התחל במדע. עבודה יצירתית "סימני חלוקה" כלל חלוקה ל-12

סימן חלוקה

סימן חלוקה- כלל המאפשר לקבוע במהירות יחסית האם מספר הוא כפולה של מספר שנקבע מראש ללא צורך לבצע חלוקה בפועל. ככלל, הוא מבוסס על פעולות עם חלק מהספרות מהסיימון של מספר במערכת מספרים מיקומית (בדרך כלל עשרונית).

יש כמה כללים פשוטים, המאפשר לך למצוא מחלקים קטנים של מספר במערכת המספרים העשרונית:

סימן לחלוקה ב-2

סימן לחלוקה ב-3

חלוקה בסימן 4

סימן לחלוקה ב-5

סימן לחלוקה ב-6

סימן לחלוקה ב-7

סימן לחלוקה ב-8

סימן לחלוקה ב-9

סימן לחלוקה ב-10

סימן לחלוקה ב-11

סימן לחלוקה ב-12

סימן לחלוקה ב-13

סימן לחלוקה ב-14

סימן לחלוקה ב-15

סימן לחלוקה ב-17

סימן לחלוקה ב-19

סימן לחלוקה ב-23

סימן לחלוקה ב-25

סימן לחלוקה ב-99

אנו מחלקים את המספר לקבוצות של 2 ספרות מימין לשמאל (הקבוצה השמאלית ביותר יכולה להיות ספרה אחת) ונמצא את סכום הקבוצות הללו, בהתחשב בכך שהם מספרים דו ספרתיים. סכום זה מתחלק ב-99 אם ורק אם המספר עצמו מתחלק ב-99.

סימן לחלוקה ב-101

אנו מחלקים את המספר לקבוצות של 2 ספרות מימין לשמאל (הקבוצה השמאלית ביותר יכולה להיות ספרה אחת) ומוצאים את סכום הקבוצות הללו עם סימנים משתנים, בהתחשב בכך שהם מספרים דו ספרתיים. סכום זה מתחלק ב-101 אם ורק אם המספר עצמו מתחלק ב-101. לדוגמה, 590547 מתחלק ב-101, שכן 59-05+47=101 מתחלק ב-101).

סימן לחלוקה ב-2 נ

המספר מתחלק ב תואר שנישניים אם ורק אם המספר שנוצר על ידי n הספרות האחרונות שלו מתחלק באותה חזקה.

סימן לחלוקה ב-5 נ

מספר מתחלק בחזקת n של 5 אם ורק אם המספר שנוצר על ידי n הספרות האחרונות שלו מתחלק באותה חזקה.

סימן לחלוקה ב-10 נ − 1

אנו מחלקים את המספר לקבוצות של n ספרות מימין לשמאל (הקבוצה השמאלית ביותר יכולה להכיל מ-1 עד n ספרות) ונמצא את סכום הקבוצות הללו, בהתחשב בכך שהם מספרים n ספרות. סכום זה מתחלק ב-10 נ− 1 אם ורק אם המספר עצמו מתחלק ב-10 נ − 1 .

סימן לחלוקה ב-10 נ

מספר מתחלק בחזקת n של עשר אם ורק אם n הספרות האחרונות שלו הן

הטקסט של העבודה מוצב ללא תמונות ונוסחאות.
גרסה מלאההעבודה זמינה בלשונית "קבצי עבודה" בפורמט PDF

בשיעורי מתמטיקה, בלימוד הנושא "סימני חלוקה", שם התוודענו לסימני חלוקה ב-2; חָמֵשׁ; 3; תֵשַׁע; 10, התעניינתי אם יש סימני חלוקה במספרים אחרים, והאם יש שיטה אוניברסלית לחלוקה לפי כל מספר טבעי. אז התחלתי לעשות מחקר על הנושא הזה.

מטרת המחקר:חקר סימני ההתחלקות של מספרים טבעיים עד 100, הוספת הסימנים הידועים כבר של התחלקות המספרים הטבעיים בכללותו, שנלמד בבית הספר.

כדי להשיג את המטרה נקבעו משימות:

איסוף, לימוד ושיטתיות של חומר על סימני חלוקה של מספרים טבעיים, תוך שימוש במקורות מידע שונים.

מצא קריטריון אוניברסלי להתחלקות במספר טבעי כלשהו.

למד כיצד להשתמש במבחן ההתחלקות של פסקל כדי לקבוע את ההתחלקות של מספרים, וכן נסו לנסח את סימני ההתחלקות בכל מספר טבעי.

מושא לימוד:התחלקות של מספרים טבעיים.

נושא לימוד:סימני חלוקה של מספרים טבעיים.

שיטות מחקר:איסוף מידע; עבודה עם חומרים מודפסים; אָנָלִיזָה; סִינתֶזָה; אֲנָלוֹגִיָה; סֶקֶר; תִשׁאוּל; שיטתיות והכללה של החומר.

