מציאת המקדמים של פולינום. מערכים. ראה מה הם "מקדמים פולינומיים" במילונים אחרים

שיטה ראשונה באמצעות גרף;
שיטה 2 באמצעות פונקציה Excel =LINEST();

קרא עוד על הפולינום וכיצד לחשב אותו באקסל בהמשך המאמר שלנו.

מגמה פולינומיתמשמש לתיאור ערכים של סדרות זמן הגדלות ויורדות לסירוגין. הפולינום מצוין לניתוח מערך נתונים גדול בגודל לא יציב (לדוגמה, מכירות של פריטים עונתיים).

מהו פולינום? פולינוםהיא פונקציית חזקה y=ax 2 +bx+c (פולינום מהמעלה השנייה) ו-y=ax 3 +bx 2 +cx+d (פולינום מהמעלה השלישית) וכו'. תואר פולינומיקובע את מספר הקיצונים (פסגות), כלומר. ערכי מקסימום ומינימום לאורך פרק הזמן המנותח.

U פולינום מהמעלה השנייה y=ax 2 +bx+c (1 מקסימום בתרשים למטה).

U פולינום מדרגה שלישית y=ax 3 +bx 2 +cx+d אולי קיצוני אחד או שניים.

קיצוני אחד

שני קצוות

U פולינום מדרגה רביעיתלא עוד שלושה קצוותוכו '

כיצד לחשב ערכי פולינום באקסל?

ישנן 3 דרכים לחישוב ערכי פולינום באקסל:

שיטה ראשונה באמצעות גרף;
שיטה 2 באמצעות פונקציית Excel = LINEST;
שיטה שלישית באמצעות Forecast4AC PRO;

דרך 1 לחישוב פולינום - באמצעות גרף

אנו בוחרים סדרה עם ערכים ובונים גרף סדרת זמן.

אנו מוסיפים פולינום מדרגה 6 לגרף.

לאחר מכן, בפורמט קו המגמה, סמן את התיבה "הצג משוואה בתרשים"

לאחר מכן, המשוואה משורטטת כ-y = 3.7066x 6 - 234.94x 5 + 4973.6x 4 - 35930x 3 - 7576.8x 2 + 645515x + 5E+06. על מנת להפוך את המקדם האחרון לקריא, אנו מחזיקים את לחצן העכבר השמאלי ובוחרים את משוואת הפולינום

לחץ לחיצה ימנית ובחר "פורמט תווית קו מגמה"

בהגדרות הכיתוב של קו המגמה, בחר מספר ובפורמטים של מספרים בחר "נומרי".

נקבל את המשוואה הפולינומית בפורמט קריא:

y = 3.71x 6 - 234.94x 5 + 4,973.59x 4 - 35,929.91x 3 - 7,576.79x 2 + 645,514.77x + 4,693,169.35

מהמשוואה הזו ניקח את המקדמים a, b, c, d, g, m, v, ו- enterלתוך תאי Excel המתאימים

אנו מקצים מספר סידורי לכל תקופה בסדרת הזמן, אותו נחליף במשוואה במקום X.

בואו לחשב את ערכי הפולינום עבור כל תקופה. לשם כך, הזן את הנוסחה הפולינומית y = 3.71x 6 - 234.94x 5 + 4,973.59x 4 - 35,929.91x 3 - 7,576.79x 2 + 645,514.77x + 4,693,169 (ראה קישורים למגמה לתא הראשון ולתקן את המקדם).

R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 +R7C8*RC[-3] +R8C8

דרך שנייה לחישוב פולינום באקסל - פונקציה LINEST()

בואו נחשב את מקדמי המגמה הליניאריים באמצעות התקן פונקציות Excel =LINEST()

לחישוב המקדמים בנוסחה =LINEST(ערכי y ידועים, ערכי x ידועים, קבוע, סטטיסטיקה) הזן:

"ערכים ידועים של y" (נפחי מכירות לתקופות),
"ערכי x ידועים" (מספר סידורי של סדרת הזמן),
הגדר את "1" לקבוע
לסטטיסטיקה "0"

נקבל את הנוסחה הבאה:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C;R[-5]C:R[-5]C;1;0),

כעת, עבור הנוסחה Linear() חישב את המקדמים של הפולינום, צריך להוסיף לו את מידת הפולינום שאת המקדמים שלו אנחנו רוצים לחשב.

