמטית

שיטות מספריות הוא ענף של מתמטיקה חישובית המוקדש למתמטיקה. תיאור וחקר תהליכים של פתרון מספרי של בעיות אלגברה לינארית. בין המשימות של LA. שניים הם בעלי החשיבות הגדולה ביותר: הפתרון של מערכת אלגברית ליניארית. משוואות........... אנציקלופדיה מתמטית

רשת של קווים על משטח שנוצרו על ידי שתי משפחות של קווים כך שבכל נקודה על פני השטח לקווי הרשת של משפחות שונות יש כיוונים מצומדים. אם רשת הקואורדינטות היא מערכת קואורדינטות, אז המקדם M של הצורה הריבועית השנייה... ... אנציקלופדיה מתמטית

SO 34.21.308-2005: הנדסה הידראולית. מושגי יסוד. מונחים והגדרות- טרמינולוגיה SO 34.21.308 2005: הנדסה הידראולית. מושגי יסוד. מונחים והגדרות: 3.10.28 נמל: אזור מים מוגבל על ידי סכרי הגנה על גלים בבריכה העליונה של מתחם הידרואלקטרי, מצויד בהתקני עגינה ונועד להכיל ... מילון-ספר עיון במונחים של תיעוד נורמטיבי וטכני

I I. היסטוריה של התפתחות מסילות ברזל. מסילת הברזל, בצורה שבה היא קיימת כיום, לא הומצאה מיד. שלושת המרכיבים, מרכיביו, מסילת הרכבת, אמצעי התחבורה והכוח המניע, עברו כל אחד שלב פיתוח נפרד,... ... מילון אנציקלופדי F.A. ברוקהאוז ואי.א. אפרון

שָׂכָר- (שכר) האמצעי החשוב ביותר להגברת העניין של העובדים השתתפות העובדים בחלק מהטבות החומריות והרוחניות החדשות שנוצרו תוכן תוכן. > שָׂכָר- זהו האמצעי החשוב ביותר להגברת העניין... ... אנציקלופדיית משקיעים

גִוּוּן- (גיוון) גיוון היא גישת השקעה שמטרתה להפחית שווקים פיננסייםקונספט, שיטות ויעדים עיקריים של פיזור ייצור, סיכונים עסקיים ופיננסיים בשווקי המטבע, המניות והסחורות תוכן... ... אנציקלופדיית משקיעים

XIII. ענייני פנים (1866-1871). ב-4 באפריל 1866, בשעה ארבע אחר הצהריים, ישב הקיסר אלכסנדר, לאחר טיול שגרתי בגן הקיץ, בכרכרה כאשר אלמוני ירה בו באקדח. באותו רגע, עומד ב... אנציקלופדיה ביוגרפית גדולה

מסמכים דומים

התחשבות באפקטיביות של יישום שיטות עונשין, אופטימיזציה בלתי מוגבלת, כיוונים מצומדים וירידה בשיפוע התלול ביותר לפתרון הבעיה של מציאת הקיצון (המקסימום) של פונקציה של מספר משתנים בנוכחות אילוץ שוויון.

מבחן, נוסף 16/08/2010


ניתוח משפטי פונקטורים מצומדים. טרנספורמציה טבעית כמשפחה של מורפיזמים. מאפיינים של מאפיינים של קטגוריות משנה רפלקטיביות. מבוא לחצים אוניברסליים. התחשבות בתכונות השיטה לבניית פונקציות מצומדות.

עבודה בקורס, נוסף 27/01/2013


טכניקת טרנספורמציה סיבובית ומשמעותה בפתרון מערכות אלגבריות של משוואות. השגת המטריצה ​​המתקבלת. טרנספורמציות אורתוגונליות על ידי השתקפות. שיטות איטרטיביות עם מזעור שיורי. פתרון בשיטה של ​​כיוונים מצומדים.

תקציר, נוסף 14/08/2009


שיטות לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות, מאפייניהן ו תכונות ייחודיות, תכונות ותחומי יישום. מבנה שיטת האורתוגונליזציה ושיטת הגרדיאנט המצומד, זניהן ותנאיהן, שלבי יישום מעשי.

עבודה בקורס, נוסף 10/01/2009


שיטות מספריות לחיפוש קיצון ללא תנאי. בעיות מזעור בלתי מוגבלות. חישוב המינימום של פונקציה בשיטת ירידת הקואורדינטות. פתרון בעיות תכנות ליניאריות בשיטות גרפיות ופשוטות. עבודה עם תוכנית MathCAD.