השערת מחקר:אם ניתן לקבוע את חלוקתם של מספרים טבעיים ב-2, 3, 5, 9, 10, אז חייבים להיות סימנים לפיהם ניתן לקבוע את חלוקתם של מספרים טבעיים במספרים אחרים.

טְרִיוּתעבודת המחקר שבוצעה היא שעבודה זו מבצעת שיטתיות של ידע על סימני ההתחלקות ועל השיטה האוניברסלית לחלוקה של מספרים טבעיים.

משמעות מעשית: ניתן להשתמש בחומר של עבודת מחקר זו בכיתות ו'-ח' בכיתות בחירה בעת לימוד הנושא "חלוקה של מספרים".

פרק I. הגדרה ומאפיינים של חלוקה של מספרים

1.1 הגדרות של מושגי חלוקה וסימני חלוקה, תכונות חלוקה.

תורת המספרים היא ענף במתמטיקה החוקר את תכונותיהם של מספרים. המטרה העיקרית של תורת המספרים היא המספרים הטבעיים. המאפיין העיקרי שלהם, הנחשב לפי תורת המספרים, הוא חלוקה. הַגדָרָה:מספר שלם a מתחלק במספר b שאינו שווה לאפס אם יש מספר שלם k כך ש- a = bk (לדוגמה, 56 מתחלק ב-8, כי 56 = 8x7). סימן חלוקה- כלל המאפשר לקבוע אם מספר טבעי נתון מתחלק במספרים אחרים, כלומר. בלי עקבות.

מאפייני חלוקה:

כל מספר שאינו אפס a מתחלק בעצמו.

אפס מתחלק בכל b שאינו שווה לאפס.

אם a מתחלק ב-b (b0) ו-b מתחלק ב-c (c0), אזי a מתחלק ב-c.

אם a מתחלק ב-b (b0) ו-b מתחלק ב-a (a0), אז a ו-b הם מספרים שווים או מנוגדים.

1.2. מאפייני חלוקה של סכום ומכפלה:

אם בסכום המספרים השלמים כל איבר מתחלק במספר כלשהו, ​​אז הסכום מתחלק במספר הזה.

2) אם בהפרש המספרים השלמים ניתנים לחלוקה של ה-minuend וה-subtrahend במספר מסוים, אזי ההפרש מתחלק גם במספר מסוים.

3) אם בסכום המספרים השלמים כל האיברים, מלבד אחד, מתחלקים במספר כלשהו, ​​אזי הסכום אינו מתחלק במספר זה.

4) אם במכפלת המספרים השלמים אחד הגורמים מתחלק במספר כלשהו, ​​אז המכפלה מתחלקת גם במספר זה.

5) אם במכפלת המספרים השלמים אחד הגורמים מתחלק ב-m והשני ב-n, אז המכפלה מתחלקת ב-mn.

בנוסף, תוך כדי לימוד סימני חלוקת המספרים, התוודעתי למושג "שורש דיגיטלי". ניקח מספר טבעי. בוא נמצא את סכום הספרות שלו. נמצא גם את סכום הספרות של התוצאה וכך הלאה עד שמתקבל מספר חד ספרתי. התוצאה נקראת השורש הדיגיטלי של המספר. לדוגמה, השורש הדיגיטלי של 654321 הוא 3: 6+5+4+3+2+1=21.2+1=3. ועכשיו אתה יכול לחשוב על השאלה: "מהם סימני ההתחלקות והאם יש סימן אוניברסלי להתחלקות של מספר אחד בשני?"

פרק ב. סימני חלוקה של מספרים טבעיים.

2.1. סימני חלוקה ב-2,3,5,9,10.

בין סימני ההתחלקות, הנוחים והידועים ביותר מהקורס במתמטיקה של כיתה ו' הם:

מתחלק ב-2. אם הרשומה של מספר טבעי מסתיימת בספרה זוגית או אפס, אז המספר מתחלק ב-2. המספר 52738 מתחלק ב-2, שכן הספרה האחרונה 8 היא זוגית.

מתחלק ב-3 . אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב-3, אז המספר מתחלק ב-3 (המספר 567 מתחלק ב-3, שכן 5+6+7 = 18, ו-18 מתחלק ב-3).

מתחלק ב-5. אם הרשומה של מספר טבעי מסתיימת במספר 5 או באפס, אז המספר מתחלק ב-5 (המספרים 130 ו-275 מתחלקים ב-5, מכיוון שהספרות האחרונות של המספרים הן 0 ו-5, אבל המספר 302 הוא לא מתחלק ב-5, כי המספרים הספרתיים האחרונים אינם 0 ו-5).

מתחלק ב-9. אם סכום הספרות מתחלק ב-9, אז המספר מתחלק ב-9 (676332 מתחלק ב-9 כי 6+7+6+3+3+2=27, ו-27 מתחלק ב-9).

