הרעיון של פונקציה רציפה בנקודה. המשכיות של תפקוד. שני גבולות נפלאים

לימוד פונקציה להמשכיות בנקודה מתבצע על פי תכנית שגרתית שכבר הוקמה, המורכבת מבדיקת שלושה תנאים של המשכיות:

דוגמה 1

פִּתָרוֹן:

1) הנקודה היחידה בתוך ה-scope היא המקום שבו הפונקציה אינה מוגדרת.

גבולות חד-צדדיים הם סופיים ושווים.

לפיכך, בשלב שבו הפונקציה סובלת מחוסר המשכיות הניתנת להסרה.

איך נראה הגרף של פונקציה זו?

הייתי רוצה לבצע פישוט, ונראה שהתוצאה היא פרבולה רגילה. אבלהפונקציה המקורית אינה מוגדרת בנקודה , ולכן נדרשת הסעיף הבא:

בואו נעשה את הציור:

תשובה: הפונקציה רציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה שבה היא סובלת מחוסר המשכיות הניתנת להסרה.

ניתן להגדיר עוד יותר את הפונקציה בצורה טובה או פחות טובה, אך לפי התנאי זה לא נדרש.

אתה אומר שזו דוגמה מופרכת? בכלל לא. זה קרה עשרות פעמים בפועל. כמעט כל משימות האתר נובעות מעבודה ומבחנים עצמאיים אמיתיים.

בואו ניפטר מהמודולים האהובים עלינו:

דוגמה 2

בדוק את הפונקציה להמשכיות. קבע את אופי אי המשכיות הפונקציה, אם הן קיימות. בצע את הציור.

פִּתָרוֹן: מסיבה כלשהי, התלמידים מפחדים ולא אוהבים פונקציות עם מודול, למרות שאין בהן שום דבר מסובך. כבר נגענו קצת בדברים כאלה בשיעור. טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים. מכיוון שהמודול אינו שלילי, הוא מורחב באופן הבא: , כאשר "אלפא" הוא ביטוי כלשהו. במקרה זה, והפונקציה שלנו צריכה להיכתב בצורה חלקית:

אבל יש להפחית את השברים של שני החלקים ב-. ההפחתה, כמו בדוגמה הקודמת, לא תתבצע ללא השלכות. הפונקציה המקורית אינה מוגדרת בנקודה מכיוון שהמכנה מגיע לאפס. לכן, המערכת צריכה לציין בנוסף את התנאי ולהקפיד על אי השוויון הראשון:

עכשיו לגבי VERY קליטה שימושיתפתרונות: לפני סיום המשימה על טיוטה, כדאי לעשות ציור (ללא קשר אם זה נדרש על פי התנאים או לא). זה יעזור, ראשית, לראות מיד נקודות של המשכיות ונקודות של אי-רציפות, ושנית, זה יגן עליך ב-100% מפני שגיאות בעת מציאת מגבלות חד-צדדיות.

בוא נעשה את הציור. בהתאם לחישובים שלנו, משמאל לנקודה יש ​​צורך לצייר שבר של פרבולה (צבע כחול), ומימין - חתיכת פרבולה (צבע אדום), בעוד שהפונקציה אינה מוגדרת ב- הנקודה עצמה:

אם יש לך ספק, קח כמה ערכי x, חבר אותם לפונקציה (תזכור שהמודלוס מבטל את סימן המינוס האפשרי) ובדקו את הגרף.

הבה נבחן את הפונקציה עבור המשכיות בצורה אנליטית:

1) הפונקציה לא מוגדרת בנקודה, אז נוכל לומר מיד שהיא לא רציפה בה.

2) בואו נבסס את אופי האי-רציפות כדי לעשות זאת, אנו מחשבים גבולות חד-צדדיים:

הגבולות החד-צדדיים הם סופיים ושונים, מה שאומר שהפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג הראשון עם קפיצה בנקודה . שימו לב שזה לא משנה אם הפונקציה בנקודת השבירה מוגדרת או לא.

כעת נותר רק להעביר את הציור מהטיוטה (הוא נעשה כאילו בעזרת מחקר ;-)) ולהשלים את המשימה:

תשובה: הפונקציה רציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה בה היא סובלת מחוסר רציפות מהסוג הראשון בקפיצה.

לפעמים הם דורשים אינדיקציה נוספת של קפיצת אי ההמשכיות. זה מחושב בפשטות - מהגבול הימני צריך להחסיר את הגבול השמאלי: , כלומר, בנקודת השבירה הפונקציה שלנו קפצה 2 יחידות למטה (כפי שסימן המינוס אומר לנו).

דוגמה 3

בדוק את הפונקציה להמשכיות. קבע את אופי אי המשכיות הפונקציה, אם הן קיימות. תעשה ציור.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך, פתרון לדוגמה בסוף השיעור.

נעבור לגרסה הפופולרית והנפוצה ביותר של המשימה, כאשר הפונקציה מורכבת משלושה חלקים:

דוגמה 4

בחן פונקציה להמשכיות ושרטט גרף של הפונקציה

פִּתָרוֹן: ברור שכל שלושת חלקי הפונקציה הם רציפים במרווחים המתאימים, ולכן נותר לבדוק רק שתי נקודות של "צומת" בין החלקים. ראשית, בואו נעשה טיוטה של ​​ציור. הערתי על טכניקת הבנייה בפירוט מספיק בחלק הראשון של המאמר. הדבר היחיד הוא שעלינו לעקוב בקפידה אחר הנקודות הסינגולריות שלנו: בשל אי השוויון, הערך שייך לקו הישר (נקודה ירוקה), ובשל אי השוויון, הערך שייך לפרבולה (נקודה אדומה):

ובכן, באופן עקרוני, הכל ברור =) כל מה שנותר הוא למסד את ההחלטה. עבור כל אחת משתי נקודות ה"הצטרפות", אנו בודקים באופן סטנדרטי 3 תנאי המשכיות:

אני)

הגבולות החד-צדדיים הם סופיים ושונים, מה שאומר שהפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג הראשון עם קפיצה בנקודה .

הבה נחשב את קפיצת אי ההמשכיות כהפרש בין הגבול הימני לשמאלי:
כלומר, הגרף הקפיץ יחידה אחת.

II)אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

1) - הפונקציה מוגדרת בנקודה נתונה.

2) מצא מגבלות חד-צדדיות:

גבולות חד-צדדיים הם סופיים ושווים, מה שאומר שיש גבול כללי.

בשלב הסופי, אנו מעבירים את הציור לגרסה הסופית, ולאחר מכן שמים את האקורד הסופי:

תשובה: הפונקציה רציפה על כל קו המספרים, למעט הנקודה בה היא סובלת מחוסר רציפות מהסוג הראשון בקפיצה.

