Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme et examinerons divers exemples tirés du manuel. Rappelons les règles de multiplication des puissances avec les mêmes bases. Définissons la forme standard d'un monôme, le coefficient du monôme et sa partie lettre. Considérons deux principales opérations typiques sur les monômes, à savoir la réduction à une forme standard et le calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données des variables littérales qui y sont incluses. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Apprenons à résoudre des problèmes standard avec n'importe quel monôme.
Sujet:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes
Leçon:Le concept de monôme. Forme standard du monôme
Prenons quelques exemples :
3. 
;
Trouvons des caractéristiques communes aux expressions données. Dans les trois cas, l’expression est le produit de nombres et de variables élevés à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition du monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de puissances et de nombres.
Donnons maintenant des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :
Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Cela consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7, il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, tandis que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, il n'y a pas ces opérations.
Voici quelques exemples supplémentaires :
L'expression numéro 8 est un monôme car elle est le produit d'une puissance et d'un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.
Maintenant, découvrons actions sur les monômes .
1. Simplification. Regardons l'exemple n°3 ;et exemple n°2 /
Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient - , chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " UN" est représenté en un seul exemplaire par "", de même, les variables "" et "" n'apparaissent qu'une seule fois.
Dans l'exemple n°3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et , on voit la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même, la variable "" apparaît deux fois. Autrement dit, cette expression devrait être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard . Pour ce faire, nous allons réduire l'expression de l'exemple 3 à la forme standard, puis nous définirons cette opération et apprendrons comment réduire n'importe quel monôme à la forme standard.
Alors, prenons un exemple :
La première action dans l’opération de réduction à la forme standard est toujours de multiplier tous les facteurs numériques :
;
Le résultat de cette action sera appelé coefficient du monôme .
Ensuite, vous devez multiplier les pouvoirs. Multiplions les puissances de la variable " X"selon la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, qui stipule que lors de la multiplication, les exposants s'ajoutent :
Maintenant multiplions les pouvoirs" à»:
;
Voici donc une expression simplifiée :
;
Tout monôme peut être réduit à une forme standard. Formulons règle de normalisation :
Multipliez tous les facteurs numériques ;
Placez le coefficient résultant en premier lieu ;
Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre ;
Autrement dit, tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. Pour l’avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.
Maintenant, nous devons travailler technique pour réduire les monômes à la forme standard . Considérez des exemples tirés du manuel :
Devoir : mettre le monôme sous forme standard, nommer le coefficient et la partie lettre.
Pour mener à bien cette tâche, nous utiliserons la règle de réduction d'un monôme à une forme standard et les propriétés des puissances.
1. 
;
3. 
;
Commentaires sur le premier exemple: Déterminons d'abord si cette expression est bien un monôme ; pour ce faire, vérifions si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme puisque la condition ci-dessus est satisfaite. Ensuite, selon la règle de réduction d'un monôme à une forme standard, on multiplie les facteurs numériques :
- nous avons trouvé le coefficient d'un monôme donné ;
; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est obtenue :;
Écrivons la réponse : ;
Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle que nous effectuons :
1) multiplier les facteurs numériques :
2) multiplier les puissances :
Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :
Écrivons la réponse :
;
Dans cet exemple, le coefficient du monôme est égal à un et la partie lettre est .
Commentaires sur le troisième exemple : a Semblable aux exemples précédents, nous effectuons les actions suivantes :
1) multiplier les facteurs numériques :
;
2) multiplier les puissances :
;
Écrivons la réponse : ;
Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre 
.
Considérons maintenant deuxième opération standard sur les monômes . Puisqu'un monôme est une expression algébrique composée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous disposons d'une expression numérique arithmétique qui doit être évaluée. Autrement dit, la prochaine opération sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .
Regardons un exemple. Monôme donné :
ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie lettre
Nous avons dit plus tôt qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qui y sont incluses peuvent être quelconques ; c'est une caractéristique du monôme.
Ainsi, dans l'exemple donné, vous devez calculer la valeur du monôme en , , , .
Les informations de base sur les monômes contiennent la précision que tout monôme peut être réduit à une forme standard. Dans le matériel ci-dessous, nous examinerons cette question plus en détail : nous exposerons le sens de cette action, définirons les étapes qui nous permettent de définir la forme standard d'un monôme, et également consoliderons la théorie en résolvant des exemples.
La signification de réduire un monôme à la forme standard
L'écriture d'un monôme sous forme standard facilite son utilisation. Souvent, les monômes sont spécifiés sous une forme non standard, et il devient alors nécessaire d'effectuer des transformations identiques pour amener le monôme donné sous une forme standard.
Définition 1
Réduire un monôme à la forme standard est l'exécution d'actions appropriées (transformations identiques) avec un monôme afin de l'écrire sous forme standard.