עבודה בקורס, נוסף 30/04/2011


היווצרות פונקציית לגראנז', תנאי קון וטאקר. שיטות אופטימיזציה מספרית ותרשימי זרימה. יישום שיטות של פונקציות עונשין, נקודה חיצונית, ירידה בקואורדינטות, צימוד גרדיאנטים להפחתת בעיות אופטימיזציה מותנית לבלתי מותנית.

עבודה בקורס, נוסף 27/11/2012


מודל מתמטימשימות. פתרון בעיית ההובלה בשיטת הפוטנציאל. ערך פונקציה אובייקטיבית. מערכת המורכבת מ-7 משוואות עם 8 לא ידועים. פתרון בעיות בצורה גרפית. בחירת חצי המישור המתאים לאי השוויון.

מבחן, נוסף 06/12/2011


שיטות למציאת המינימום של פונקציה של משתנה אחד ופונקציה של משתנים רבים. פיתוח תוכנה לחישוב המינימום המקומי של פונקציית הימלבלוי בשיטת ירידת הקואורדינטות. מציאת המינימום של פונקציה בשיטת חתך הזהב.

עבודה בקורס, נוסף 10/12/2009


פתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות בשיטת איטרציה פשוטה. אינטרפולציה פולינומית של פונקציה בשיטת ניוטון עם הבדלים מחולקים. קירוב ריבועי ממוצע של פונקציה. אינטגרציה מספרית של פונקציות בשיטת גאוס.

עבודה בקורס, נוסף 14/04/2009


מידע בסיסי על שיטת הסימפלקס, הערכת תפקידה ומשמעותה בתכנות ליניארי. פרשנות גיאומטרית ומשמעות אלגברית. מציאת המקסימום והמינימום של פונקציה לינארית, מקרים מיוחדים. פתרון הבעיה בשיטת המטריצה ​​סימפלקס.

שלב 1: הגדר את נקודת ההתחלה איקס(0) ומערכת נכיוונים עצמאיים באופן ליניארי; ייתכן ש s (i) = ה (i) i = 1, 2, 3,..., נ.

שלב 2: מזער f(x)עם תנועה רציפה לאורך ( נ+1) כיוונים; במקרה זה, נקודת המינימום שהושגה קודם לכן נלקחת כנקודת ההתחלה, והכיוון s(N)בשימוש הן בחיפוש הראשון והן בחיפוש האחרון.

שלב 3: הגדר את כיוון המצומד החדש באמצעות תכונת המשנה המקבילה המוכללת.

שלב 4. החלף ס(ל) על ס(2) וכו'. החלף את ס' (נ)כיוון מצומד. עבור לשלב 2.

על מנת ליישם את השיטה המוצגת בפועל, יש להוסיף לה נהלים לבדיקת התכנסות ועצמאות ליניארית של מערכת הכיוון. בדיקת עצמאות ליניארית חשובה במיוחד במקרים בהם הפונקציה f(x)אינו ריבועי.

משיטת בניית האלגוריתם עולה שבמקרה שבו פונקציית המטרה היא ריבועית ובעלת מינימום, נקודת המינימום נמצאת כתוצאה מהיישום נמחזורים כולל שלבים 2, 3 ו-4, שבו נ- מספר משתנים. אם הפונקציה אינה ריבועית, אז יותר מ נמחזורים. יחד עם זאת, ניתן לתת הוכחה קפדנית לכך שתחת כמה הנחות, השיטה של ​​פאוול מתכנסת לנקודת מינימום מקומית עם סופר ליניארימהירות (ראה הגדרה למטה).

מהירות התכנסות. השיטה הנבחנת מאפשרת לבנות רצף של נקודות x(k) ,שמתכנס לפתרון איקס*.השיטה נקראת מִתכַּנֵס,אם אי שוויון

≤ 1, כאשר (3.39)

= איקס - איקס*, (3.40)

מבוצע בכל איטרציה. מאז חישובים בדרך כלל פועלים עם סופי עשרונים, אפילו האלגוריתם היעיל ביותר דורש רצף אינסופי של איטרציות. לכן, עניין עיקרי הוא המאפיינים האסימפטוטיים של התכנסות השיטות הנחקרות. נגיד שלאלגוריתם יש התכנסות של סדר ר(ראה) אם

, (3.41)

איפה עם- ערך קבוע. מנוסחה (3.39) עולה כי מתי ר= 1, אי השוויון C ≤ 1 מתקיים אם ר= 1או ר= 2, אז האלגוריתם מאופיין ליניאריאוֹ שיעור התכנסות ריבועיבהתאמה. בְּ ר= 1i עם= 0 אלגוריתם מאופיין סופר ליניארימהירות ההתכנסות.