דוגמה 5

בחן את הפונקציה להמשכיות ובנה את הגרף שלה.

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי, פתרון קצר ודגימה משוערת של הבעיה בסוף השיעור.

ייתכן שתתרשם שבשלב מסוים הפונקציה חייבת להיות רציפה, ובשלב אחר חייבת להיות אי רציפות. בפועל, זה לא תמיד כך. נסו לא להזניח את הדוגמאות הנותרות - יהיו כמה תכונות מעניינות וחשובות:

דוגמה 6

הפונקציה ניתנת. חקור את הפונקציה להמשכיות בנקודות. בנה גרף.

פִּתָרוֹן: ושוב בצע מיד את הציור על הטיוטה:

הייחודיות של גרף זה היא שהפונקציה החתיכה ניתנת על ידי משוואת ציר האבשיסה. כאן אזור זה מצויר בירוק, אך במחברת הוא מודגש בדרך כלל בהדגשה בעיפרון פשוט. וכמובן, אל תשכחו את האילים שלנו: הערך שייך לענף המשיק (נקודה אדומה), והערך שייך לקו הישר.

הכל ברור מהציור - הפונקציה רציפה לאורך כל קו המספרים, כל שנותר הוא לנסח את הפתרון, שמובא לאוטומציה מלאה ממש לאחר 3-4 דוגמאות דומות:

אני)אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

1) - הפונקציה מוגדרת בנקודה נתונה.

2) בואו נחשב גבולות חד צדדיים:

זה אומר שיש גבול כללי.

קרה פה משהו מצחיק. העובדה היא שיצרתי הרבה חומרים לגבי גבולות הפונקציה, וכמה פעמים רציתי, אבל כמה פעמים שכחתי שאלה אחת פשוטה. וכך, במאמץ מדהים של רצון, הכרחתי את עצמי לא לאבד את המחשבה שלי =) סביר להניח שכמה קוראי "טמבלים" מפקפקים: מה הגבול של הקבוע?הגבול של קבוע שווה לקבוע עצמו. במקרה זה, הגבול של אפס שווה לאפס עצמו (מגבלה שמאלנית).

3) - הגבול של פונקציה בנקודה שווה לערך של פונקציה זו בנקודה נתונה.

לפיכך, פונקציה היא רציפה בנקודה לפי ההגדרה של המשכיות של פונקציה בנקודה.

II)אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

1) - הפונקציה מוגדרת בנקודה נתונה.

2) מצא מגבלות חד-צדדיות:

והנה, בגבול יד ימין, גבול האחדות שווה לאחדות עצמה.

יש גבול כללי.

3) - הגבול של פונקציה בנקודה שווה לערך של פונקציה זו בנקודה נתונה.

לפיכך, פונקציה היא רציפה בנקודה לפי ההגדרה של המשכיות של פונקציה בנקודה.

כרגיל, לאחר מחקר אנו מעבירים את הציור שלנו לגרסה הסופית.

תשובה: הפונקציה רציפה בנקודות.

שימו לב שבמצב לא נשאלנו דבר על לימוד הפונקציה כולה להמשכיות, והיא נחשבת צורה מתמטית טובה לניסוח מדויק וברורהתשובה לשאלה שנשאלה. אגב, אם התנאים לא מחייבים אותך לבנות גרף, אז זכותך המלאה לא לבנות אותו (למרות שבהמשך המורה יכול להכריח אותך לעשות זאת).

"סובב לשון" מתמטי קטן לפתרון בעצמך:

דוגמה 7

הפונקציה ניתנת.

חקור את הפונקציה להמשכיות בנקודות. סיווג נקודות שבירה, אם ישנן. בצע את הציור.

נסו "לבטא" נכון את כל ה"מילים" =) וצייר את הגרף בצורה מדויקת יותר, דיוק, זה לא יהיה מיותר בכל מקום;-)

כזכור, המלצתי להשלים מיד את הציור כטיוטה, אבל מדי פעם נתקלים בדוגמאות שבהן לא ניתן להבין מיד איך נראה הגרף. לכן, במספר מקרים כדאי למצוא תחילה מגבלות חד צדדיות ורק לאחר מכן, על סמך המחקר, לתאר את הענפים. בשתי הדוגמאות האחרונות נלמד גם טכניקה לחישוב כמה מגבלות חד-צדדיות:

דוגמה 8

בחן את הפונקציה להמשכיות ובנה את הגרף הסכמטי שלה.

פִּתָרוֹן: הנקודות הרעות ברורות: (מפחית את המכנה של המעריך לאפס) ו (מפחית את המכנה של השבר כולו לאפס). לא ברור איך נראה הגרף של הפונקציה הזו, מה שאומר שעדיף לעשות קצת מחקר קודם:

אני)אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

2) מצא מגבלות חד-צדדיות:

שים לב ל שיטה טיפוסית לחישוב גבול חד צדדי: במקום "x" נחליף את . אין פשע במכנה: ה"תוספת" "מינוס אפס" לא משחקת תפקיד, והתוצאה היא "ארבע". אבל במונה מתרחש מותחן קטן: תחילה אנו הורגים -1 ו-1 במכנה של המחוון, וכתוצאה מכך . יחידה חלקי ב , שווה ל"מינוס אינסוף", לכן:. ולבסוף, ה"שניים" פנימה דרגה שלילית גדולה לאין שיעורשווה לאפס: . או, אם להיות אפילו יותר מפורט: .

בוא נחשב את הגבול של יד ימין:

וכאן - במקום "X" נחליף את . במכנה, ה"תוסף" שוב לא משחק תפקיד:. במונה מבוצעות פעולות דומות למגבלה הקודמת: אנו הורסים את המספרים ההפוכים ומחלקים אחד ב- :

הגבול הימני הוא אינסופי, מה שאומר שהפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג השני בנקודה .

II)אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

1) הפונקציה אינה מוגדרת בשלב זה.

2) בואו נחשב את הגבול בצד שמאל:

השיטה זהה: אנו מחליפים את "X" בפונקציה. אין שום דבר מעניין במונה - מסתבר שזהו מספר חיובי סופי. ובמכנה אנחנו פותחים את הסוגריים, מסירים את ה"שלוש", וה"תוסף" משחק תפקיד מכריע.

כתוצאה מכך, המספר החיובי הסופי חלקי ב מספר חיובי אינפיניטסימלי, נותן "פלוס אינסוף": .

גבול יד ימין הוא כמו אח תאום, עם היוצא מן הכלל שהוא מופיע במכנה מספר שלילי אינפיניטסימלי:

גבולות חד-צדדיים הם אינסופיים, מה שאומר שהפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג השני בנקודה .