לשם כך, בחלק של הנוסחה עם "ערכים ידועים של x" אנו נכנסים תואר פולינום:

^(1:2:3:4:5:6) - לחישוב המקדמים של פולינום מדרגה 6
^(1:2:3:4:5) - לחישוב המקדמים של פולינום מדרגה 5
^(1:2) - לחישוב המקדמים של פולינום מדרגה 2

נקבל את הנוסחה הבאה:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C; R[-5]C:R[-5]C^(1:2:3:4:5:6) ; 1; 0)

הזינו את הנוסחה לתא, נקבל 3.71 -- ערך (א) עבור פולינום מדרגה 6 y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

על מנת שאקסל יחשב את כל 7 מקדמי הפולינוםמדרגה 6 y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, יש צורך:

1. מקם את הסמן בתא עם הנוסחה ובחר 7 תאים סמוכים מימין, כמו באיור:

2. הקש על מקש F2

אנו מקבלים 7 מקדמי מגמה פולינומיים מהמעלה השישית.

בואו לחשב את ערכי מגמת הפולינום באמצעות המקדמים שהתקבלו. החלף לתוך המשוואה y=3.7* x ^ 6 -234.9* x ^ 5 +4973.5* x ^ 4 -35929.9 * x^3 -7576.7 * x^2 +645514.7* x +4693169.3 מספרים של נקודות X עבורם אנחנו רוצים חשב את ערכי הפולינום.

אנו מקצים מספר סידורי לכל תקופה בסדרת הזמן, אותו נחליף במשוואת הפולינום במקום X.

הבה נחשב את ערכי המגמה של פולינום עבור כל תקופה. לשם כך, הזן את נוסחת הפולינום בתא הראשון ותקן את הקישורים למקדמי המגמה (ראה)

נקבל את הנוסחה הבאה:

R2C8 *RC[-3]^6+R3C8 *RC[-3]^5+R4C8 *RC[-3]^4+R5C8 *RC[-3]^3+R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+R8C8

שבהם מקדמי המגמה קבועים ובמקום "x" אנו מחליפים התייחסות למספר של סדרת הזמן הנוכחית (עבור הראשונה הערך הוא 1, עבור השנייה 2 וכו')

אנו גם מעלים את "X" לעוצמה המתאימה (סמל "^" באקסל פירושו העלאה לעוצמה)

R2C8*RC[-3]^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 + R7C8*RC[-3]+R8C8

כעת אנו מרחיבים את הנוסחה לסוף סדרת הזמן ומקבלים את הערכים המחושבים של מגמת הפולינום עבור כל תקופה.

השיטה השנייה מדויקת יותר מהראשונה, כי אנו מקבלים מקדמי מגמה ללא עיגול, וגם החישוב הזה מהיר יותר.

דרך שלישית לחישוב ערכי מגמה פולינומיים - Forecast4AC PRO

מקם את הסמן בתחילת סדרת הזמן

עבור להגדרות Forecast4AC PRO, בחר "תחזית עם צמיחה ועונתיות", "פולינום מדרגה 6", לחץ על כפתור "חשב".

אנחנו הולכים לגיליון עם החישוב שלב אחר שלב "ForPol6", מוצאים את השורה "מגמה מתעוררת":

העתק את הערכים לגיליון שלנו.

אנו מקבלים את הערכים של הפולינום מדרגה 6, המחושבים ב-3 דרכים באמצעות:

מקדמי מגמה פולינומיים משורטטים על גרף;
מקדמי פולינום מחושבים באמצעות הפונקציה Excel =LINEST
ועם Forecast4AC PRO בלחיצת מקש, במהירות ובקלות.

הצטרף אלינו!