דוגמה 3.6. שיטת הכיוונים המצומדים של פאוול

מצא את נקודת המינימום של פונקציה

f(x) = 2x + 4x x – 10x איקס+ איקס,

אם ניתנת נקודת ההתחלה איקס(0) = T, שבו ו(איקס (0)) = 314.

שלב 1. ס(1) = T, ס(2) = T.

שלב 2. (א) מצא ערך של λ שבו

ו (איקס (0) + λ ס(2)) ← דקות

אנחנו מקבלים: λ* - 0.81, מאיפה

איקס(ל) = ט - 0,81 ט = ט, ו(איקס(ל)) = 250.

(ב) הבה נמצא ערך של λ עבורו ו (איקס(1) + λ ס(1)) ← דקות

λ* = – 3,26, איקס (2) = ט,ו(איקס (2)) = 1.10.

(ג) הבה נמצא ערך של λ עבורו ו (איקס(2) + λ ס(2)) ← דקות

λ* = – 0.098, איקס (3) = ט,ו(איקס (3)) = 0.72.

שלב 3. שים ס (3) = x (3) - איקס (1) = [-3.26,-0.098]ט. אחרי נורמליזציה אנחנו מקבלים

ס (3) = = [– 0,99955, – 0,03]ט.

נניח s (1) = s (2), s (2) = s (3) ונעבור לשלב 2 של האלגוריתם.

שלב 4. מצא ערך של λ שבו ו (איקס(3) + λ ס(2)) ← דקות

λ* = – 0.734, איקס (4) = ט,ו(איקס (4)) = – 2,86.

הערה.אם f(x)הייתה פונקציה ריבועית, אז הנקודה המתקבלת תהיה פתרון לבעיה (אם נזניח את שגיאת העיגול). במקרה זה, יש להמשיך באיטרציות עד לקבלת פתרון.

כיווני החיפוש שהתקבלו במהלך יישום השיטה מוצגים באיור. 3.13.

תוצאות ניסויים חישוביים מצביעות על כך שהשיטה של ​​פאוול (בתוספת נוהל לבדיקת התלות הליניארית של כיוונים) אמינה לפחות כמו שיטות חיפוש ישיר אחרות, ובמקרים מסוימים היא יעילה משמעותית יותר. לכן, הבעיה של בחירת אלגוריתם חיפוש ישיר נפתרת לרוב (ובצדק) לטובת שיטת פאוול.

בכך מסתיים השיקול של שיטות לחיפוש ישיר אחר פתרונות בבעיות אופטימיזציה בלתי מוגבלות. הסעיף הבא מתאר שיטות המבוססות על שימוש בנגזרים.

שיטות הדרגתיות

הסעיף הקודם דן בשיטות המאפשרות לקבל פתרון לבעיה על בסיס שימוש רק בערכי הפונקציה האובייקטיבית. אין ספק בחשיבותן של שיטות ישירות, שכן במספר בעיות הנדסיות הנדסיות מידע על ערכי הפונקציה האובייקטיבית הוא המידע האמין היחיד שיש לחוקר.

f(x) = 2x + 4x x – 10x איקס+ איקס

אורז. 3.13. פתרון הבעיה מדוגמה 3.6 באמצעות שיטת הכיוונים המצומדים של פאוול.

מצד שני, כשמשתמשים אפילו בשיטות הישירות היעילות ביותר, השגת פתרון דורשת לפעמים מאוד מספר גדול שלחישובים של ערכי פונקציות. נסיבות אלו, יחד עם הרצון הטבעי לחלוטין לממש את האפשרות למצוא נקודות נייחות [כלומר. כלומר נקודות המקיימות את התנאי ההכרחי מסדר ראשון (3.15א)] מובילות לצורך לשקול שיטות המבוססות על שימוש בשיפוע של פונקציית האובייקטיב. שיטות אלו הינן איטרטיביות בטבען שכן מרכיבי הגרדיאנט מתגלים כפונקציות לא ליניאריות של משתנים מבוקרים.