מתחלק ב-10 . אם הרשומה של מספר טבעי מסתיימת במספר 0, אז מספר זה מתחלק ב-10 (230 מתחלק ב-10, שכן הספרה האחרונה של המספר היא 0).

2.2.סימני חלוקה ב-4,6,8,11,12,13 וכו'.

לאחר עבודה עם מקורות שונים, למדתי סימנים נוספים של חלוקה. אתאר כמה מהם.

חלוקה לפי 6 . עלינו לבדוק את חלוקת המספר שאנו מעוניינים בו ב-2 וב-3. המספר מתחלק ב-6 אם ורק אם הוא זוגי, והשורש הדיגיטלי שלו מתחלק ב-3. (לדוגמה, 678 מתחלק ב- 6, כיוון שהוא זוגי ו-6 +7+8=21, 2+1=3) עוד סימן להתחלקות: מספר מתחלק ב-6 אם ורק אם ארבע פעמים מספר העשרות שנוסף למספר האחדים מתחלק ב-6. (73.7*4+3=31, 31 אינו מתחלק ב-6, כך ש-7 אינו מתחלק ב-6.)

חלוקה לפי 8. מספר מתחלק ב-8 אם ורק אם שלוש הספרות האחרונות שלו יוצרות מספר המתחלק ב-8. (12224 מתחלק ב-8 כי 224:8=28). מספר תלת ספרתי מתחלק ב-8 אם ורק אם מספר האחדים המתווסף לפעמיים ממספר העשרות ומכפיל את מספר המאות מתחלק ב-8. לדוגמה, 952 מתחלק ב-8 כי 8 מתחלק ב-9* 4 + 5 *2 + 2 = 48 .

מחלקים ב-4 וב-25. אם שתי הספרות האחרונות הן אפסים או מבטאות מספר המתחלק ב-4 או (ו) ב-25, אז המספר מתחלק ב-4 או (ו) ב-25 (המספר 1500 מתחלק ב-4 וב-25, כי הוא מסתיים בשניים אפסים, המספר הוא 348 מתחלק ב-4, כי 48 מתחלק ב-4, אבל המספר הזה אינו מתחלק ב-25, מכיוון ש-48 אינו מתחלק ב-25, המספר 675 מתחלק ב-25, כי 75 מתחלק ב-25, אך אינו מתחלק ב-4, ולכן .ק.75 אינו מתחלק ב-4).

הכרת הסימנים העיקריים של חלוקה במספרים ראשוניים, נוכל לגזור סימני חלוקה במספרים מורכבים:

סימן חלוקה לפי11 . אם ההפרש בין סכום הספרות במקומות זוגיים לבין סכום הספרות במקומות אי זוגיים מתחלק ב-11, אז המספר מתחלק גם ב-11 (המספר 593868 מתחלק ב-11, כי 9 + 8 + 8 = 25, ו-5 + 3 + 6 = 14, ההפרש שלהם הוא 11, ו-11 מתחלק ב-11).

סימן לחלוקה ב-12:מספר מתחלק ב-12 אם ורק אם שתי הספרות האחרונות מתחלקות ב-4 וסכום הספרות מתחלק ב-3.

כי 12= 4 ∙ 3, כלומר. המספר חייב להיות מתחלק ב-4 וב-3.

סימן לחלוקה ב-13:מספר מתחלק ב-13 אם ורק אם הסכום לסירוגין של מספרים שנוצרו על ידי שלישיות רצופות של ספרות מתחלק ב-13 מספר נתון. איך אתה יודע, למשל, שהמספר 354862625 מתחלק ב-13? 625-862+354=117 מתחלק ב-13, 117:13=9, כך שגם 354862625 מתחלק ב-13.

סימן לחלוקה ב-14:מספר מתחלק ב-14 אם ורק אם הוא מסתיים בספרה זוגית ואם התוצאה של הפחתת הספרה האחרונה ממספר זה ללא הספרה האחרונה מתחלקת ב-7.

כי 14= 2 ∙ 7, כלומר. המספר חייב להיות מתחלק ב-2 וב-7.

סימן לחלוקה ב-15:מספר מתחלק ב-15 אם ורק אם הוא מסתיים ב-5 ו-0 וסכום הספרות מתחלק ב-3.

כי 15= 3 ∙ 5, כלומר. המספר חייב להיות מתחלק ב-3 וב-5.

סימן לחלוקה ב-18:מספר מתחלק ב-18 אם ורק אם הוא מסתיים בספרה זוגית וסכום ספרותיו מתחלק ב-9.

כי k18= 2 ∙ 9, כלומר. המספר חייב להיות מתחלק ב-2 וב-9.