הורד בחינם אפליקציות חיזוי וניתוח עסקי:

Novo Forecast Lite- אוטומטי חישוב תחזית V לְהִצטַיֵן.
4analytics - ניתוח ABC-XYZוניתוח פליטות לְהִצטַיֵן.
Qlik Senseשולחן עבודה ו-QlikViewמהדורה אישית - מערכות BI לניתוח נתונים והדמיה.

בדוק את היכולות של פתרונות בתשלום:

Novo Forecast PRO- חיזוי באקסל עבור מערכי נתונים גדולים.

מקדמים פולינומיים

מקדמים רב-נומיים- מקדמים בהרחבה במונומיאלים :

ערך מקדם רב-נומי מוגדר עבור כל המספרים השלמים הלא שליליים נוכזה ש:

מקדם בינומי עבור לא שלילי נ,קהוא מקרה מיוחד של מקדם רב-נומי (עבור M= 2), כלומר

במובן קומבינטורי, המקדם הרב-נומי שווה למספר המחיצות שהוזמנו נ-הרכיב מופעל Mקבוצות משנה של סמכויות.

נכסים

ראה גם

קרן ויקימדיה. 2010.

ראה מה הם "מקדמים פולינומיים" במילונים אחרים:

- (מה-spline האנגלית, מ-spline תבנית גמישה, רצועת מתכת המשמשת לשרטוט קווים מעוקלים) פונקציה שתחום ההגדרה שלה מחולק למספר סופי של מקטעים, שעל כל אחד מהם חופף ה-spline עם .. ... ויקיפדיה

מקדמים רב-נומיים (פולינומיים) בהרחבה מונומית: נוסחה מפורשת ערך של מקדם רב-נומי ... ויקיפדיה

הבקשה "פולינומית" מנותבת לכאן; ראה גם משמעויות אחרות. פולינום (או פולינום) של n משתנים הוא סכום פורמלי סופי של הצורה שבה יש קבוצה של מספרים שלמים לא שליליים (הנקראים רב אינדקס), מספר ... ... ויקיפדיה

במתמטיקה, פולינומים או פולינומים במשתנה אחד הם פונקציות מהצורה שבה ci הם מקדמים קבועים ו-x הוא משתנה. פולינומים מהווים את אחד המחלקות החשובות ביותר של פונקציות יסודיות. חקר משוואות פולינומיות ופתרונותיהן... ... ויקיפדיה

טבלה מלבנית המורכבת משורות ו-n עמודות, שהרכיבים שלה שייכים לקבוצה מסוימת K. טבלה (1) נקראת. גם מטריצה מעל K, או מטריצה בגודל מעל K. תן את קבוצת כל המטריצות על K. אם m = n, אז (1) נקרא. כיכר... ... אנציקלופדיה מתמטית

יצוין כי במקרה שבו המאפיין של אלמנט לא ליניארי משוער על ידי ביטוי המכיל יותר משלוש נקודות, מומלץ לבחור את הערך של הפונקציה עם ערכים מרווחים שווה של הארגומנט. בנוסף, אם מספר הנקודות שצוינו עולה על מספר מקדמי הקירוב שייקבעו, מומלץ להשתמש ב"שיטת הריבועים הקטנים ביותר", בה שגיאת הריבוע הממוצעת של השורש היא מינימלית, כלומר. בשיטה זו, סכום הסטיות בריבוע של פולינום במעלה נתונה מהעקומה הוא הקטן ביותר.

בהתאם לכך, למרות תוכנות המחשב הקיימות, רצוי לספק מתכון קצר לשימוש בשיטה זו, שיאפשר לתלמיד להבין את המהות המתמטית של השיטה ובאמצעות מיקרו מחשבונים פשוטים לבצע כל קירוב במינימום האפשרי. זְמַן.

יש לציין שהכי רציונלי לחשב את המקדמים הפולינומיים בשיטת הריבועים הקטנים ביותר באמצעות אלה שהציג Yu.B. קובזרב פולינומים אורתוגונליים עבור מספר נתון N - נקודות שוות.