בהמשך מניחים ש f(x), f(x)ו f(x)קיימים והם מתמשכים. שיטות המשתמשות בנגזרת ראשונה ושנייה נדונות רק בקצרה ובעיקר ביחס לשיטות שימושיות יותר. תשומת לב מיוחדת מוקדשת להצגה מפורטת של שיטות שיפועים מצומדים,שמבוססות על המושג צימוד של כיוונים שהוצג לעיל, ועל מה שנקרא שיטות קוואזי ניוטון, הדומות לשיטת ניוטון, אך משתמשות רק במידע על הנגזרות הראשונות. ההנחה היא שניתן לכתוב את רכיבי הגרדיאנט בצורה אנליטית או לחשב בדיוק גבוה מספיק באמצעות שיטות מספריות. בנוסף, נשקללות שיטות לקירוב מספרי של שיפועים." כל השיטות המתוארות מבוססות על הליך איטרטיבי המיושם בהתאם לנוסחה

x = x +α ס(איקס) (3.42)

איפה איקס-הגישה הנוכחית לפתרון איקס*; α - פרמטר המאפיין את אורך הצעד; ס(איקס) = s -כיוון חיפוש פנימה N-ממדמרחב של משתנים מבוקרים x i, i = 1, 2, 3,..., נשיטת קביעה s(x)ו-α בכל איטרציה קשור לתכונות השיטה שבה נעשה שימוש. בדרך כלל הבחירה של α מבוצע על ידי פתרון בעיית המיזעור f(x)בכיוון ס(איקס). לכן, בעת יישום השיטות הנחקרות, יש צורך להשתמש באלגוריתמי מזעור חד מימדיים יעילים.

3.3.1. שיטת קאוצ'י

הבה נניח זאת בשלב מסוים מרחב של משתנים מבוקרים, יש צורך לקבוע את כיוון הירידה המקומית המהירה ביותר, כלומר, הירידה המקומית הגדולה ביותר בפונקציית המטרה. כמו קודם, אנו מרחיבים את הפונקציה האובייקטיבית בשכנות לנקודה סדרת טיילור

f(x) = f()+ f() ∆x+… (3.43)

ולבטל מונחים מסדר שני ומעלה. קל לראות שהירידה המקומית בפונקציית המטרה נקבעת על ידי האיבר השני, מאז הערך f()תוקן. ההפחתה הגדולה ביותר וקשורה לבחירה של כיוון כזה ב (3.42), המתאים לגדול ביותר שליליהערך של המוצר הסקלרי המופיע כמונח השני של ההרחבה. מהמאפיין של המוצר הסקלרי נובע שהבחירה שצוינה מובטחת מתי

s() = – f(),(3.44)

והקדנציה השנייה תקבל את הצורה

–α ו() ו().

המקרה הנחשב מתאים לירידה המקומית התלולה ביותר. לכן, בעצם שיטת השיפוע הפשוטה ביותרטמונה הנוסחה

x = x –α ו(איקס), (3.45)

כאשר α הוא פרמטר חיובי נתון. לשיטה יש שני חסרונות: ראשית, יש צורך לבחור ערך מתאים של α , ושנית, השיטה מאופיינת בהתכנסות איטית לנקודת המינימום בשל הקטנות ובקרבת נקודה זו.

לפיכך, רצוי לקבוע את הערך של α בכל איטרציה

x = x –α ו(איקס), (3.46)

הערך של α מחושב על ידי פתרון בעיית המיזעור ו (איקס(k +1)) לאורך הכיוון ו(איקס) באמצעות שיטת חיפוש חד מימדית כזו או אחרת. שיטת השיפוע הנבחנת נקראת שיטת הירידה התלולה ביותר, או שיטת קאוצ'י,שכן קאוצ'י היה הראשון שהשתמש באלגוריתם דומה כדי לפתור מערכות של משוואות ליניאריות.

חיפוש לאורך קו ישר בהתאם לנוסחה (3.46) מספק אמינות גבוהה יותר של שיטת Cauchy בהשוואה לשיטת הגרדיאנט הפשוטה ביותר, אולם מהירות ההתכנסות שלה בעת פתרון הסדרה בעיות מעשיותנשאר נמוך באופן בלתי מתקבל על הדעת. זה די מובן, שכן שינויים במשתנים תלויים באופן ישיר בערך הגרדיאנט, השואף לאפס בקרבת נקודת המינימום, ואין מנגנון להאצת התנועה לעבר נקודת המינימום באיטרציות האחרונות. אחד היתרונות העיקריים של שיטת קאוצ'י קשור ליציבותה. לשיטה יש רכוש חשוב, אשר טמונה בעובדה שעם אורך צעד קטן מספיק, איטרציות מבטיחות את הגשמת אי השוויון

ו (איקס) ≤ ו (איקס). (3.47)

בהתחשב בתכונה זו, נציין כי שיטת Cauchy, ככלל, מאפשרת להפחית משמעותית את הערך של פונקציית המטרה כאשר נעים מנקודות הממוקמות במרחק משמעותי מנקודת המינימום, ולכן היא משמשת לעתים קרובות בעת יישום שיטות שיפוע כהליך ראשוני. לבסוף, באמצעות שיטת Cauchy כדוגמה, אנו יכולים להדגים טכניקות בודדות המשמשות בעת יישום אלגוריתמים שונים של גרדיאנט.