Méthode pour réduire un monôme à la forme standard
De la définition, il résulte qu'un monôme de forme non standard est un produit de nombres, de variables et de leurs puissances, et que leur répétition est possible. À son tour, un monôme de type standard ne contient dans sa notation qu'un seul nombre et des variables non répétitives ou leurs puissances.
Pour mettre un monôme non standard sous forme standard, vous devez utiliser ce qui suit règle pour réduire un monôme à la forme standard:
- la première étape consiste à regrouper les facteurs numériques, les variables identiques et leurs puissances ;
- la deuxième étape consiste à calculer les produits des nombres et à appliquer la propriété des puissances de bases égales.
Exemples et leurs solutions
Exemple 1Étant donné un monôme 3 x 2 x 2 . Il est nécessaire de le ramener à une forme standard.
Solution
Regroupons les facteurs numériques et les facteurs de variable x, le monôme donné prendra donc la forme : (3 2) (x x 2) .
Le produit entre parenthèses est 6. En appliquant la règle de multiplication des puissances avec les mêmes bases, nous présentons l'expression entre parenthèses comme suit : x1 + 2 = x3. En conséquence, nous obtenons un monôme de la forme standard : 6 x 3.
Une version courte de la solution ressemble à ceci : 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Répondre: 3x2x2 = 6x3.
Exemple 2
Le monôme est donné : a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Il faut le présenter sous une forme standard et indiquer son coefficient.
Solution
le monôme donné a un facteur numérique dans sa notation : - 1, déplaçons-le au début. Ensuite nous regrouperons les facteurs avec la variable a et les facteurs avec la variable b. Il n'y a rien pour regrouper la variable m, nous la laissons donc dans sa forme originale. À la suite des actions ci-dessus, nous obtenons : - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Effectuons des opérations avec des puissances entre parenthèses, alors le monôme prendra la forme standard : (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. A partir de cette entrée on peut facilement déterminer le coefficient du monôme : il est égal à - 1. Il est tout à fait possible de remplacer le moins un simplement par un signe moins : (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Un bref enregistrement de toutes les actions ressemble à ceci :
une 5 b 2 une m (- 1) une 2 b = (- 1) (une 5 une une 2) (b 2 b) m = = (- 1) une 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) une 8 b 3 m = - une 8 b 3 m
Répondre:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, le coefficient du monôme donné est - 1.
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JE. Les expressions composées de nombres, de variables et de leurs puissances utilisant l'action de multiplication sont appelées monômes.
Exemples de monômes :
UN) un; b) un B; V) 12; G)-3c ; d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5z; et) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
II. Ce type de monôme, lorsque le facteur numérique (coefficient) vient en premier, suivi des variables avec leurs puissances, est appelé type de monôme standard.
Ainsi, les monômes donnés ci-dessus, sous les lettres un B C), G) Et e)écrit sous forme standard, et les monômes sous les lettres d) Et et) il est nécessaire de le mettre sous une forme standard, c'est-à-dire sous une forme où le facteur numérique vient en premier, suivi des facteurs alphabétiques avec leurs exposants, et les facteurs alphabétiques sont classés par ordre alphabétique. Présentons les monômes d) Et et)à la vue standard.
d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2 b 3 ;
et) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.La somme des exposants de toutes les variables incluses dans un monôme est appelée le degré du monôme.
Exemples. Quel degré ont les monômes ? a) - g) ?
une) une. D'abord;
b) un B. Deuxième: UN au premier degré et bà la première puissance - la somme des indicateurs 1+1=2 ;
V) 12. Zéro, puisqu'il n'y a pas de facteurs de lettre ;
G) -3c. D'abord;
d) -85,75a 2 b 3 . Cinquième. Nous avons réduit ce monôme à la forme standard, nous avons UN au deuxième degré et b Dans le troisième. Additionnons les indicateurs : 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5z. Septième. Nous avons additionné les exposants des facteurs de lettre : 1+5+1=7 ;
et) -60a 3 c 3 . Sixièmement, puisque la somme des exposants des facteurs lettre 3+3=6 .
IV. Les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés monômes similaires.
Exemple. Indiquer les monômes similaires parmi les monômes donnés 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 avant JC ; 3) 56a 2b2c; 4) 98.7a 2 bacs ; 5) 10aaa 2x ; 6) -2,3a 4x ; 7) 34x 2 ans.
Présentons les monômes 1), 4) Et 5) à la vue standard. Ensuite, la ligne de données monômes ressemblera à ceci :
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3 avant JC ; 3) 56a 2b2c; 4) 98.7a 3 avant JC ; 5) 10a 4x ; 6) -2,3a 4x ; 7) 34x 2 ans.
Semblables seront ceux qui ont la même partie de lettre, c'est-à-dire 1) et 3) ; 2) et 4); 5) et 6).
1) 3a 2 b 2 c et 3) 56a 2b2c;
2) -4.1a 3 avant JC et 4) 98.7a 3 avant JC ;
5) 10a 4x et 6) -2,3a 4x.