לפיכך, יש לנו שתי נקודות שבירה, וכמובן, שלושה ענפים של הגרף. לכל סניף רצוי לבצע בנייה נקודתית, כלומר. קח מספר ערכי "x" והחלף אותם ב-. שימו לב שהתנאי מאפשר בניית שרטוט סכמטי, והרפיה כזו היא טבעית לעבודה ידנית. אני בונה גרפים באמצעות תוכנה, אז אין לי קשיים כאלה, הנה תמונה די מדויקת:

ישירים הם אסימפטוטות אנכיותעבור הגרף של פונקציה זו.

תשובה: הפונקציה רציפה על כל קו המספרים למעט נקודות שבהן היא סובלת מחוסר רציפות מהסוג השני.

פונקציה פשוטה יותר לפתרון בעצמך:

דוגמה 9

בחנו את הפונקציה להמשכיות וערכו שרטוט סכמטי.

דוגמה משוערת לפתרון בסוף שהתגנב בלי לשים לב.

נתראה בקרוב!

פתרונות ותשובות:

דוגמה 3:פִּתָרוֹן : להפוך את הפונקציה: . בהתחשב בכלל גילוי המודול והעובדה ש , נכתוב מחדש את הפונקציה בצורה חלקית:

הבה נבחן את הפונקציה להמשכיות.

1) הפונקציה לא מוגדרת בנקודה .

הגבולות החד-צדדיים הם סופיים ושונים, מה שאומר שהפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג הראשון עם קפיצה בנקודה . בואו נעשה את הציור:

תשובה: הפונקציה רציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה , שבו הוא סובל מחוסר המשכיות מהסוג הראשון עם קפיצה. פער קפיצה: (שתי יחידות למעלה).

דוגמה 5:פִּתָרוֹן : כל אחד משלושת חלקי הפונקציה הוא רציף במרווח משלו.
אני)
1)

2) בואו נחשב גבולות חד צדדיים:

, כלומר יש גבול כללי.
3) - הגבול של פונקציה בנקודה שווה לערך של פונקציה זו בנקודה נתונה.
אז הפונקציה רציף בנקודה מסוימת על ידי הגדרת המשכיות של פונקציה בנקודה.
II) אנו בוחנים את נקודת ההמשכיות

1) - הפונקציה מוגדרת בנקודה נתונה. הפונקציה סובלת מחוסר המשכיות מהסוג השני בנקודה

איך למצוא את התחום של פונקציה?

דוגמאות לפתרונות

אם משהו חסר איפשהו, זה אומר שיש משהו איפשהו

אנו ממשיכים בלימוד הסעיף "פונקציות וגרפים", והתחנה הבאה במסע שלנו היא תחום פונקציה. דיון פעיל המושג הזההתחיל בשיעור הראשון על גרפי פונקציות, שם הסתכלתי על פונקציות יסודיות, ובפרט, תחומי ההגדרה שלהן. לכן, אני ממליץ לבובות להתחיל עם היסודות של הנושא, שכן לא אתעכב שוב על כמה נקודות בסיסיות.

ההנחה היא שהקורא מכיר את תחומי ההגדרה של הפונקציות הבסיסיות: פונקציות לינאריות, ריבועיות, קוביות, פולינומים, מעריכי, לוגריתם, סינוס, קוסינוס. הם מוגדרים ב. למשיקים, arcsines, אז שיהיה, אני סולח לך =) גרפים נדירים יותר לא זכורים מיד.

נראה שהיקף ההגדרה הוא דבר פשוט, ועולה שאלה הגיונית: על מה יעסוק המאמר? בשיעור זה אסתכל על בעיות נפוצות של מציאת התחום של פונקציה. יתר על כן, נחזור על כך אי שוויון עם משתנה אחד, מיומנויות הפתרון שלהן יידרשו גם בבעיות אחרות של מתמטיקה גבוהה יותר. החומר, אגב, הוא כולו חומר בית ספרי, כך שהוא יהיה שימושי לא רק לתלמידים, אלא גם לתלמידים. המידע, כמובן, אינו מתיימר להיות אנציקלופדי, אבל כאן אין דוגמאות "מתות" מופרכות, אלא ערמונים קלויים, שלקוחים מיצירות מעשיות אמיתיות.

נתחיל בצלילה מהירה לנושא. בקצרה על העיקר: אנחנו מדברים על פונקציה של משתנה אחד. תחום ההגדרה שלו הוא משמעויות רבות של "x", לאיזה קיימיםמשמעויות של "שחקנים". בואו נסתכל על דוגמה היפותטית:

תחום ההגדרה של פונקציה זו הוא איחוד של מרווחים:
(למי ששכח: - אייקון איחוד). במילים אחרות, אם אתה לוקח ערך כלשהו של "x" מהמרווח , או מ-, או מ-, אז עבור כל "x" כזה יהיה ערך "y".

באופן גס, היכן שתחום ההגדרה נמצא, יש גרף של הפונקציה. אבל חצי המרווח ונקודת "tse" אינם כלולים באזור ההגדרה, כך שאין שם גרף.

כן, אגב, אם משהו לא ברור מהטרמינולוגיה ו/או התוכן של הפסקאות הראשונות, עדיף לחזור למאמר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות.

המשכיות של פונקציה בנקודה

תן לפונקציה f(x) להיות מוגדרת בשכונה כלשהי O(x0) של הנקודה x0 (כולל הנקודה x0 עצמה).

פונקציה f(x) נקראת רציפה בנקודה x0 אם קיים limx → x0 f(x) שווה לערך הפונקציה f(x) בנקודה זו: lim

f(x) = f(x0), (1)

הָהֵן. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

תגובה. שוויון (1) יכול להיכתב כ: lim

הָהֵן. תחת סימן של פונקציה מתמשכת אפשר ללכת עד הקצה.

תן Δx = x − x0 להיות התוספת של הארגומנט, Δy = f(x) − f(x0) תהיה התוספת המקבילה של הפונקציה.

תנאי הכרחי ומספיק להמשכיות של פונקציה בנקודה

הפונקציה y = f(x) היא רציפה ב-x0 if ורק אם

תגובה. תנאי (2) יכול להתפרש כהגדרה השנייה של המשכיות של פונקציה בנקודה. שתי ההגדרות שוות ערך.

תן לפונקציה f(x) להיות מוגדרת בחצי המרווח.

אומרים שפונקציה f(x) תישאר רציפה ב-x0 אם יש גבול חד-צדדי lim

המשכיות של הסכום, המכפלה והמנה של שתי פונקציות רציפות

משפט 1. אם הפונקציות f(x) ו-g(x) רציפות בנקודה x0, אז f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) הן רציפות בנקודה זו נְקוּדָה

המשכיות של פונקציה מורכבת

משפט 2. אם הפונקציה u(x) רציפה בנקודה x0, והפונקציה f(u) רציפה בנקודה המקבילה u0 = f(x0), אז הפונקציה המורכבת f(u(x)) היא רציפה בנקודה x0.