דוגמה 3.7. שיטת קאוצ'י

שקול את הפונקציה

f(x) = 8x + 4x x + 5x

ולהשתמש בשיטת Cauchy כדי לפתור את בעיית המינימום שלו.

פִּתָרוֹן. קודם כל, בואו נחשב את מרכיבי השיפוע

= 16x + 4x, = 10x + 4x.

על מנת ליישם את שיטת הירידה התלולה ביותר, אנו קובעים את הקירוב הראשוני

איקס (0) = ט

ובאמצעות נוסחה (3.46) אנו בונים קירוב חדש

x = x-α ו(איקס)

f(x) = 8x + 4x x + 5x

אורז. 3.14. איטרציות בשיטת Cauchy בשיטת האינטרפולציה הריבועית.

טבלה 3.1.תוצאות חישוב בשיטת Cauchy

הבה נבחר α בדרך ש ו (איקס(1)) ← דקה; α = 0.056. לָכֵן, איקס (1) = [– 1,20, 2.16]טבהמשך נמצא את הנקודה

x = x –α ו(איקס),

חישוב השיפוע בנקודה מסוימת איקסוחיפוש בקו ישר.

טבלה 3.1 מציגה את הנתונים שהתקבלו במהלך איטרציות על בסיס חיפוש חד מימדי בשיטת האינטרפולציה הריבועית. רצף הנקודות שהושגו מוצג באיור. 3.14.

למרות שלשיטת Cauchy יש מעט ערך מעשי, היא מיישמת את השלבים החשובים ביותר של רוב שיטות ההדרגתיות. דיאגרמת הבלוק של אלגוריתם Cauchy מוצג באיור. 3.15. שימו לב שהאלגוריתם מסתיים כאשר מודול הגרדיאנט או מודול וקטור ∆xהופך קטן למדי.

אורז. 3.15. תרשים זרימה של שיטת Cauchy.

3.3.2. שיטת ניוטון

קל לראות ששיטת Cauchy משתמשת באסטרטגיית החיפוש המקומית "הטובה ביותר" באמצעות גרדיאנט. עם זאת* תנועה בכיוון המנוגד לשיפוע מובילה לנקודת המינימום רק במקרה שבו קווי רמת הפונקציה ומייצגים מעגלים. לפיכך, הכיוון המנוגד לשיפוע הוא, באופן כללי, לֹאעשוי לשמש כמקובל גלוֹבָּלִיכיוון חיפוש אחר נקודות אופטימליות של פונקציות לא ליניאריות. שיטת Cauchy מבוססת על קירוב ליניארי רציף של הפונקציה האובייקטיבית ודורשת חישוב של ערכי הפונקציה והנגזרות הראשונות שלה בכל איטרציה. על מנת לבנות אסטרטגיית חיפוש כללית יותר, יש להשתמש במידע על הנגזרות השניות של פונקציית המטרה.

הבה נרחיב שוב את הפונקציה האובייקטיבית לסדרת טיילור

f(x)=f(x)+ f(x) ∆x+½∆x f(x)∆x+O(∆x³).

אם נזרוק את כל מונחי ההתרחבות מהסדר השלישי ומעלה, נקבל קירוב ריבועי f(x):

(x; x) = f(x) + f(x) T ∆x + ½∆x f(x)∆x,(3.48)

איפה (x;x)- פונקציה מתקרבתמִשְׁתַנֶה איקס,נבנה בנקודה מסוימת איקס.מבוסס על הקירוב הריבועי של הפונקציה f(x)הבה ניצור רצף של איטרציות בצורה כזו שבנקודה החדשה שהושגה איקסמִדרוֹן מתקרבהפונקציות הגיעו לאפס. יש לנו

(x;x) = + f(x)+ f(x) = 0, (3.49)

השיטה מתמקדת בפתרון בעיות עם פונקציות אובייקטיביות ריבועיות ומבוססת על תוצאות תיאורטיות בסיסיות. למרות שאלגוריתמים מהעולם האמיתי יעילים עבור פונקציות אובייקטיביות ריבועיות עשויים שלא לתפקד היטב עבור פונקציות אובייקטיביות מורכבות יותר, גישה זו עדיין נראית סבירה.