הבה נסמן בפולינום של תואר ל. אז מערכת הפולינומים תהיה אורתוגונלית עבור מספר נתון של נקודות אם, עבור כל אחת
השוויון מתקיים

. (16)

שימוש בפולינומים האורתוגונליים Chebyshev הידועים לפי שיטת יו.ב. קובזרב מצא את כל שבעת הפולינומים היוצרים מערכת כזו על הקטע
עבור N=11 נקודות ברווח שווה, כלומר. בְּ-
; –0.8; … 0 … 0.8; 1.0 יש לנו:

(17)

למערכת (17) של פולינומים אורתוגונליים יש את התכונה המדהימה שהרחבת כל פונקציה נתונה בהם נותנת את הקירוב הטוב ביותר במובן של הריבועים הקטנים ביותר. לכן, במקום, למשל, ביטוי (18) של מקדם השידור לפי דרגות מתח
עם מקדמים לא ידועים, נוכל לכתוב אותו על ידי הצגתו כסכום (19) של הפולינומים שנדונו לעיל:

(18)

. (19)

כאן ר- דרגת הפולינום; ר– מספר שלם השווה למספר המונח; – מקדם בעל מימד
, שאפשר לקרוא לו שיפוע של הסדר ר, כלומר יש שיפוע בסדר אפס, – צו ראשון וכו'.

הכמות הכלולה כאן איקספרופורציונלי למתח
, נמדד מאמצע קטע הקירוב
, כלומר כאשר זה משתנה
בְּתוֹך
,איקסמשתנה בין -1 ל-1, אז

. (20)

כדי לקבוע את המקדם
ב-(19) נכפיל את שני הצדדים של השוויון בפולינום
ולסכם על כל הנקודות . לאחר מכן, באמצעות תכונת האורתוגונליות (16), אנו מוצאים

. (21)

, (22)

איפה
- פולינום מנורמל

. (23)

מכיוון שצומת האפס מתאים לקצה השמאלי של קטע הקירוב, כלומר.
, ואז סכום (22) ניתן לחלק בנוחות לסכומים שבו איקס<0 и איקס>0, שכן אפילו פולינומים ( ר= 0, 2, 4, 6) באזורים אלה אינם שונים, ומוזרים ( ר=1, 3, 5, 7) נבדלים רק בסימנים. בהקשר זה, רצוי להציג מוזר
ואפילו
להרוויח רכיבים ל:

(24)

איפה
- לשנות שלב איקס(במקרה שלנו עם נ=11
);

- גודל הרווח בנקודות
.

עכשיו במקום סכומים על ערכים חיוביים ושליליים אתה יכול לקחת את הסכומים רק על החיוביים באמצעות הרכיבים הזוגיים והאי-זוגיים של הרווח. לאחר מכן

(25)

מסכם בטבלה. 1 ערכי מקדמים של פולינומים מנורמלים
ובאמצעותם, קל למצוא את המקדמים
לפי נוסחאות (25), אז ב-(19) קבץ את המונחים לפי חזקה איקסולעבור לייצוג הרווח כפולינום בחזקות
. המקדמים של פולינום זה ייבחרו במובן הטוב ביותר של הריבועים הקטנים ביותר, שבו עקומת הניסוי
יתמזג למעשה עם העקומה התיאורטית
.

נשקול את חישוב המקדמים של הפולינום המשמש בניתוח הרמוני כדי לקבוע את המקדמים והפרמטרים של אי-לינאריות, ובסופו של דבר, לבחור את המצב האופטימלי של מכשיר ההגברה באמצעות דוגמה ספציפית.

שולחן 1

אם לפולינום תואר שניאם נמצא השורש, אז ניתן להוריד את דרגת הפולינום על ידי בניית פולינום של דרגות שכל שורשיו עולים בקנה אחד עם שורשי הפולינום, אלא שאין לו שורש.