כל הפונקציות היסודיות הן רציפות בכל נקודה בתחומי ההגדרה שלהן.

מאפיינים מקומיים של פונקציות רציפות

משפט 3 (תגבולות של פונקציה רציפה). אם הפונקציה f(x) רציפה ב-x0, אז יש שכונה O(x0) שבה f(x) מוגבל.

ההוכחה נובעת מהאמירה על גבולותיה של פונקציה שיש לה גבול.

משפט 4 (יציבות הסימן של פונקציה מתמשכת). אם הפונקציה f(x) רציפה בנקודה x0 ו-f(x0) ≠ 0, אז יש שכונה של הנקודה x0 שבה f(x) ≠ 0, והסימן של f(x) בשכונה זו עולה בקנה אחד עם הסימן של f(x0).

סיווג נקודות שבירה

תנאי (1) להמשכיות של הפונקציה f(x) בנקודה x0 שווה ערך לתנאי f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

כאשר f(x 0 − 0) = lim

f(x) ו-f(x0 + 0) = lim

f(x) - מגבלות חד צדדיות של הפונקציה f(x) בנקודה x0.

אם תנאי (3) מופר, הנקודה x0 נקראת נקודת חוסר המשכיות של הפונקציה f(x). בהתאם לסוג ההפרה של התנאי (3), לנקודות השבירה יש אופי שונה והן מסווגות כדלקמן:

1. אם בנקודה x0 יש מגבלות חד-צדדיות f(x0 - 0), f (x0 + 0) ו

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), אז הנקודה x0 נקראת נקודת אי המשכיות הניתנת להסרה של הפונקציה f(x) (איור 1).

תגובה. בנקודה x0 ייתכן שהפונקציה לא תהיה מוגדרת.

2. אם בנקודה x0 יש מגבלות חד צדדיות f(x0 - 0), f (x0 + 0) ו

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), אז הנקודה x0 נקראת נקודת אי-רציפות עם קפיצה סופית של הפונקציה f(x) (איור 2).

תגובה. בנקודת חוסר המשכיות עם קפיצה סופית, הערך של הפונקציה יכול להיות כל, או שהוא לא מוגדר.

הנקודות של אי-המשכיות הניתנת להסרה וקפיצה סופית נקראות נקודות אי-רציפות מהסוג הראשון. המאפיין הייחודי שלהם הוא קיומם של מגבלות חד-צדדיות סופיות f(x0 - 0) ו

3. אם בנקודה x0 לפחות אחד מהמגבלות החד-צדדיות f(x0 − 0), f (x0 + 0) שווה לאינסוף או לא קיים, אז
x0 נקראת נקודת אי-רציפות מהסוג השני (איור 3).

אם לפחות אחד מהגבולות החד-צדדיים f(x0 − 0), f (x0 + 0) שווה לאינסוף, אזי הישר x = x 0 נקרא האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה y = f (איקס).

הַגדָרָה. פונקציה f(x), המוגדרת בשכונה של נקודה כלשהי x0, נקראת רציפה בנקודה x0 אם גבול הפונקציה והערך שלה בנקודה זו שווים, כלומר.

ניתן לכתוב את אותה עובדה אחרת:

הַגדָרָה. אם הפונקציה f(x) מוגדרת בשכונה כלשהי של הנקודה x0, אך אינה רציפה בנקודה x0 עצמה, אז היא נקראת פונקציה בלתי רציפה, והנקודה x0 נקראת נקודת אי רציפות.

הַגדָרָה. אומרים שפונקציה f(x) היא רציפה בנקודה x0 אם עבור כל מספר חיובי e>0 יש מספר D>0 כך שלכל x המקיים את התנאי

אי השוויון נכון.

הַגדָרָה. פונקציה f(x) נקראת רציפה בנקודה x = x0 אם התוספת של הפונקציה בנקודה x0 היא ערך אינפיניטסימלי.

f(x) = f(x0) + a(x)

כאשר a(x) הוא אינפיניטסימלי ב-x®x0.

מאפיינים של פונקציות רציפות.

1) הסכום, ההפרש והמכפלה של פונקציות רציפות בנקודה x0 היא פונקציה רציפה בנקודה x0.

2) המנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתנאי ש-g(x) אינו שווה לאפס בנקודה x0.

3) סופרפוזיציה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.

ניתן לכתוב את המאפיין הזה באופן הבא:

אם u = f(x), v = g(x) הן פונקציות רציפות בנקודה x = x0, אז הפונקציה v = g(f(x)) היא גם פונקציה רציפה בנקודה זו.

ניתן להוכיח בקלות את תקפות המאפיינים שלעיל באמצעות משפטי הגבול

תכונות של פונקציות מתמשכות במרווח.

מאפיין 1: (המשפט הראשון של ויירשטראס (Weierstrass Karl (1815-1897) - מתמטיקאי גרמני)). פונקציה שהיא רציפה על מרווח מוגבלת על מרווח זה, כלומר. התנאי -M £ f(x) £ M מתקיים בקטע.

ההוכחה לתכונה זו מבוססת על העובדה שפונקציה שהיא רציפה בנקודה x0 תחומה בשכונה מסוימת שלה, ואם מחלקים את הקטע למספר אינסופי של קטעים ש"מתכווצים" לנקודה x0 , אז נוצרת שכונה מסוימת של הנקודה x0.

תכונה 2: פונקציה שהיא רציפה על מרווח מקבלת את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלה.

הָהֵן. קיימים ערכים x1 ו-x2 כך ש-f(x1) = m, f(x2) = M, ו

הבה נציין את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שהפונקציה יכולה לקחת על קטע מספר פעמים (לדוגמה, f(x) = sinx).

ההבדל בין הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה במרווח נקרא תנודה של הפונקציה על מרווח.

תכונה 3: (משפט בולצאנו-קוצ'י השני). פונקציה שהיא רציפה במרווח מקבלת את כל הערכים בין שני ערכים שרירותיים במרווח זה.

תכונה 4: אם הפונקציה f(x) רציפה בנקודה x = x0, אז יש איזושהי שכונה של הנקודה x0 שבה הפונקציה שומרת על הסימן שלה.

מאפיין 5: (משפט ראשון של בולצאנו (1781-1848) – קאוצ'י). אם פונקציה f(x) רציפה על קטע ויש לה ערכים של סימנים מנוגדים בקצות הקטע, אז יש נקודה בתוך הקטע הזה שבה f(x) = 0.

הָהֵן. if sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), אז $ x0: f(x0) = 0.

הַגדָרָה. אומרים שפונקציה f(x) היא רציפה באופן אחיד במרווח אם עבור כל e>0 קיים D>0 כך שלכל נקודות x1Î ו-x2Î כך

ïx2 – x1ï< D

אי השוויון ïf(x2) - f(x1)ï נכון< e

ההבדל בין המשכיות אחידה להמשכיות "רגילה" הוא שלכל e יש D משלו, בלתי תלוי ב-x, ועם המשכיות "רגילה" תלוי D ב-e וב-x.