סימן לחלוקה ב-20:מספר מתחלק ב-20 אם ורק אם המספר מסתיים ב-0 והספרה הלפני אחרונה היא זוגית.

כי 20 = 10 ∙ 2 כלומר. המספר חייב להיות מתחלק ב-2 וב-10.

סימן לחלוקה ב-25:מספר בעל שלוש ספרות לפחות מתחלק ב-25 אם ורק אם המספר שנוצר משתי הספרות האחרונות מתחלק ב-25.

סימן חלוקה לפי30 .

סימן חלוקה לפי59 . מספר מתחלק ב-59 אם ורק אם מספר העשרות שנוסף למספר היחידות כפול 6 מתחלק ב-59. לדוגמה, 767 מתחלק ב-59, שכן 76 + 6*7 = 118 ו-11 + 6* מתחלקים ב-59 8 = 59.

סימן חלוקה לפי79 . מספר מתחלק ב-79 אם ורק אם מספר העשרות שנוסף למספר היחידות כפול 8 מתחלק ב-79. לדוגמה, 711 מתחלק ב-79, שכן 71 + 8*1 = 79 מתחלקים ב-79.

סימן חלוקה לפי99. מספר מתחלק ב-99 אם ורק אם סכום המספרים היוצרים קבוצות של שתי ספרות (החל מיחידות) מתחלק ב-99. לדוגמה, 12573 מתחלק ב-99, מכיוון ש-1 + 25 + 73 = 99 מתחלק ב-99.

סימן חלוקה לפי100 . רק המספרים האלה מתחלקים ב-100 אם שתי הספרות האחרונות הן אפסים.

סימן לחלוקה ב-125:מספר בעל ארבע ספרות לפחות מתחלק ב-125 אם ורק אם המספר שנוצר משלוש הספרות האחרונות מתחלק ב-125.

כל התכונות לעיל מסוכמות בצורה של טבלה. (תקשורת 1)

2.3 סימני חלוקה ב-7.

1) קח את המספר 5236 לבדיקה. בוא נכתוב את המספר הזה באופן הבא: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=10 3 *5+10 2 *2+10*3+6 ("שיטתי » טופס סימון מספרים), ובכל מקום נחליף את הבסיס 10 בבסיס 3); 3 3 * 5 + Z 2 * 2 + 3 * 3 + 6 \u003d 168. אם המספר המתקבל מתחלק (לא מתחלק) ב-7, אז המספר הזה מתחלק (לא מתחלק) ב-7. מכיוון ש-168 מתחלק ב-7 , אז 5236 מתחלק ב-7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) בסימן זה עליך לפעול בדיוק כמו בקודם, עם ההבדל היחיד שהכפל צריך להתחיל מהימין הקיצוני ולהכפיל לא ב-3, אלא ב-5. (5236 מחולק ב-7, מאז 6 * 5 3 +3*5 2 +2*5+5=840, 840:7=120)

3) השלט הזה פחות קל ליישום בתודעה, אבל גם מאוד מעניין. הכפילו את הספרה האחרונה והורידו את השנייה מימין, הכפילו את התוצאה והוסיפו את השלישית מימין וכו', חיסור וחיבור לסירוגין, והפחתת כל תוצאה, במידת האפשר, ב-7 או בכפולה של שבע. אם התוצאה הסופית מתחלקת (לא מתחלקת) ב-7, אז גם מספר המבחן מתחלק (לא מתחלק) ב-7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7 =5.

4) מספר מתחלק ב-7 אם ורק אם הסכום לסירוגין של מספרים שנוצר על ידי שלישיות רצופות של ספרות של המספר הנתון מתחלק ב-7. איך אתה יודע, למשל, שהמספר 363862625 מתחלק ב-7? 625-862+363=126 מתחלק ב-7, 126:7=18, אז 363862625 מתחלק גם ב-7, 363862625:7=51980375.

5) אחד הסימנים העתיקים ביותר של חלוקה ב-7 הוא כדלקמן. יש לקחת את הספרות של המספר בסדר הפוך, מימין לשמאל, להכפיל את הספרה הראשונה ב-1, השנייה ב-3, השלישית ב-2, הרביעית ב-1, החמישית ב-3, השישית ב- 2 וכו'. (אם מספר התווים גדול מ-6, יש לחזור על רצף הגורמים 1, 3, 2, -1, -3, -2 כמה פעמים שצריך). יש להוסיף את המוצרים המתקבלים. המספר המקורי מתחלק ב-7 אם הסכום המחושב מתחלק ב-7. הנה, למשל, מה שתכונה זו נותנת עבור המספר 5236. 1*6+3*3+2*2+5*(-1) = 14. 14: 7=2, אז המספר 5236 מתחלק גם ב-7.

6) המספר מתחלק ב-7 אם ורק אם המספר המשולש של העשרות, שנוסף למספר האחדים, מתחלק ב-7. לדוגמה, 154 מתחלק ב-7, שכן 7 הוא המספר 49, שעליו נקבל בסיס זה: 15 * 3 + 4 = 49.