נרשום את היחס המחבר בין הפולינומים:

בהתחשב ביחס 6.3 לגבי השוויון של שני פולינומים באותה מידה, נוכל לכתוב יחס המחבר את המקדמים של פולינומים אלה. יחסים אלה אינם קשים לפתרון ביחס למקדמים לא ידועים. כתוצאה מכך אנו מקבלים:

(6.4)

שימו לב שיש רק לא ידועים, אבל אפשר לבנות משוואות - . אבל המשוואה האחרונה הוא תוצאה של הקודמים ומשמש לשליטה בחישובים.

אפשר להחיל את אותו תהליך על פולינום חדש - למצוא את השורש שלו ואז להוריד את דרגת הפולינום. במציאות, הורדת התואר אינה מפשטת מאוד את משימת מציאת השורשים, ולכן לרוב קל יותר למצוא את השורשים של הפולינום המקורי על ידי שינוי הקירוב הראשוני בתהליך איטרטיבי או על ידי מציאת מרווחים שונים שבהם הפולינום משתנה. הסימן שלו.

מציאת המקדמים של פולינום משורשיו

עד עכשיו שקלנו את הבעיה של מציאת השורשים של פולינום עם מקדמים נתונים. לפעמים צריך לפתור את הבעיה ההפוכה - למצוא את המקדמים של פולינום אם שורשיו ידועים - . ישנם אינספור פולינומים עם אותם שורשים. עם זאת, ביניהם יש פולינום בודד עם מקדם השווה לאחד. הפולינום הזה נקרא מופחת, ואנו נבנה אותו. כל שאר הפולינומים מתקבלים מהפולינום הנתון על ידי הכפלת כל המקדמים ב מספר שרירותי, מה שרק מחייב שהוא לא יהיה שווה לאפס. לכן, כדי לפתור את הבעיה באופן ייחודי, יש צורך לציין n שורשים ואת המקדם של האיבר המוביל של הפולינום. אז נוכל לכתוב את השוויון הבא:

כדי למצוא את המקדמים של הפולינום, אנו משתמשים, כרגיל, ביחס 6.3. אבל קשה ליישם אותו ישירות. לכן, נשתמש בתהליך הפוך לתהליך הפחתת התואר. תחילה נבנה פולינום מהמעלה הראשונה, שיש לו שורש בודד. לאחר מכן אנו מגדילים את המידה ובונים פולינום מהמעלה השנייה - , שיש לו שורש נוסף - . בהמשך התהליך הזה נגיע לפולינום הרצוי. כאשר מחשבים את המקדמים של פולינום חדש, נשתמש במקדמים של פולינום מחושב כבר בדרגה אחת פחותה. היחסים המתקבלים קרובים לאלו שניתנו במקרה של הקטנת דרגת הפולינום.

המקדמים של פולינום מדרגה ראשונה נכתבים במפורש:

מקדמים פולינומיים תואר ק'מחושבים באמצעות המקדמים של פולינום בדרגה k-1:

נעבור למקדמים, נקבל את המשוואות הבאות:

(6.5)

ביחס 6.5, המקדמים של פולינום של תואר מסומנים ב- . למעשה, המעגל בטוח ומאפשר לקרוא את המקדמים באותו מקום, ללא צורך בזיכרון נוסף. אתן אלגוריתם לחישוב המקדמים של פולינום משורשיו בצורה של דיאגרמה קרובה לשפת C#.

לחשב:

//חשב את המקדמים של הפולינום מדרגה ראשונה a= 1; a = -x; // מחזור מספר הפולינומים for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //עכשיו המקדם הנמוך ביותר a= -a*x; ) //השלב האחרון הוא הכפלת המקדמים ב- for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

פולינום לגראנז'

תינתן נקודה במישור:. פולינום לגראנז' הוא פולינום ממעלה n העובר דרך כל הנקודות. אם הנקודות לא יוצרות תשואות, אז פולינום כזה קיים והוא ייחודי. בתמורה אנחנו מתכוונים למצב שיש שתי נקודות וכאלה ש.