מאפיין 6: משפט החזן (Georg Cantor (1845-1918) - מתמטיקאי גרמני). פונקציה רציפה על קטע היא רציפה באופן אחיד עליו.

(מאפיין זה נכון רק עבור מקטעים, ולא עבור מרווחים וחצאי מרווחים.)

הגדרה של המשכיות

פונקציה f (x) נקראת רציפה בנקודה a if: f () pp

1) הפונקציה f(x) מוגדרת בנקודה a,

2) יש גבול סופי כמו x → a 2) יש גבול סופי כמו x → a,

3) הגבול הזה שווה לערך הפונקציה בשלב זה:

המשכיות במרווח

אומרים שפונקציה f (x) היא רציפה במרווח X אם f () pp ru

הוא רציף בכל נקודה במרווח זה.

הַצהָרָה. כל הפונקציות היסודיות הן רציפות ב

תחומי הגדרתם.

פונקציה מוגבלת

אומרים שפונקציה מוגבלת על מרווח if

יש מספר M כך שלכל x ∈

אי שוויון:| f(x)| ≤ מ.

שני המשפטים של ויירשטראס

המשפט הראשון של ויירשטראס. אם הפונקציה f (x r r r r f f (

הוא רציף על הקטע, אז הוא מוגבל על הקטע הזה

המשפט השני של ויירשטראס.אם הפונקציה f(x

הוא רציף על הקטע, ואז הוא מגיע לקטע הזה

הערך הקטן ביותר של m והערך הגדול ביותר של M.

משפט בולצאנו-קאוצ'י

אם הפונקציה f (x) רציפה על קטע הערך ב-f f () pp p

בקצות הקטע הזה יש f(a) ו-f(b) סימנים הפוכים,

בתוך הקטע יש נקודה c∈ (a,b) כך ש-f (c) = 0. ur p () f ()

הגדרת המשכיות לפי היינה

הפונקציה של משתנה ממשי \(f\left(x \right)\) אמורה להיות רָצִיף בנקודה \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)set מספרים אמיתיים), אם עבור רצף כלשהו \(\left\( ((x_n)) \right\)\), כך ש-\[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] היחס מתקיים \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left((((x_n)) \right) = f\left(a \right).\] בפועל, נוח להשתמש ב-\(3) הבא \) תנאים להמשכיות של פונקציה \(f\left(x \right)\) בנקודה \(x = a\) (שיש לבצע בו זמנית):

1. הפונקציה \(f\left(x \right)\) מוגדרת בנקודה \(x = a\);
2. הגבול \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) קיים;
3. השוויון \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) מתקיים.

הגדרה של המשכיות Cauchy (סימון \(\varepsilon - \delta\))

קחו בחשבון פונקציה \(f\left(x \right)\) הממפה את קבוצת המספרים הממשיים \(\mathbb(R)\) לתת-קבוצה נוספת \(B\) של המספרים הממשיים. אומרים שהפונקציה \(f\left(x \right)\) היא רָצִיף בנקודה \(a \in \mathbb(R)\), אם עבור מספר כלשהו \(\varepsilon > 0\) יש מספר \(\delta > 0\) כך שלכל \(x \in \ mathbb (R)\), המקיים את היחס \[\left| (x - a) \right| הגדרת המשכיות במונחים של תוספות של ארגומנט ופונקציה

ניתן לנסח את ההגדרה של המשכיות גם באמצעות מרווחים של ארגומנט ופונקציה. הפונקציה היא רציפה בנקודה \(x = a\) אם השוויון \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] כאשר \(\Delta x = x - a\).

ההגדרות לעיל של המשכיות של פונקציה שוות ערך בקבוצת המספרים הממשיים.

הפונקציה היא רציף במרווח נתון , אם הוא רציף בכל נקודה של מרווח זה.

משפטי המשכיות

משפט 2.
נתון שתי פונקציות \((f\left(x \right))\) ו-\((g\left(x \right))\), רציפות בנקודה \(x = a\). אז סכום הפונקציות הללו \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) הוא גם רציף בנקודה \(x = a\).

משפט 3.
נניח ששתי פונקציות \((f\left(x \right))\) ו-\((g\left(x \right))\) הן רציפות בנקודה \(x = a\). אז המכפלה של הפונקציות הללו \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) גם היא רציפה בנקודה \(x = a\).

משפט 4.
נתון שתי פונקציות \((f\left(x \right))\) ו-\((g\left(x \right))\), רציפות עבור \(x = a\). אז היחס בין הפונקציות הללו \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) הוא גם רציף עבור \(x = a\ ) בכפוף ל, כי \((g\left(a \right)) \ne 0\).

משפט 5.
נניח שהפונקציה \((f\left(x \right))\) ניתנת להבדלה בנקודה \(x = a\). אז הפונקציה \((f\left(x \right))\) היא רציפה בנקודה זו (כלומר, הדיפרנציאליות מרמזת על המשכיות של הפונקציה בנקודה; ההיפך אינו נכון).

משפט 6 (משפט ערך גבול).
אם פונקציה \((f\left(x \right))\) רציפה על מרווח סגור ותוחם \(\left[ (a,b) \right]\), אז היא מוגבלת מעל ומתחת על זה הַפסָקָה. במילים אחרות, ישנם מספרים \(m\) ו-\(M\) כך ש-\ עבור כל \(x\) במרווח \(\left[ (a,b) \right]\) (איור 1) .

המשכיות של פונקציות יסודיות

את כל פונקציות אלמנטריות הם רציפים בכל נקודה בתחום ההגדרה שלהם.

הפונקציה נקראת יְסוֹדִי , אם הוא בנוי ממספר סופי של קומפוזיציות וצירופים
(באמצעות פעולות \(4\) - חיבור, חיסור, כפל וחילוק) . חבורה של פונקציות יסודיות בסיסיות כולל:

המשכיות של פונקציה בנקודה.

פונקציה המוגדרת בשכונה של נקודה כלשהי נקראת רציף בנקודה מסוימת, אם גבול הפונקציה והערך שלה בשלב זה שווים, כלומר.

ניתן לכתוב את אותה עובדה אחרת:

אם פונקציה מוגדרת בשכונה כלשהי של נקודה, אך אינה רציפה בנקודה עצמה, אז היא נקראת חומר נפץפונקציה, והנקודה היא נקודת השבירה.

דוגמה לפונקציה רציפה:

0 x 0 -D x 0 x 0 +D x

דוגמה לפונקציה בלתי רציפה:

פונקציה נקראת רציפה בנקודה אם עבור כל מספר חיובי יש מספר כזה שלכל אחד שמקיים את התנאי: אי השוויון נכון.