2.4 סימן פסקל.

תרומה גדולה לחקר סימני חלוקת המספרים תרם על ידי B. Pascal (1623-1662), מתמטיקאי ופיזיקאי צרפתי. הוא מצא אלגוריתם למציאת קריטריונים לחלוקה של כל מספר שלם בכל מספר שלם אחר, אותו פרסם במסכת "על טבע ההתחלקות של מספרים". כמעט כל הסימנים הידועים כיום לחלוקה הם מקרה מיוחד של הסימן של פסקל: "אם סכום השאריות בעת חלוקת מספרא לפי ספרות לכל מספרב מחולק בב , ואז המספראבל מחולק בב ». הידיעה שזה שימושי גם היום. כיצד נוכל להוכיח את הקריטריונים לחלוקה שנוסחו לעיל (למשל קריטריון ההתחלקות ב-7, המוכר לנו)? אנסה לענות על שאלה זו. אבל קודם כל, בואו נסכים על דרך לכתוב מספרים. כדי לרשום מספר שספרותיו מצוינות באותיות, אנו מסכימים למתוח קו מעל אותיות אלו. לפיכך, abcdef יסמן מספר בעל יחידות f, e עשרות, d מאות וכו':

abcdef = א . 10 5 + ב . 10 4 + ג . 10 3 + ד . 10 2 + ה . 10 + ו. כעת אוכיח את מבחן ההתחלקות ב-7 שנוסח לעיל. יש לנו:

10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1

1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1

(השארים לאחר חלוקה ב-7).

כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הכלל החמישי שנוסח לעיל: כדי לגלות את שאר חלוקת המספר הטבעי ב-7, עליך לחתום על מקדמים (שארית החלוקה) מתחת לספרות של מספר זה מימין לשמאל: לאחר מכן עליך להכפיל כל ספרה במקדם שמתחתיה ולהוסיף את המתקבל. מוצרים; לסכום שנמצא תהיה שארית זהה לחלק ב-7 כמו המספר שנלקח.

ניקח את המספרים 4591 ו-4907 כדוגמה, ובפעולה כפי שמצוין בכלל, נמצא את התוצאה:

-1 2 3 1

4+10+27+1 = 38 - 4 = 34: 7 = 4 (השאר 6) (לא מתחלק ב-7)

-1 2 3 1

4+18+0+7 = 25 - 4 = 21: 7 = 3 (מתחלק ב-7)

בדרך זו, אתה יכול למצוא קריטריון להתחלקות בכל מספר ט.אתה רק צריך למצוא אילו מקדמים (שארית החלוקה) צריכים להיות חתומים תחת הספרות של המספר שנלקח A. לשם כך, אתה צריך להחליף כל חזק של עשר 10, אם אפשר, באותה שארית כאשר מחלקים ב- ט,כמספר 10. מתי ט= 3 או t = 9, המקדמים הללו התבררו כפשוטים מאוד: כולם שווים ל-1. לכן, מבחן ההתחלקות ב-3 או 9 התברר כפשוט מאוד. בְּ ט= 11, גם המקדמים לא היו מורכבים: הם שווים לסירוגין ל-1 ול-1. וכאשר t=7המקדמים התבררו כקשים יותר; לכן, הקריטריון לחלוקה ב-7 התברר כמורכב יותר. לאחר שקלטתי את סימני החלוקה עד 100, השתכנעתי שהמקדמים המורכבים ביותר למספרים טבעיים הם 23 (מ-10 23 המקדמים חוזרים על עצמם), 43 (מ-10 39 המקדמים חוזרים).

ניתן לחלק את כל הסימנים המפורטים לחלוקה של מספרים טבעיים ל-4 קבוצות:

קבוצה אחת- כאשר חלוקת המספרים נקבעת על פי הספרה האחרונה (mi) - אלו הם סימני חלוקה ב-2, ב-5, ביחידת סיביות, ב-4, ב-8, ב-25, ב-50.

2 קבוצות- כאשר חלוקת המספרים נקבעת על פי סכום הספרות של המספר, אלו הם סימני חלוקה ב-3, ב-9, ב-7, ב-37, ב-11 (סימן 1).

קבוצה 3- כאשר חלוקת המספרים נקבעת לאחר ביצוע פעולות מסוימות על ספרות המספר, אלו הם סימני חלוקה ב-7, ב-11 (סימן 1), ב-13, ב-19.

קבוצה 4- כאשר משתמשים בסימני חלוקה אחרים לקביעת חלוקתו של מספר, אלו הם סימני חלוקה ב-6, ב-15, ב-12, ב-14.