הַגדָרָה. בואו להיות מטריצה ​​סימטרית של סדר
. וקטורים
נקראים
- מצומד, אם הם בלתי תלויים ליניארית והתנאי מתקיים
בְּ-
.

דוגמא.שקול את הפונקציה

בתור מטריצה
אתה יכול לקחת את המטריצה ​​ההסיאנית

.

כאחד הכיוונים שנבחר
. ואז הכיוון
חייב לספק שוויון

.

יש לציין כי הכיוונים המצומדים נבחרים באופן דו-משמעי. עם זאת, אם נוסיף תנאי נורמליזציה, ניתן לקבוע אותם באופן חד משמעי:

הַצהָרָה. כל פונקציה ריבועית ניתן למזער משתנים שיש להם מינימום שלבים, בתנאי שהחיפוש יתבצע לאורך כיוונים מצומדים ביחס למטריצה ​​ההסיאנית.

פונקציה שרירותית יכולה להיות מיוצגת די טוב בסביבה של הנקודה האופטימלית על ידי הקירוב הריבועי שלה. לכן, כיוונים מצומדים יכולים להיות שימושיים לאופטימיזציה שלו. עם זאת, יותר מ צעדים. כדי לקבוע כיוונים מצומדים, נעשה שימוש בשיטה המבוססת על ההצהרה הבאה.

הַצהָרָה. תן פונקציה ריבועית
, שתי נקודות שרירותיות
וכיווןס..אם נקודה היא נקודת המינימום של הפונקציה
לאורך הכיווןסמנקודה , א - נקודת המינימום של הפונקציה לאורך הכיווןסמנקודה
, ואז הכיוון
קשור לכיווןס.

אַלגוֹרִיתְם.

שלב 1.הגדר נקודת התחלה ומערכת כיוונים עצמאיים באופן ליניארי
(ייתכן שהם עולים בקנה אחד עם הכיוונים של צירי הקואורדינטות). צמצם את הפונקציה
עם תנועה רציפה לאורך כיוונים; שימוש בסוג של חיפוש חד מימדי; ולקחת את נקודת המינימום שהושגה קודם לכן כנקודת ההתחלה.

שלב 2.בצע שלב נוסף
, המתאים לתנועה השלמה בשלב 1. חשב את הנקודה
(איור 12). בדוק את הקריטריון (*) להכללת כיוון חדש במערכת הכיוונים המצומדים.

שלב 3.לתת – הירידה הגדולה ביותר בתפקוד האובייקטיבי באחד הכיוונים
:

ו האם הכיוון מתאים .

אם מתקיימים התנאים

(*)

לאחר מכן המשך בחיפוש לפי הכיוונים המקוריים
מנקודה
אוֹ
(מהנקודה שבה ערך הפונקציה קטן יותר).

שלב 4.אם תנאים לא מתקיימים, ואז למזער את הפונקציה
לאורך הכיוון
. קחו את נקודת המינימום הזו כנקודת ההתחלה בשלב הבא. בשלב זה, השתמש במערכת הפניות

הָהֵן. כיוון הוחלף על ידי , שאמור להיות ממוקם בעמודה האחרונה של מטריצת הכיוון.

שלב 5.אם
, אז נמצא המינימום. IN אחרתלהשלים את שלב 1.

דוגמא.לחיצה על האייקון תפתח מסמך שיטת כיוון מצומד Mathcad בו תוכלו לבצע חישובים.

מזעור פונקציה

שיטת כיוונים מצומדים

זה אולי נראה לא הגיוני לזרוק את הכיוון הטוב ביותר של האיטרציה הנוכחית ולהתקין כיוון מבטיח חדש אחרון במקום ראשון. עם זאת, לא קשה לראות שסביר להניח שהכיוון המוצלח ביותר מיצה את עצמו, וכיוון חדש ומבטיח זה עתה שימש לאופטימיזציה חד-ממדית ואין טעם ליישם אותו מיד, כי פשוט לא תהיה התקדמות .