הפונקציה נקראת רָצִיףבנקודה אם התוספת של הפונקציה בנקודה היא ערך אינפיניטסימלי.

איפה הוא אינפיניטסימלי ב .

מאפיינים של פונקציות רציפות.

1) הסכום, ההפרש והמכפלה של פונקציות רציפות בנקודה היא פונקציה רציפה בנקודה;

2) המנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתנאי שהיא אינה שווה לאפס בנקודה;

3) סופרפוזיציה של פונקציות רציפות - יש פונקציה רציפה.

ניתן לכתוב את המאפיין הזה באופן הבא:

אם הן פונקציות רציפות בנקודה, אז הפונקציה היא גם פונקציה רציפה בנקודה זו.

ניתן להוכיח בקלות את תקפות המאפיינים לעיל,

באמצעות משפטי גבול.

המשכיות של כמה פונקציות יסודיות.

1. פונקציה, היא פונקציה רציפה על כל תחום ההגדרה.

2. הפונקציה הרציונלית היא רציפה עבור כל הערכים למעט אלה שבהם המכנה הופך לאפס. לפיכך, פונקציה מסוג זה היא רציפה על פני כל תחום ההגדרה.

3. פונקציות טריגונומטריות והן רציפות בתחום ההגדרה שלהן.

בואו נוכיח תכונה 3 עבור הפונקציה.

בואו נרשום את התוספת של הפונקציה, או אחרי השינוי:

אכן, יש גבול למכפלה של שתי פונקציות ו. במקרה זה, פונקציית הקוסינוס היא פונקציה מוגבלת עבור , ומאז הגבול של פונקציית הסינוס, אז הוא אינפיניטסימלי ב .

לפיכך, יש מכפלה של פונקציה מוגבלת ואחת אינסופית, לכן, מכפלה זו, כלומר. הפונקציה היא אינסופית. בהתאם להגדרות שנדונו לעיל, פונקציה היא פונקציה רציפה לכל ערך מתחום ההגדרה, משום העלייה שלו בשלב זה היא ערך אינפיניטסימלי.

נקודות שבירה וסיווגם.

הבה ניקח בחשבון פונקציה שהיא רציפה בשכונה של הנקודה, למעט אולי נקודה זו עצמה. מהגדרת נקודת שבירה של פונקציה עולה שיש נקודת שבירה אם הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו או שאינה רציפה בה.

יש לציין גם שהמשכיות של פונקציה יכולה להיות חד צדדית. הבה נסביר זאת כדלקמן.

אם הגבול החד-צדדי (ראה לעיל) אז הפונקציה אמורה להיות ממש רציפה.

הנקודה נקראת נקודת שבירהפונקציה אם אינה מוגדרת בנקודה או אינה רציפה באותה נקודה.

הנקודה נקראת נקודת אי המשכיות מהסוג הראשון, אם בשלב זה יש לפונקציה גבול ימין ושמאל סופי אך לא שווים:

כדי לעמוד בתנאי ההגדרה הזו, אין צורך שהפונקציה תוגדר בנקודה, מספיק שהיא מוגדרת משמאל ומימין לה.

מההגדרה ניתן להסיק שבנקודת אי-רציפות מהסוג הראשון, לפונקציה יכולה להיות רק קפיצה סופית. במקרים מיוחדים מסוימים נקראת לפעמים גם נקודת אי-רציפות מהסוג הראשון ניתן להסרהנקודת שבירה, אבל נדבר על זה יותר בהמשך.

הנקודה נקראת נקודת אי המשכיות מהסוג השני, אם בשלב זה אין לפונקציה לפחות אחד מהמגבלות החד-צדדיות, או שלפחות אחד מהם הוא אינסופי.

דוגמה 1 . פונקציית דיריכלה (Dirichlet Peter Gustav (1805-1859) - מתמטיקאי גרמני, חבר מקביל באקדמיה למדעים של סנט פטרבורג 1837)

אינו רציף בשום נקודה x 0.

דוגמה 2 . לפונקציה יש נקודת אי-רציפות מהסוג השני בנקודה, כי .

דוגמה 3 .

הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה, אך יש לה גבול סופי, כלומר. בנקודה יש ​​לפונקציה נקודת אי המשכיות מהסוג הראשון. זוהי נקודת שבירה הניתנת להסרה, כי אם אתה מגדיר את הפונקציה:

גרף של פונקציה זו:

דוגמה 4 .

פונקציה זו מסומנת גם על ידי השלט. הפונקציה לא מוגדרת בנקודה. כי הגבול השמאלי והימני של הפונקציה שונים, ואז נקודת האי-רציפות היא מהסוג הראשון. אם נרחיב את הפונקציה בנקודה על ידי הצבת , אז הפונקציה תהיה רציפה מימין, אם נשים , אז הפונקציה תהיה רציפה משמאל, אם נשים שווה לכל מספר מלבד 1 או –1, אז הפונקציה תהיה רציפה לא משמאל ולא מימין, אבל בכל המקרים, בכל זאת תהיה לה אי רציפות מהסוג הראשון בנקודה. בדוגמה זו, נקודת אי ההמשכיות מהסוג הראשון אינה ניתנת להסרה.

לפיכך, כדי שנקודת אי-רציפות מהסוג הראשון תהיה ניתנת להסרה, יש צורך שהגבולות החד-צדדיים מימין ומשמאל יהיו סופיים ושווים, והפונקציה לא תהיה מוגדרת בנקודה זו.

2.2. המשכיות של פונקציה על מרווח ועל קטע.

הפונקציה נקראת רציף על מרווח (קטע), אם הוא רציף בכל נקודה של המרווח (קטע).

במקרה זה, המשכיות של הפונקציה בקצוות הקטע או המרווח אינה נדרשת רק המשכיות חד-צדדית בקצוות הקטע או המרווח.

תכונות של פונקציות מתמשכות במרווח.

נכס 1. (משפטו הראשון של ויירשטראס (Carl Weierstrass (1815-1897) - מתמטיקאי גרמני)). פונקציה שהיא רציפה על מרווח מוגבלת על מרווח זה, כלומר. התנאי הבא מתקיים בקטע:

ההוכחה למאפיין זה מבוססת על העובדה שפונקציה שהיא רציפה בנקודה מוגבלת בשכונה כלשהי שלה, ואם מחלקים את הקטע למספר אינסופי של קטעים ש"מתכווצים" לנקודה, אז נוצרת שכונה מסוימת של הנקודה.

נכס 2. פונקציה שהיא רציפה על הקטע לוקחת עליה את הערכים הגדולים והקטנים ביותר.

הָהֵן. יש ערכים כאלה וזה , ו:

בוא נציין. שהערכים הגדולים והקטנים ביותר האלו הפונקציה יכולה לקחת על קטע מספר פעמים (לדוגמה – ).