חלק ניסיוני

סֶקֶר

הסקר נערך בקרב תלמידי כיתות ו'-ז'. בסקר השתתפו 58 תלמידים מבית הספר התיכון של MOBU Karaidel מס' 1 MR Karaidel District של הרפובליקה של בלארוס. הם התבקשו לענות על השאלות הבאות:

האם אתה חושב שיש עוד סימנים של חלוקה שונים מאלה שנלמדו בשיעור?

האם יש סימני חלוקה למספרים טבעיים אחרים?

האם תרצה לדעת את סימני ההתחלקות הללו?

האם אתה מכיר סימנים לחלוקה של מספרים טבעיים?

תוצאות הסקר הראו כי 77% מהנשאלים סבורים כי ישנם סימנים נוספים לחלוקה מלבד אלו שנלמדים בבית הספר; 9% לא חושבים כך, 13% מהנשאלים התקשו לענות. לשאלה השנייה "האם תרצה לדעת את סימני ההתחלקות למספרים טבעיים אחרים?" 33% השיבו בחיוב, 17% השיבו "לא", ו-50% התקשו לענות. לשאלה השלישית, 100% מהנשאלים השיבו בחיוב. השאלה הרביעית נענתה בחיוב על ידי 89%, ענו "לא" - 11% מהסטודנטים שהשתתפו בסקר במהלך עבודת המחקר.

סיכום

לפיכך, במהלך העבודה נפתרו המשימות הבאות:

למד חומר תיאורטי בנושא זה;

בנוסף לסימנים המוכרים לי ב-2, 3, 5, 9 ו-10, למדתי שיש גם סימני חלוקה ב-4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 וכו'. .;

3) למד את סימן פסקל - סימן אוניברסלי לחלוקה בכל מספר טבעי;

בעבודה עם מקורות שונים, תוך ניתוח החומר שנמצא על הנושא הנחקר, השתכנעתי שיש סימנים של חלוקה במספרים טבעיים אחרים. לדוגמה, ב-7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, מה שאישר את נכונות ההשערה שלי לגבי קיומם של סימנים אחרים לחלוקה של מספרים טבעיים. גיליתי גם שיש סימן אוניברסלי לחלוקה, שאת האלגוריתם שלו מצא המתמטיקאי הצרפתי פסקל בלייז ופרסם אותו במסכתו "על טבע ההתחלקות של המספרים". באמצעות אלגוריתם זה, אתה יכול לקבל סימן להתחלקות בכל מספר טבעי.

תוצאה של עבודת מחקרהפך לחומר שיטתי בצורה של טבלה "סימני חלוקה של מספרים", שניתן להשתמש בה בשיעורי מתמטיקה, בפעילויות מחוץ ללימודים על מנת להכין את התלמידים לפתרון בעיות אולימפיאדה, בהכנת התלמידים ל-OGE ולבחינת המדינה המאוחדת .

בעתיד, אני מתכוון להמשיך לעבוד על יישום סימני חלוקה של מספרים לפתרון בעיות.

רשימת מקורות בשימוש

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. מתמטיקה. כיתה ו': ספר לימוד. לחינוך כללי מוסדות / - מהדורה 25, סטר. - מ.: מנמוזינה, 2009. - 288 עמ'.

Vorobyov V.N. סימני חלוקה.-M.: Nauka, 1988.-96s.

ויגודסקי מ.יה. מדריך למתמטיקה יסודית. - Elista.: Dzhangar, 1995. - 416 עמ'.

גרדנר מ. פנאי מתמטי. / מתחת. אד. יא.א סמורודינסקי. - מ.: אוניקס, 1995. - 496 עמ'.

גלפמן E.G., Beck E.F. ועוד.מקרה של חלוקה וסיפורים נוספים: ספר לימוד במתמטיקה לכיתה ו'. - Tomsk: Publishing House of Tom.un-ta, 1992. - 176p.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematics: Ref. חומרים: ספר. לתלמידים. - מהדורה ב' - מ .: חינוך, 1990. - 416 עמ'.

Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.V. עבודה חוץ כיתתית במתמטיקה בכיתות ו'-ח'. מוסקבה.: חינוך, 1984. - 289s.

דפמן I.Ya., Vilenkin N.Ya. מאחורי דפי ספר מתמטיקה. מ.: הארה, 1989. - 97 עמ'.

קולאנין א.ד. מתמטיקה. מַדרִיך. -M.: EKSMO-Press, 1999-224p.

פרלמן יא.י. אלגברה משעשעת. מ.: טריאדה-ליטרה, 1994. -199 שנים.

טרסוב ב.נ. פסקל. -מ.: מול. גארד, 1982.-334s.

http://dic.academic.ru/ (ויקיפדיה - האנציקלופדיה החופשית).

http://www.bymath.net (אנציקלופדיה).