פאוול הוכיח כי הקובע של מטריצת הכיוון לוקח ערך מקסימלי אם ורק אם הכיוונים ,
מצומדים ביחס למטריצה ​​ההסיאנית. הוא הגיע למסקנה שכיוון של תנועה מלאה צריך להחליף את הקודם רק אם כיוון זה מגדיל את הקובע של מטריצת הכיוון, שכן רק אז מערך הכיוונים החדש יהיה יעיל.

הוכח שהפרוצדורה של פאוול מתכנסת לנקודה שבה השיפוע הוא אפס אם הפונקציה האובייקטיבית קמורה לחלוטין. נקודה זו היא מינימום מקומי. השיטה רגישה מאוד לאופן שבו הכיוונים המצומדים בנויים ולכן תלויה בדיוק של החיפוש החד מימדי בו נעשה שימוש. פאוול הציע להשתמש ברצף של אינטרפולציות ריבועיות עם הליך מיוחד לכוונון הפרמטרים של החיפוש הליניארי הזה. עם זאת, מחקרים מספריים הראו שאין להשתמש בשיטת הכיוון המצומד של פאוול עבור ממדים גדולים מ-20.

לסיום המחקר של שיטות משוערות לחיפוש הקיצוני של ה-FMF ללא הגבלות, הבה נבחן את שיטת הכיוונים המצומדים, אשר צוברת יותר ויותר פופולריות בפועל.

ראשית אנו נותנים את המושג צימוד. תנו לנו שני כיוונים, המאופיינים בוקטורים ו . הוראות הגעה ו נקראים מצומדים ביחס למטריצה ​​מוגדרת חיובית H אם היחס

, (7)

עם מתח קשור לאורתוגונליות. אם H היא מטריצת הזהות, אז מתי
יש לנו שני וקטורים מאונכים זה לזה. ניתן לפרש את היחס (7) באופן הבא: מטריצה ​​H מוחלת על הווקטור , משנה את אורכו ומסובב אותו בזווית כלשהי כך שהווקטור החדש
חייב להיות אורתוגונלי לווקטור .

באמצעות שיטת הכיוונים המצומדים, נמצא את הקיצון של פונקציה ניתנת להפרדה עם נקודה ראשונית
.

1) מתבצעת בחירה ובכיוון הזה מחפשים קיצון.

בואו ניקח וקטור עם כיוונים ו . וֶקטוֹר ניתן לבחור באופן שרירותי, אז בואו ניקח ==1. וֶקטוֹר נותן את הכיוון L 1.

הבה נצייר מישור דרך L 1 בניצב למישור (x 1, x 2). המישור יחצה את המשטח הקיצוני y(x 1, x 2) ויבליט קו קיצוני עליו. בואו נקבע את הקואורדינטות של המינימום על הישר הזה (פרבולה), שעבורה אנו מחשבים את תחזיות השיפוע בנקודה x 0:

,

ובאמצעות נוסחה (6) אנו מוצאים :

באופן טבעי, הישר L 1 נוגע בנקודה x (1) בקו של רמה שווה של הפונקציה y.

2) חיפשוממצב הצימוד
.

נקבל את הווקטור המצומד עם תחזיות
ו
, באמצעות נוסחה (7):

פ
השגנו משוואה אחת עם שני לא ידועים. כי אנחנו צריכים רק את הכיוון של הווקטור , ולא את אורכו, אז ניתן לציין את אחד מהלא ידועים באופן שרירותי. לתת
=1, אם כן
= –4.

3) מנקודה x (1) בכיווןמחפשים קיצון.

הווקטור המצומד חייב לעבור דרך x(1). בואו ניקח צעד בכיוון המצומד:

גודל צעד  (1) ב-x (1):

,

אז, בשתי איטרציות נמצא הערך המדויק של הקיצון של הפונקציה y. בתור הווקטור הראשון ניתן היה לבחור שיפוע בנקודת ההתחלה, הליך החיפוש נשאר זהה.

במתמטיקה, מוכח ששיטת הכיוון המצומד מתכנסת לפונקציות ריבועיות בלא יותר מ- n איטרציות, כאשר n הוא מספר המשתנים. נסיבות אלו חשובות במיוחד לתרגול, ולכן יותר ויותר משתמשים בשיטה זו.

עבור פונקציות של צורה כללית יותר, השיטה של ​​כיוונים מצומדים עדיין בפיתוח. הקושי העיקרי כאן הוא שהמטריקס ההסיאני מתגלה כפונקציונלי, כלומר. מכיל משתנה.

בעיית קיצון מותנית בלגראנג' קלאסית (אילוצי שוויון).

