כמויות פיזיות. את הרעיון של גודל ומדידה במתמטיקה

הערך הוא אחד המושגים המתמטיים העיקריים שעלו בעת העתיקה ונתונה לפיתוח ארוך טווח של מספר הכללות.

הרעיון הראשוני של גודל הוא קשור עם יצירתו של בסיס חושני, היווצרות של רעיונות לגבי גודל של פריטים: להראות ולתקשר אורך, רוחב, גובה.

תחת גודל, המאפיינים המיוחדים של אובייקטים אמיתיים או תופעות של העולם שמסביב הם הבינו. ערכו של הנושא הוא המאפיין היחסי שלה, תוך שימת דגש על אורך החלקים האישיים ומגדיר את מקומו בקרב הומוגני.

ערכים המאופיינים רק לפי ערך מספרי שנקרא סקלר(אורך, משקל, זמן, נפח, שטח, וכו '). בנוסף לכמויות סקלריות במתמטיקה, יש עדיין וקטור generitudes. אשר מאופיינים לא רק על ידי המספר, אלא גם את הכיוון (כוח, האצה, כוח שדה חשמלי, וכו ').

כמויות scalar יכול להיות מדיםאוֹ הֵטֵרוֹגֵנִי.ערכים אחידים מבטאים את אותו נכס של אובייקטים של קבוצה מסוימת. ערכים מגוונים מבטאים מאפיינים שונים של אובייקטים (אורך ואזור)

תכונות של כמויות scalar:

• § כל שני ערכים מסוג אחד הם דומים או שהם שווים, או אחד מהם פחות (יותר) אחר: 4t5c ... 4t 50kg 4T5C \u003d 4T500KG 4T500KG\u003e 4T50KG, כי 500kg\u003e 50kg, לאחר מכן 4T5C\u003e 4T 50KG;
• § הערכים מסוג זה יכול להיות מקופל, כתוצאה מכך, הערך של אותו סוג יהיה:
  • 2KM921M + 17KM387M 2KM921M \u003d 2921M, 17KM387M \u003d 17387M 17387M + 2921M \u003d 20308M; כך
  • 2KM9921M + 17KM387M \u003d 20KM308M
• § ניתן להכפיל את גודל מספר חוקיכתוצאה מכך, גודל מאותו סוג:
  • 12m24cm. 9 12M24M \u003d 1224cm, 1224cm9 \u003d 110m16cm, זה אומר
  • 12m24cm 9 \u003d 110m16cm;
• § הערכים של אותו סוג ניתן להפחית, התוצאה היא גודל מאותו סוג:
  • 4KG283G-2KG605G 4KG283G \u003d 4283G, 2KG605G \u003d 260G 4283G-2605G \u003d 1678, זה אומר
  • 4KG283G-2KG605G \u003d 1KG678G;
• § ניתן לחלק את הערכים מאותו סוג, וכתוצאה מכך מספר חוקי:
  • 8Ch25min. 5 8ch25min \u003d 860min + 25 דקות \u003d 480min + 25min \u003d 505min, 505min 5 \u003d 101min, 101min \u003d 1ch41min, זה אומר 8ch25min 5 \u003d 1Ch41min.

הערך הוא רכושו של הנושא הנתפס על ידי מנתחים שונים: חזותיים, מישוש ומנוע. במקביל, גודל נתפס לרוב על ידי מספר אנלייזרים: מנוע חזותי, מנוע טקט, וכו '

התפיסה של הערך תלויה ב:

• § מרחקים שממנו נתפסת הנושא;
• § הגודל של הנושא שבו הוא מושווה;
• § מיקום זה בחלל.

המאפיינים העיקריים של הערך:

• § השוואה - ההגדרה של הערך אפשרי רק על בסיס השוואה (ישירות או להשוות עם איזו דרך).
• § תוֹרַת הָיַחֲסוּת - המאפיין של הערך הוא יחסית ותלוי באובייקטים שנבחרו להשוואה, אותו פריט ניתן לקבוע על ידינו גדול או יותר, או פחות, אשר הוא לעומת איזה פריט. לדוגמה, באני הוא פחות מהדוב, אבל יותר עכבר.
• § הִשׁתַנוּת - השתנות של generitudes מאופיין בעובדה שהם יכולים להוסיף, לנכות, להכפיל את המספר.
• § מדידה - המדידה מאפשרת לאפיין את הסכום בהשוואה למספרים.

ערך - זה מה שניתן למדוד. מושגים כגון אורך, אזור, נפח, משקל, זמן, מהירות, וכו 'נקראים ערכים. הערך הוא תוצאות מדידההוא נקבע על ידי המספר המתבטא ביחידות מסוימות. יחידות שבהן הערך נמדד, נקרא יחידות מידה.