איך לבנות פולינום כזה? לגראנז' הציע את האלגוריתם הבא. הפולינום בנוי כסכום של פולינומים מדרגה n:

כל אחד מהפולינומים הכלולים בסכום בנוי באופן הבא. השורשים של פולינום הם כולם נקודות מלבד הנקודה. הייחודיות מובטחת על ידי העובדה שהמקדם של האיבר המוביל an נבחר כך שהפולינום יעבור דרך הנקודה. בסימון לגראנז', הפולינום נראה כך:

עבודת מעבדה מס' 7

אינטרפולציה של פונקציה על ידי פולינומיאלים

LAGRANGE

תרגיל.חשב את הערך המשוער של הפונקציה עבור ערך נתון של הארגומנט x* באמצעות פולינום האינטרפולציה של Lagrange; לבנות גרף של פולינום לגראנז' העובר בשש הנקודות הנתונות.

תיאור קצר של השיטה.

נתחיל בבחינת בעיית האינטרפולציה במקרה הפשוט והנחקר ביותר של אינטרפולציה על ידי פולינומים אלגבריים. עבור טבלת נתונים נתונה)

פולינום אינטרפולציה, אם הוא עומד בתנאים

ניתן לכתוב שוויון (7.2) כמערכת של משוואות

ביחס למקדמי הפולינום א ל. מערכת זו ניתנת לפתרון ייחודי, שכן מערכת הפונקציות 1, x, x 2,…x pבלתי תלוי ליניארי בנקודות x 0, x ו .x p.יכולת הפתירות הייחודית של המערכת (7.3) נובעת מהעובדה הידועה כי הקובע של מערכת זו ( קובע ונדרמונד)

שונה מאפס אם צמתי האינטרפולציה שונים בזוגיות. לפיכך, המשפט הבא נכון.

משפט 7.1.קיים פולינום אינטרפולציה ייחודי בדרגה n המקיים את התנאים(7.2).

תגובה.בפועל, מערכת (7.3) לעולם אינה משמשת לחישוב המקדמים של פולינום האינטרפולציה. העובדה היא שלעתים קרובות הוא מותנה בצורה גרועה. בנוסף, קיימות צורות מפורשות שונות לכתיבת פולינום האינטרפולציה, המשמשות באינטרפולציה. לבסוף, ברוב היישומים של פולינום האינטרפולציה, החישוב המפורש של המקדמים א לאין צורך.

בעיית אינטרפולציהמורכבת מבניית פונקציה (x) המקיימת את התנאי במילים אחרות, המשימה היא לבנות פונקציה שהגרף שלה עובר דרך נקודות נתונות (x i,y i) מכיוון שהפונקציה (x) עוברת דרך כל הנקודות הנתונות, שיטה זו היא. שקוראים לו אינטרפולציה גלובלית.המקרה הפשוט והנחקר ביותר הוא אינטרפולציה על ידי פולינומים אלגבריים. צורה אחת של כתיבת פולינום האינטרפולציה -פולינום Lagrange:

כפי שקל לראות, זהו פולינום המקיים את התנאים

לפיכך, פולינום לגראנז' הוא אכן פולינום אינטרפולציה.

בפרקטיקה ההנדסית, נעשה לרוב שימוש באינטרפולציה על ידי פולינומים מהמעלה הראשונה, השנייה והשלישית. אנו מציגים את הנוסחאות המתאימות לכתיבת פולינומים של לגראנז' מהמעלה הראשונה והשנייה:

דוגמה 7.1.תן טבלה של ערכי פונקציות בְּ-=lnx:

איקס	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
U	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,336472

כדי לחשב בערך את הערך של ln(1.23), אנו משתמשים באינטרפולציה ליניארית וריבועית.

ניקח את x 0 = 1.2 ו- x 1 = 1.3. חישוב באמצעות נוסחה (7.4) נותן את הערך 1n(1.23) 0.206335.

כדי להחיל אינטרפולציה ריבועית, קח את x 0 =1.1, x 1 =1.2, x 2 =1.3 - השלושה הקרובים ביותר לנקודה x =1.23

צוֹמֶת. בחישוב באמצעות נוסחה (7.5), יש לנו 1n(1.23) 0.207066.