פ
תן את הפונקציה האובייקטיבית
ואילוץ שוויון (משוואת חיבור)
. אנחנו צריכים למצוא את המינימום
על סט
. אנו מאמינים כי הפונקציות
ו
בעלי נגזרות ראשונות מתמשכות והם קמורים או קעורים.

הבה נבחן את הפרשנות הגיאומטרית של הבעיה הקלאסית. במישור (x 1 ,x 2 ) אנו בונים פונקציה
, כמו גם קווים ברמת פונקציה שווה
עם ערכים N 1 , לקו N 3 יש 2 נקודות משותפות איתן
והם לא יכולים להוות פתרון לבעיה, שכן N 3 >N 2 . מה שנותר הוא קו הרמה N 2, שיש לו נקודת נגיעה אחת עם
. ייתכן שהמינימום המוחלט N 0 אינו שייך לאילוץ
ולכן לא יכול להוות פתרון לבעיה. מכאן שהשם "אקסטרים מותנה" ברור, כלומר. קיצוניות כזו המושגת רק תחת מגבלות נתונות.

בנקודת המגע
עם פונקציה
נצייר קו משיק L. בואו נחדד את מעברי הפונקציה
ו
בנקודת המגע, הם ישכבו על אותו קו, כי שניהם מאונכים ל-L ומכוונים לכיוונים שונים. הבה נקבע את תחזיות השיפועים על צירי x1 ו-x2 בנקודת המשיכה:

מהדמיון של משולשים נוכל לכתוב:

– מכפיל לגראנז'.

אוֹ

כעת נרכיב את הפונקציה
בצורה הבאה:

- פונקציית לגרנז'.

נרשום את היחסים למציאת הקיצון של הפונקציה F.

כפי שניתן לראות, השגנו את אותם קשרים שהתקבלו על סמך הפרשנות הגיאומטרית של הבעיה. הקבוע  נקרא מכפיל לגראנז'. בעזרת מכפיל זה מצטמצמת בעיית הקיצון המותנית לבעיית הקיצון הבלתי מותנית.

באופן כללי, אנו מתייחסים למספר המשתנים להיות n, ומספר ההגבלות הוא m. אז הפונקציה לגראנז' תיכתב כך:

או בצורה וקטורית

כדי לפתור את הבעיה נכתבת מערכת משוואות:

, (8)

הָהֵן. עבור n+m משתנים יהיו לנו n+m משוואות. אם המערכת עקבית, אז לבעיית לגראנז' יש פתרון ייחודי.

כי כדי לקבוע את הקיצון, נעשה שימוש רק בנגזרות הראשונות, ואז התנאים המתקבלים יהיו הכרחיים בלבד. אם הפונקציות
ו
קמור או קעור, אז יש רק קיצון מותנה אחד. אם אחת הפונקציות אינה קמורה, ייתכן שהקיצוני אינו היחיד. בנוסף, נותרת השאלה האם מה שנמצא הוא מינימום או מקסימום, למרות שבפרקטיקה ההנדסית זה בדרך כלל ברור משיקולים פיזיים.

דוגמא:נציג את הטכניקה לפתרון הבעיה בשיטת לגרנז'.

ד
עבור הדוגמה לעיל עם שתי משאבות, נפח הנוזל הנשאב מצוין:

עם מגבלה זו, יש צורך למצוא את צריכת החשמל של המשאבות
. תנו למקדמים להיות  1 = 2 =1, K 1 =1, K 2 =1.5. ואז פונקציית המטרה היא למצוא את המינימום תחת האילוץ:.

הליך פתרון:

קומפילציה של פונקציית Lagrange

מערכת משוואות (8) מורכבת:

Q i נכתבים דרך  ומוחלפים בביטוי השלישי:

,
,
,

אז הקואורדינטות של הקיצון הן:

,

דוגמה 2:

תן חיבור סדרתי של מדחסים.
נקבע יחס הדחיסה הנדרש: אשר יש להבטיח בצריכת חשמל מינימלית:

2.

3.
,
, תחליף לתוך הביטוי עבור :

,
,
. מסיבות פיזיקליות, נפטר מהשורש החיובי, לכן  = –0.98.

אז הקואורדינטות של הקיצון הן:

,

כפי שניתן לראות מהדוגמאות שניתנו, כאשר פותרים את בעיית לגרנז', אנו מקבלים בדרך כלל מערכת של משוואות לא ליניאריות, שלעתים קשה לפתור אותה בצורה אנליטית. לכן, מומלץ להשתמש בשיטות משוערות לפתרון בעיית לגרנז'.