עבור ייעודו של גודל, מספר כתוב, וליד שם היחידה שבה נמדדה. לדוגמה, 5 ס"מ, 10 ק"ג, 12 ק"מ, 5 דקות. כל ערך יש אינספור ערכים, למשל, אורך יכול להיות שווה ל: 1 ס"מ, 2 ס"מ, 3 ס"מ, וכו '

אותו ערך יכול לבוא לידי ביטוי ביחידות שונות, כגון קילוגרמים, גרם טון - אלה הם יחידות מדידת משקל. אותו ערך ביחידות שונות מתבטא במספרים שונים. לדוגמה, 5 ס"מ \u003d 50 מ"מ (אורך), 1 h \u003d 60 דקות (זמן), 2 ק"ג \u003d 2000 גרם (משקל).

למדוד כל ערך - זה אומר לגלות כמה פעמים הוא מכיל ערך נוסף של אותו סוג, שאומצה ליחידת מדידה.

לדוגמה, אנחנו רוצים לגלות את אורך המדויק של קצת חדר. אז אנחנו צריכים למדוד את אורך זה באמצעות אורך אחר, אשר ידוע לנו, למשל, עם מטר. כדי לעשות זאת, אנו דוחפים את המונה באורך החדר כמה שיותר פעמים. אם זה פוגש את אורך החדר הוא בדיוק 7 פעמים, ואז אורכו הוא 7 מטרים.

כתוצאה מכך, המדידה של גודל מוגשת או בשם מספר, למשל, 12 מטר, או כמה מספרים בשם, למשל 5 מטרים של 7 ס"מ, מכללם נקרא מספר מועמד למועמד.

אמצעים

בכל מדינה, הממשלה הקימה יחידות מסוימות של מידה לכמויות שונות. יחידת מידה מחושבת במדויק, נלקחה כתדמית, נקראת אטלון אוֹ יחידה למופת. עשה מטרים למופת, קילוגרמים, סנטימטרים וכו ', שבו יחידות לשימוש יומיומי. יחידות כלולות ואושרו על ידי המדינה נקראות אמצעים.

אמצעים נקראים מדיםאם הם משמשים למדוד את הערכים מאותו סוג. אז, גרם וקילוגרמים הם צעדים הומוגניים, כפי שהם משמשים כדי למדוד משקל.

יחידות

להלן יחידות המדידה של כמויות שונות שנמצאות לעתים קרובות במשימות במתמטיקה:

משקל / אמצעי מסה

• 1 טון \u003d 10 שנסים
• 1 center \u003d 100 ק"ג
• 1 קילוגרם \u003d 1000 גרם
• 1 גרם \u003d 1000 מיליגרם

• קילומטר \u003d 1000 מטר
• 1 מטר \u003d 10 מעשרים
• 1 decimeter \u003d 10 ס"מ
• 1 סנטימטר \u003d 10 מילימטרים

• 1 כיכר קילומטר \u003d 100 דונם
• 1 hectare \u003d 10,000 מטרים רבועים. מטר)
• 1 כיכר מטר \u003d 10,000 מטרים רבועים. סנטימטרים
• 1 כיכר סנטימטר \u003d 100 מטרים רבועים. מ"מ

• 1 מעוקב. מטר \u003d 1000 מ"ק. עשרות מעשרים
• 1 מעוקב. Decimeter \u003d 1000 מ"ק. סנטימטרים
• 1 מעוקב. Santimeter \u003d 1000 מ"ק. מ"מ

לשקול כזה גודל כמו לִיטר. ליטר משמש למדידת קיבולת כלי הדם. ליטר הוא נפח שווה עשרות עשרום מעוקב אחד (1 ליטר \u003d 1 מטר מעוקב, Decimeter).

זמן אמצעים.

• המאה ה -1 (המאה) \u003d 100 שנים
• 1 שנה \u003d 12 חודשים
• 1 חודש \u003d 30 ימים
• שבוע \u003d 7 ימים
• 1 יום \u003d 24 שעות
• 1 שעה \u003d 60 דקות
• 1 דקות \u003d 60 שניות
• 1 השני \u003d 1000 אלפיות השנייה

בנוסף, השתמש יחידות מדידה כזו כרבע ועשור.

• רבעון - 3 חודשים
• עשור - 10 ימים

החודש מתקבל בתוך 30 ימים, אם אתה לא צריך לקבוע את המספר ואת שם החודש. ינואר, מארס, מאי, יולי, אוגוסט, אוקטובר ודצמבר - 31 ימים. פברואר בשנה פשוטה - 28 ימים, פברואר בשנה מעוברת - 29 ימים. אפריל, יוני, ספטמבר, נובמבר - 30 ימים.