ההפרש בין הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה בקטע נקרא היסוסמתפקד על קטע.

נכס 3. (משפט בולצאנו-קוצ'י השני). פונקציה שהיא רציפה במרווח מקבלת את כל הערכים בין שני ערכים שרירותיים במרווח זה.

נכס 4. אם פונקציה היא רציפה בנקודה, אז יש שכונה כלשהי של הנקודה שבה הפונקציה שומרת על הסימן שלה.

נכס 5. (משפט ראשון של בולצאנו (1781-1848) – קאוצ'י). אם פונקציה היא רציפה על קטע ויש לה ערכים של סימנים מנוגדים בקצות הקטע, אז יש נקודה בתוך הקטע הזה שבה . וקרוב לאפס.

בנקודה הפונקציה רציפה בנקודת אי רציפות מהסוג הראשון

ניתנות הגדרות וניסוחים של המשפטים והמאפיינים העיקריים של פונקציה רציפה של משתנה אחד. מאפיינים של פונקציה רציפה בנקודה, על קטע, הגבול והרציפות של פונקציה מורכבת, וסיווג נקודות אי המשכיות נחשבים. ניתנות הגדרות ומשפטים הקשורים לפונקציה ההפוכה. המאפיינים של פונקציות יסודיות מתוארות.

אנחנו יכולים לנסח את מושג ההמשכיות ב מבחינת תוספות. לשם כך, אנו מציגים משתנה חדש, הנקרא תוספת של המשתנה x בנקודה. אז הפונקציה רציפה בנקודה אם
.
בואו נציג פונקציה חדשה:
.
הם קוראים לה תוספת פונקציהבנקודה. אז הפונקציה היא רציפה בנקודה אם
.

הגדרה של המשכיות מימין (שמאל)
פונקציה ו (איקס)שקוראים לו רציף מימין (שמאל) בנקודה x 0 , אם הוא מוגדר בשכונה ימנית (צד שמאל) של נקודה זו, ואם הגבול הימני (שמאלי) בנקודה x 0 שווה לערך הפונקציה ב-x 0 :
.

משפט על הגבול של פונקציה רציפה
תן לפונקציה f (איקס)הוא רציף בנקודה x 0 . ואז יש שכונה יו (x0), שבו הפונקציה מוגבלת.

משפט על שימור הסימן של פונקציה מתמשכת
תן לפונקציה להיות רציפה בנקודה. ותן לזה ערך חיובי (שלילי) בשלב זה:
.
אז יש שכונה של הנקודה שבה לפונקציה יש ערך חיובי (שלילי):
בשעה .

תכונות אריתמטיות של פונקציות רציפות
תנו לפונקציות ולהיות רציפות בנקודה.
ואז הפונקציות, והן רציפות בנקודה.
אם, אז הפונקציה היא רציפה בנקודה.

נכס המשכיות שמאל-ימין
פונקציה היא רציפה בנקודה אם ורק אם היא רציפה מימין ומשמאל.

הוכחות למאפיינים ניתנות בדף "מאפיינים של פונקציות רציפות בנקודה".

המשכיות של פונקציה מורכבת

משפט המשכיות לפונקציה מורכבת
תן לפונקציה להיות רציפה בנקודה. ותן לפונקציה להיות רציפה בנקודה.
אז הפונקציה המורכבת היא רציפה בנקודה.

גבול של פונקציה מורכבת

משפט על הגבול של פונקציה רציפה של פונקציה
שיהיה גבול של הפונקציה ב , והיא שווה ל:
.
הנה נקודה ט 0 יכול להיות סופי או מרוחק עד אינסוף:.
ותן לפונקציה להיות רציפה בנקודה.
אז יש גבול של פונקציה מורכבת, והיא שווה ל:
.

משפט על הגבול של פונקציה מורכבת
תן לפונקציה גבול ומפה שכונה מנוקבת של נקודה לשכונה מנוקבת של נקודה. תן לפונקציה להיות מוגדרת על השכונה הזו ותהיה לה הגבלה.
להלן הנקודות האחרונות או המרוחקות לאין שיעור: . שכונות והגבולות התואמים שלהן יכולים להיות דו-צדדיים או חד-צדדיים.
אז יש גבול של פונקציה מורכבת והיא שווה ל:
.

נקודות שבירה

קביעת נקודת השבירה
תן לפונקציה להיות מוגדרת על איזו שכונה מנוקבת של הנקודה. הנקודה נקראת נקודת שבירה של פונקציה, אם מתקיים אחד משני התנאים:
1) לא מוגדר ב;
2) מוגדר ב-, אך אינו נמצא בשלב זה.

קביעת נקודת אי המשכיות מהסוג הראשון
הנקודה נקראת נקודת אי המשכיות מהסוג הראשון, אם היא נקודת שבירה ויש מגבלות חד-צדדיות סופיות בימין ובשמאל:
.

הגדרה של קפיצת פונקציה
פונקציית קפיצה Δבנקודה מסוימת הוא ההבדל בין הגבולות מימין לשמאל
.

קביעת נקודת השבירה
הנקודה נקראת נקודת שבירה נשלפת, אם יש גבול
,
אך הפונקציה בנקודה אינה מוגדרת או שאינה שווה לערך הגבול: .

לפיכך, נקודת האי-רציפות הניתנת להסרה היא נקודת האי-רציפות מהסוג הראשון, שבה הקפיצה של הפונקציה שווה לאפס.

קביעת נקודת אי ההמשכיות מהסוג השני
הנקודה נקראת נקודת אי-רציפות מהסוג השני, אם לא מדובר בנקודת אי המשכיות מהסוג ה-1. כלומר, אם אין לפחות גבול חד צדדי אחד, או לפחות גבול חד צדדי אחד בנקודה שווה לאינסוף.

תכונות של פונקציות מתמשכות במרווח

הגדרה של פונקציה רציפה על מרווח
פונקציה נקראת רציפה על מרווח (at) אם היא רציפה בכל הנקודות של המרווח הפתוח (at) ובנקודות a ו-b, בהתאמה.

המשפט הראשון של ויירשטראס על התגבולות של פונקציה רציפה על מרווח
אם פונקציה רציפה על מרווח, אז היא מוגבלת על מרווח זה.

קביעת יכולת ההשגה של המקסימום (מינימום)
פונקציה מגיעה למקסימום (המינימום) שלה בקבוצה אם יש ארגומנט עבורו
לכולם .

קביעת הנגישות של הפנים העליון (התחתון).
פונקציה מגיעה לגבול העליון (התחתון) שלה בקבוצה אם יש ארגומנט עבורו
.

המשפט השני של ויירשטראס על המקסימום והמינימום של פונקציה רציפה
פונקציה רציפה על קטע מגיעה לגבולה העליון והתחתון עליו או, שזהה, מגיעה למקסימום ולמינימום שלה על הקטע.