אנו מציגים ללא הוכחה את המשפט הידוע ביותר על שגיאת אינטרפולציה.

משפט 7.1.תן לתפקד f(x)גָזִיר n+1

פעם אחת על קטע [א, ב],המכיל צמתי אינטרפולציה ואז לשגיאת האינטרפולציה בנקודה השוויון נכון

שבו

- נקודה כלשהי השייכת למרווח (א, ב).

החיסרון העיקרי בשימוש במשפט זה הוא שהנקודה אינה ידועה. לכן, לרוב לא נעשה שימוש במשפט עצמו, אלא בתוצאה שלו.

תוֹצָאָה.הערכה הוגנת של טעות האינטרפולציה בנקודה , בעל הטופס

כמו גם אומדן של המודול המקסימלי של שגיאת האינטרפולציה על הקטע, שיש לו את הצורה

דוגמה 7.2.הבה נאמוד את הטעות של הקירוב ל

ln(1,23) שהושג בדוגמה 7.1 באמצעות אינטרפולציה עם פולינומים מהמעלה הראשונה והשנייה. במקרים אלה, אי השוויון (7.7) מקבל את הצורה

שימו לב שיש לנו ו. לכן כאן

לאחר מכן, עקב אי-שוויון (7.9) ו-(7.10), אנו מקבלים את הערכות השגיאה הבאות:

אם על הקטע , הנגזרת משתנה מעט, ואז גודל השגיאה המוחלטת נקבע כמעט לחלוטין על ידי ערך הפונקציה. מושג על ההתנהגות האופיינית של פונקציה זו ניתן לקבל מאיור. 1. נשים לב לעובדה שכאשר הארגומנט x חורג מרווח התצפית, הערך הופך מהר מאוד לגדול מאוד. זה מסביר את חוסר האמינות של אקסטרפולציה של פונקציות עבור ערכי ארגומנטים המרוחקים מקטע התצפית.

תן לזה להיות עכשיו ותן לזה להיות אניהשלב ה' בטבלה, ומחספוס מעט את האומדן (7.8), נוכל לקבל את אי השוויון הבא

זה מאפשר לנו לקבוע שעבור פונקציה חלקה מספיק עם דרגה קבועה של פולינום האינטרפולציה, שגיאת האינטרפולציה על הקטע [x 0, x n] שואפת לאפס לא יותר מערך מסוים פרופורציונלי ל. עובדה זו מנוסחת בדרך כלל כך: אינטרפולציה על ידי פולינום של תואר פיש את סדר הדיוק (n+1) ביחס ל-h max . בפרט, לאינטרפולציה ליניארית וריבועית יש דיוק מסדר שני ושלישי, בהתאמה.

אפשרויות	איקס*	x i	y i	אפשרויות	איקס*	x i	y i
	0,702	0,43 0,48 0,55 0,62 0,70 0,75	1,63597 1,73234 1,87686 2,03345 2,22846 2,35973		0,152	0,02 0,08 0,12 0,17 0,23 0,30	1,02316 1,09590 1,14725 1,21483 1,30120 1,40976
	0,512		0,174
	0,645		0,185
	0,736		0,203
	0,526	0,35 0,41 0,47 0,51 0,56 0,64	2,73951 2,30080 1,96864 1,78776 1,59502 1,34310		0,616	0,41 0,46 0,52 0,60 0,65 0,72	2,57418 2,32513 2,09336 1,?6203 1,74260 1,62098
	0,453		0,478
. 15	0,482		0,665
	0,552		0,537
	0,896	0,68 0,73 0,80 0,88 0,93 0,99	0.80866 0,89492 1,02964 1,20966 1,34087 1,52368		0,314	0,11 0,15 0,21 0,29 0,35 0.40	9,05421 6,61659 4,69170 3,35106 2,73951 2,36522
	0,812		0,235
	0,774		0,332
	0,915		0,275