השנה היא (בערך) את הזמן שבו כדור הארץ עושה סיבוב שלם סביב השמש. נהוג לשקול כל שלוש שנים רצופות ל -365 ימים, והרביעית הבאה היא הבאה - ב -366 ימים. שנה המכילה 366 ימים לִקְפּוֹץ, והשנים המכילות 365 ימים - פָּשׁוּט. על ידי השנה הרביעית, יום נוסף נוסף עבור הסיבה הבאה. הזמן של זרימת כדור הארץ סביב השמש מכיל כשלעצמו לא בדיוק 365 ימים, אבל 365 ימים ו 6 שעות (בערך). לכן, השנה הפשוטה היא קצרה יותר מאשר השנה האמיתית במשך 6 שעות, ו 4 של השנה הרגילה בקיצור, 4 שנים אמת במשך 24 שעות, i.e ביום אחד. לכן, כל שנה רביעית להוסיף יום אחד (29 בפברואר).

על סוגים אחרים של גודל תוכלו ללמוד כמחקר האחרון של מדעים שונים.

שמות מקוצר של Mer.

שמות מקוצרים של צעדים נלקחים לרשום שום נקודה:

כלי מדידה

למדידת כמויות שונות, מכשירי מדידה מיוחדים משמשים. חלקם פשוטים מאוד ומיועדים למדידות פשוטות. מכשירים אלה כוללים סרגל מדידה, רולטה, גליל מדידה וכו 'מכשירי מדידה אחרים מורכבים יותר. מכשירים כאלה כוללים stopwalls, מדי חום, קשקשים אלקטרוניים, וכו '

מכשירי מדידה, ככלל, יש סולם מדידה (או בקצרה). משמעות הדבר היא כי חטיבות בר מוחלות על המכשיר, והערך המתאים נכתב ליד כל חטיבת בר. המרחק בין שני שבץ, ליד אשר הערך נכתב, ניתן לחלק גם למספר חטיבות קטנות יותר, חלוקות אלה מצוינים לרוב על ידי מספרים.

כדי לקבוע איזה ערך של הערך מתאים לכל חלוקה קטנה, זה לא קשה. לדוגמה, הדמות שלהלן מציגה את סרגל המדידה:

דמויות 1, 2, 3, 4, וכו 'מצביעים על מרחקים בין שבץ, המחולקים 10 חטיבות זהות. כתוצאה מכך, כל חלוקה (המרחק בין שבץ הקרוב) מתאים ל -1 מ"מ. ערך זה נקרא סולם המחיר כלי מדידה.

לפני שתמשיך עם המדידה של הערך, יש לקבוע את המחיר של חלוקת היקף המכשיר.

על מנת לקבוע את מחיר הליקוי, יש צורך:

1. מצא את שתי נגיעות הקרובות ביותר של הסולם, ליד אילו הערכים נכתבים.
2. הניכוי מהערך הגדול יותר הוא פחות והמספר המתקבל מחולק למספר החטיבות ביניהם.

כדוגמה, נקבע את החלוקה של סולם המדחום המתואר בתמונה משמאל.

קח שתי משיכות, אשר הערכים המספריים של הערך הנמדד (טמפרטורה) מוחלים.

לדוגמה, נוגע עם סימון 20 ° C ו 30 ° C. המרחק בין שבץ אלה מחולק ל -10 חטיבות. כך, המחיר של כל חלוקה יהיה שווה ל:

(30 ° C - 20 ° C): 10 \u003d 1 ° C

כתוצאה מכך, מדחום מראה 47 ° C.

למדוד כמויות שונות בחיי היומיום היא לצמיתות כל אחד מאיתנו. לדוגמה, לבוא בזמן לבית הספר או לעבוד, יש צורך למדוד את הזמן כי יהיה בילה על הכביש. מטאורולוגים עבור חיזוי מזג האוויר למדוד טמפרטורה, לחץ אטמוספרי, מהירות הרוח, וכו '

אורך, אזור, משקל, זמן, נפח - ערכים. היכרות ראשונית איתם מתרחשת בבית הספר היסודי, שבו גודל יחד עם המספר הוא מושג מוביל.

הערך הוא נכס מיוחד של אובייקטים או תופעות אמיתיים, והמוזרות היא כי ניתן למדוד את הנכס הזה, כלומר, שם כמות גודל. ערכים המבטאים את אותם אובייקטי נכסים נקראים ערכים של סוג אחד אוֹ ערכים הומוגניים. לדוגמה, אורך השולחן ואורך החדרים הוא ערכים הומוגניים. ערכים - אורך, אזור, מסה ואחרים יש מספר נכסים.

1) כל שני ערכים מסוג אחד הם דומים: הם שווים או אחד פחות (יותר) אחר. כלומר, עבור הערכים של אותו סוג, היחסים "שווים", "פחות", "יותר" ועל כל ערכים והוא אמיתי אחד ורק אחד היחסים: למשל, אנחנו אומרים את זה אורך ההיפוטנוג של המשולש המלבני גדול מכל קאטאטה של \u200b\u200bהמשולש הזה; משקל לימון הוא פחות ממסה של אבטיח; אורכי הצדדים הנגדיים של המלבן שווים.