תקשורת 1

טבלת סימני חלוקה

כדי לפשט את החלוקה של המספרים הטבעיים, נגזרו כללי החלוקה במספרים של העשרת הראשונים והמספרים 11, 25, המשולבים לחלק סימני חלוקה של מספרים טבעיים. להלן הכללים לפיהם ניתוח של מספר ללא חלוקתו במספר טבעי אחר יענה על השאלה, האם מספר טבעי הוא כפולה של המספרים 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 ו יחידה קטנה?

מספרים טבעיים שיש להם ספרות (מסתיימות ב) 2,4,6,8,0 בספרה הראשונה נקראים זוגיים.

סימן לחלוקה של מספרים ב-2

כל המספרים הטבעיים הזוגיים מתחלקים ב-2, לדוגמה: 172, 94.67 838, 1670.

סימן לחלוקה של מספרים ב-3

כל המספרים הטבעיים שסכום הספרות שלהם הוא כפולה של 3 מתחלקים ב-3. לדוגמה:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

סימן לחלוקה של מספרים ב-4

כל המספרים הטבעיים מתחלקים ב-4, ששתי הספרות האחרונות שלהם הן אפסים או כפולה של 4. לדוגמה:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

סימן לחלוקה של מספרים ב-5

סימן לחלוקה של מספרים ב-6

המספרים הטבעיים המתחלקים ב-2 וב-3 בו-זמנית מתחלקים ב-6 (כל המספרים הזוגיים המתחלקים ב-3). לדוגמה: 126 (b - זוגי, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

סימן לחלוקה של מספרים ב-9

המספרים הטבעיים האלה מתחלקים ב-9, שסכום הספרות שלהם הוא כפולה של 9. לדוגמה:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

סימן לחלוקה של מספרים ב-10

סימן לחלוקה של מספרים ב-11

רק אותם מספרים טבעיים מתחלקים ב-11, שבהם סכום הספרות התופסות מקומות זוגיים שווה לסכום הספרות התופשות מקומות אי-זוגיים, או ההפרש בין סכום הספרות של מקומות זוגיים לסכום הספרות של מקומות זוגיים. הוא כפולה של 11. לדוגמה:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ו-0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ו-1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

סימן לחלוקה של מספרים ב-25

המספרים הטבעיים האלה מתחלקים ב-25, ששתי הספרות האחרונות שלהם הן אפסים או כפולה של 25. לדוגמה:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

סימן לחלוקה של מספרים ביחידת סיביות

המספרים הטבעיים הללו מחולקים ליחידת סיביות, שבה מספר האפסים גדול או שווה למספר האפסים של יחידת הסיביות. לדוגמה: 12,000 מתחלק ב-10, 100 ו-1000.

השימוש בכישורי חלוקה מפשט חישובים, ומגביר באופן יחסי את מהירות ביצועם. הבה ננתח בפירוט את המאפיין העיקרי תכונות חלוקה.

הקריטריון הכי פשוט לחלוקה עבור יחידות: כל המספרים מתחלקים באחד. זה אלמנטרי באותה מידה ועם סימני חלוקה לפי שתיים, חָמֵשׁ, עשר. ניתן לחלק מספר זוגי בשניים, או אחד עם ספרה סופית של 0, בחמש - מספר עם ספרה סופית של 5 או 0. רק אותם מספרים עם ספרה סופית של 0 יחולקו בעשר, ב- 100 - רק המספרים ששתי הספרות הסופיות שלהם הן אפסים, על 1000 - רק אלה עם שלושה אפסים סופיים.

לדוגמה:

ניתן לחלק את המספר 79516 ב-2, שכן הוא מסתיים ב-6, מספר זוגי; 9651 אינו מתחלק ב-2, מכיוון ש-1 היא ספרה אי-זוגית; 1790 מתחלק ב-2 מכיוון שהספרה הסופית היא אפס. 3470 יחולק ב-5 (הספרה הסופית היא 0); 1054 אינו מתחלק ב-5 (סופי 4). 7800 יחולקו ב-10 וב-100; 542000 מתחלק ב-10, 100, 1000.

פחות מוכר, אבל מאוד קל לשימוש מאפיין תכונות חלוקהעל 3 ו 9 , 4 , 6 ו 8, 25 . יש גם מאפייניםחלוקה לפי 7, 11, 13, 17, 19 וכן הלאה, אבל הם משמשים בתדירות נמוכה בהרבה בפועל.

תכונה אופיינית של חלוקה ב-3 וב-9.

על שְׁלוֹשָׁהו/או הלאה תֵשַׁעללא שארית, אותם מספרים יחולקו שעבורם התוצאה של הוספת הספרות היא כפולה של שלוש ו/או תשע.

לדוגמה:

המספר 156321, תוצאת החיבור 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 יחולק ב-3 וחולק ב-9, בהתאמה, ניתן לחלק את המספר עצמו ב-3 ו-9. המספר 79123 לא יהיה לחלק ב-3 או ב-9, כך שסכום הספרות שלו (22) אינו מתחלק במספרים אלו.