משפט ערך ביניים של בולצאנו-קאוצ'י
תן לפונקציה להיות רציפה על הקטע. ותן C להיות מספר שרירותי, הממוקם בין ערכי הפונקציה שבקצה הקטע: ו. ואז יש נקודה שלשמה
.

מסקנה 1
תן לפונקציה להיות רציפה על הקטע. ותנו לערכי הפונקציה בקצות הקטע להיות בעלי סימנים שונים: או . אז יש נקודה שבה ערך הפונקציה שווה לאפס:
.

מסקנה 2
תן לפונקציה להיות רציפה על הקטע. לעזוב . ואז הפונקציה לוקחת את המרווח שממנו כל הערכים ורק את הערכים האלה:
בשעה .

פונקציות הפוכות

הגדרה של פונקציה הפוכה
תן לפונקציה תחום של הגדרה X וקבוצת ערכים Y. ותן לו את הנכס:
לכולם .
אז עבור כל רכיב מקבוצת Y ניתן לשייך רק אלמנט אחד מקבוצת X שעבורו . התכתבות זו מגדירה פונקציה הנקראת פונקציה הפוכהל . הפונקציה ההפוכה מסומנת באופן הבא:
.

מההגדרה עולה כי
;
לכולם ;
לכולם .

הלמה על המונוטוניות ההדדית של פונקציות ישירות והפוכות
אם פונקציה גדלה (יורדת) בהחלט, אז יש פונקציה הפוכה שגם הולכת וגדלה (יורדת).

תכונה של סימטריה של גרפים של פונקציות ישירות והפוכות
הגרפים של פונקציות ישירות והפוכות הם סימטריים ביחס לקו הישר.

משפט על קיומה והמשכיות של פונקציה הפוכה על מרווח
תן לפונקציה להיות רציפה וגדלה (יורדת) בהחלט בקטע. אז הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה על הקטע, אשר גדלה (יורדת) בקפדנות.

לתפקוד הולך וגדל. להקטנת - .

משפט על קיומה והמשכיות של פונקציה הפוכה על מרווח
תן לפונקציה להיות רציפה וגדלה (יורדת) בהחלט במרווח סופי או אינסופי פתוח. אז הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה על המרווח, אשר גדל (יורד) בקפדנות.

לתפקוד הולך וגדל.
להקטנה: .

באופן דומה נוכל לנסח את המשפט על קיומה והמשכיות הפונקציה ההפוכה על חצי מרווח.

מאפיינים והמשכיות של פונקציות אלמנטריות

הפונקציות האלמנטריות וההפוכות שלהן הן רציפות בתחום ההגדרה שלהן. להלן נציג את הניסוחים של המשפטים המתאימים ונספק קישורים להוכחות שלהם.

פונקציה מעריכית

פונקציה מעריכית f (x) = גרזן, עם בסיס א > 0 הוא הגבול של הרצף
,
איפה רצף שרירותי של מספרים רציונליים הנוטה ל-x:
.

מִשׁפָּט. מאפיינים של הפונקציה המעריכית
לפונקציה האקספוננציאלית יש את המאפיינים הבאים:
(עמ' 0)מוגדר, עבור, עבור כולם;
(עמ' 1)עבור ≠ 1 בעל משמעויות רבות;
(עמ' 2)בקפדנות עולה ב , בקפדנות יורד ב , הוא קבוע ב ;
(עמ' 3) ;
(עמ' 3*) ;
(עמ' 4) ;
(עמ' 5) ;
(עמ' 6) ;
(עמ' 7) ;
(עמ' 8)מתמשך לכולם;
(עמ' 9)ב ;
בשעה .

לוֹגָרִיתְם

פונקציה לוגריתמית, או לוגריתם, y = log a x, עם בסיס אהוא היפוך של הפונקציה המעריכית עם בסיס a.

מִשׁפָּט. מאפייני הלוגריתם
פונקציה לוגריתמית עם בסיס a, y = log a x, בעל המאפיינים הבאים:
(L.1)מוגדר ומתמשך, עבור ו, עבור ערכים חיוביים של הטיעון;
(L.2)בעל משמעויות רבות;
(L.3) strictly מגדיל כמו , strictly מפחית כמו ;
(L.4)ב ;
ב ;
(L.5) ;
(L.6)ב ;
(L.7)ב ;
(L.8)ב ;
(L.9)בשעה .

אקספוננט ולוגריתם טבעי

בהגדרות של הפונקציה המעריכית והלוגריתם מופיע קבוע, הנקרא בסיס החזקה או בסיס הלוגריתם. בניתוח מתמטי, ברוב המוחלט של המקרים, מתקבלים חישובים פשוטים יותר אם המספר e משמש כבסיס:
.
פונקציה אקספוננציאלית עם בסיס e נקראת מעריך: , ולוגריתם עם בסיס e נקרא לוגריתם טבעי: .

תכונות המעריך והלוגריתם הטבעי מוצגות בדפים
"מעריך, e בחזקת x",
"לוגריתם טבעי, פונקציית ln x"

פונקציית כוח

פונקציית כוח עם מעריך pהיא הפונקציה f (x) = xp, שערכה בנקודה x שווה לערך הפונקציה המעריכית עם בסיס x בנקודה p.
בנוסף, פ (0) = 0 p = 0עבור p > 0 .

כאן נשקול את המאפיינים של פונקציית החזקה y = x p עבור ערכים לא שליליים של הארגומנט. עבור m רציונלי, עבור m אי זוגי, פונקציית החזקה מוגדרת גם עבור x שלילי. במקרה זה, ניתן לקבל את תכונותיו באמצעות זוגיות או אי זוגיות.
מקרים אלו נדונים בהרחבה ומומחשים בעמוד "פונקציית כוח, מאפייניה וגרפים".

מִשׁפָּט. מאפיינים של פונקציית ההספק (x ≥ 0)
לפונקציית חזקה, y = x p, עם מעריך p יש את המאפיינים הבאים:
(C.1)מוגדר ורציף על הסט
ב,
ב" .

פונקציות טריגונומטריות

משפט על המשכיות של פונקציות טריגונומטריות
פונקציות טריגונומטריות: סינוס ( חטא x), קוסינוס ( כי x), משיק ( tg x) וקוטננט ( ctg x

משפט על המשכיות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות
פונקציות טריגונומטריות הפוכות: arcsine ( arcsin x), קשת קוסינוס ( arccos x), arctangent ( arctan x) וקשת טנגנס ( arcctg x), הם רציפים בתחומי ההגדרה שלהם.

הפניות:
O.I. בסוב. הרצאות בנושא ניתוח מתמטי. חלק 1. מוסקבה, 2004.
ל.ד. קודריאבצב. נו ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 2003.
ס"מ. ניקולסקי. קורס ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 1983.