2) הערכים של אותו סוגים יכולים להיות מקופלים, כתוצאה מהתוספת, הערך של אותו סוג יהיה. הָהֵן. עבור כל שני ערכים A ו- B, הערך של A + B הוא בהחלט נקבע; זה נקרא סְכוּם ערכים A ו- B. לדוגמה, אם קטע AB באורך הוא אורך מגזר השמש (איור 1), אז אורך מגזר AU הוא סכום של אורכי המגזרים של אב ושמש;

3) גודל. הכפל בתוקף המספר הנובע מהגודל מאותו סוג. לאחר מכן עבור כל ערך A ו כל מספר לא שלילי X, יש ערך אחד B \u003d X A, הערך של B נקרא עֲבוֹדָהערכים מספר X. לדוגמה, אם אורך של פלח AB הכפל

x \u003d 2, אז נקבל את אורך הקטע החדש של AU. (איור 2)

4) הערכים של אותו סוג הם מופחתים על ידי קביעת ההבדל של ערכים על הסכום: ההפרש של ערכים A ו- B נקרא ערך כזה עם זה \u003d b + c. לדוגמה, אם הוא אורך של קטע AU, B - אורך החתך של AB, אז אורך מגזר השמש הוא ההבדל של אורכים של מגזרים ורמקולים ו- AB.

5) ערכי סוג אחד מחולקים, קביעת הפרטי באמצעות תוצר של הערך של המספר; ערכים פרטיים A ו- B- שנקרא כזה מספר חוקי לא שלילי X, שהוא \u003d x ב. לעתים קרובות יותר מספר זה נקרא יחסי A ו- B ו הרשמה בטופס זה: A / B \u003d x. לדוגמה, היחס בין אורך הקטע של AU לאורך קטע של AB הוא 2. (איור מס '2).

6) היחס "פחות" לערכים הומוגניים באופן מתעריץ: אם<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

תהליך ההשוואה תלוי בסוג של הערכים הנדונים: עבור אורכים זה אחד, עבור הריבועים - השני, עבור המסה והשלישית וכן הלאה. אבל מה התהליך הזה, כתוצאה מהמדידה, הערך מקבל ערך מספרי מסוים עם היחידה הנבחרת.

באופן כללי, אם הערך A ניתן ליחידה של E נבחרה, ולאחר מכן כתוצאה ממדידת הערך ולמצוא מספר חוק חוקי X, שהוא \u003d x e. מספר X זה נקרא ערך מספרי של הערך של היחידה. זה יכול להיות כתוב כמו: x \u003d m (a) .

על פי ההגדרה, כל ערך יכול להיות מיוצג כתוצר של מספר ויחידות מסוימות של גודל זה. לדוגמה, 7 ק"ג \u003d 7 ∙ 1 ק"ג, 12 ס"מ \u003d 12 ∙ 1 ס"מ, 15h \u003d 15 ∙ 1 שעות. באמצעות זה, כמו גם קביעת הכפל של הערך למספר, אתה יכול להצדיק את תהליך המעבר מ יחידה אחת של הכמות למשנהו. תן, למשל, אתה צריך להביע 5/12 שעות בתוך דקות. מאז, 5 / 12h \u003d 5/12 60min \u003d (5/12 ∙ 60) min \u003d 25min.

ערכים שנקבעו במלואם על ידי ערך מספרי אחד נקראים סקלר ערכים. כגון, למשל, הם אורך, אזור, נפח, מסה ואחרים. בנוסף לכמויות סקלר, כמויות וקטוריות לשקול במתמטיקה. כדי לקבוע את גודל וקטור, יש צורך לציין לא רק את הערך המספרי שלה, אלא גם את הכיוון. ערכי וקטור הם כוח, האצה, חוזק שדה חשמלי ועוד.

בבית הספר היסודי, רק ערכים סקלרים נחשבים, וכאלה, הערכים המספריים שבהם חיוביים, כלומר, ערכים סקלרים חיוביים.

מדידת ערכים מאפשרת לך להשוות מהם להשוות מספרים, פעולות על הערכים לפעולות המתאימות על המספרים.

1 /. אם הערכים של A ו- B נמדדים באמצעות יחידה של E, היחסים בין הערכים A ו- B יהיה זהה ליחסים בין ערכיהם המספריים, ולהיפך.

A \u003d b m (a) \u003d m (ב),

A\u003e B M (A)\u003e מ '(ב),

א.

לדוגמה, אם ההמונים של שני גופים הם כאלה כי \u003d 5 ק"ג, B \u003d 3 ק"ג, אז זה יכול להיות טען כי המסה היא יותר מסה B מאז 5\u003e 3.