תכונה אופיינית של חלוקה ב-4, 8, 16 וכן הלאה.

ניתן לחלק מספר ללא שארית ב ארבע, אם שתי הספרות האחרונות שלו הן אפסים או שהן מספר שניתן לחלק ב-4. בכל שאר המקרים, חלוקה ללא שארית אינה אפשרית.

לדוגמה:

המספר 75300 מתחלק ב-4, מכיוון ששתי הספרות האחרונות הן אפסים; 48834 אינו מתחלק ב-4 מכיוון ששתי הספרות האחרונות נותנות 34, שאינו מתחלק ב-4; 35908 מתחלק ב-4, מכיוון ששתי הספרות האחרונות של 08 נותנות את המספר 8 המתחלק ב-4.

עיקרון דומה חל על הקריטריון של חלוקה ב שמונה. מספר מתחלק בשמונה אם שלוש הספרות האחרונות שלו הן אפסים או יוצרים מספר המתחלק ב-8. אחרת, המנה המתקבלת מחילוק לא תהיה מספר שלם.

אותם מאפיינים לחלוקה לפי 16, 32, 64 וכו', אבל הם לא משמשים בחישובים יומיומיים.

תכונה אופיינית של חלוקה ב-6.

המספר מתחלק ב שֵׁשׁ, אם הוא מתחלק בשניים ובשלושה, עם כל האפשרויות האחרות, חלוקה ללא שארית בלתי אפשרית.

לדוגמה:

126 מתחלק ב-6, מכיוון שהוא מתחלק גם ב-2 (המספר הזוגי הסופי הוא 6) וגם ב-3 (סכום הספרות 1 + 2 + 6 = 9 מתחלק בשלוש)

תכונה אופיינית של חלוקה ב-7.

המספר מתחלק ב שבעהאם ההפרש של המספר האחרון הכפול שלו ו"המספר שנותר ללא הספרה האחרונה" מתחלק בשבע, אז המספר עצמו מתחלק בשבע.

לדוגמה:

המספר הוא 296492. ניקח את הספרה האחרונה "2", נכפיל אותה, היא יוצאת 4. נחסר 29649 - 4 = 29645. בעייתי לברר אם היא מתחלקת ב-7, ולכן נותח שוב. לאחר מכן, נכפיל את הספרה האחרונה "5", היא יוצאת 10. נחסר 2964 - 10 = 2954. התוצאה זהה, לא ברור אם היא מתחלקת ב-7, לכן אנו ממשיכים בניתוח. אנו מנתחים עם הספרה האחרונה "4", כפול, זה יוצא 8. מחסירים 295 - 8 = 287. אנו משווים מאתיים שמונים ושבע - זה לא מתחלק ב-7, בקשר לזה אנחנו ממשיכים בחיפוש. באנלוגיה, הספרה האחרונה "7", כפולה, יוצאת 14. החסר 28 - 14 \u003d 14. המספר 14 מתחלק ב-7, כך שהמספר המקורי מתחלק ב-7.

תכונה אופיינית של חלוקה ב-11.

על אחת עשרהרק אותם מספרים ניתנים לחלוקה שעבורם התוצאה של הוספת הספרות הממוקמות במקומות אי זוגיים שווה לסכום הספרות הממוקמות במקומות זוגיים, או שונה במספר המתחלק באחת עשרה.

לדוגמה:

המספר 103,785 מתחלק ב-11, שכן סכום הספרות במקומות אי-זוגיים, 1 + 3 + 8 = 12, שווה לסכום הספרות במקומות זוגיים, 0 + 7 + 5 = 12. המספר 9,163,627 הוא מתחלק ב-11, שכן סכום הספרות במקומות אי זוגיים הוא 9 + 6 + 6 + 7 = 28, וסכום הספרות במקומות זוגיים הוא 1 + 3 + 2 = 6; ההפרש בין המספרים 28 ו-6 הוא 22, ומספר זה מתחלק ב-11. המספר 461,025 אינו מתחלק ב-11, שכן המספרים 4 + 1 + 2 = 7 ו-6 + 0 + 5 = 11 אינם שווים ל אחד את השני, וההפרש שלהם 11 - 7 = 4 אינו מתחלק ב-11.

תכונה אופיינית של חלוקה ב-25.

על עשרים וחמשיחלק מספרים ששתי הספרות הסופיות שלהם הן אפסים או יהווה מספר שניתן לחלק בעשרים וחמש (כלומר, מספרים המסתיימים ב-00, 25, 50 או 75). במקרים אחרים, לא ניתן לחלק את המספר כולו ב-25.

לדוגמה:

9450 מתחלק ב-25 (מסתיים ב-50); 5085 אינו מתחלק ב-25.