Fyzikálne veličiny. Pojem veličiny a jej meranie v matematike

Hodnota je jedným zo základných matematických pojmov, ktoré vznikli v staroveku a v procese dlhého vývoja prešli množstvom zovšeobecnení.

Počiatočná myšlienka veľkosti je spojená s vytvorením zmyslového základu, formovaním predstáv o veľkosti predmetov: ukážte a pomenujte dĺžku, šírku, výšku.

Hodnota sa vzťahuje na špeciálne vlastnosti skutočných predmetov alebo javov okolitého sveta. Veľkosť predmetu je jeho relatívnou charakteristikou, ktorá zdôrazňuje dĺžku jednotlivých častí a určuje jeho miesto medzi homogénnymi.

Volajú sa hodnoty, ktoré majú iba číselnú hodnotu skalárne(dĺžka, hmotnosť, čas, objem, plocha atď.). Okrem skalárov v matematike uvažujú aj vektorové veličiny, ktoré sú charakterizované nielen počtom, ale aj smerom (sila, zrýchlenie, intenzita elektrického poľa a pod.).

Skaláre môžu byť homogénne alebo heterogénne. Homogénne veličiny vyjadrujú rovnakú vlastnosť predmetov určitej množiny. Heterogénne veličiny vyjadrujú rôzne vlastnosti predmetov (dĺžka a plocha)

Skalárne vlastnosti:

• § akékoľvek dve množstvá rovnakého druhu sú porovnateľné alebo rovnaké, alebo jedno z nich je menšie (väčšie ako) druhé: 4t5ts …4t 50kg 4t5c=4t500kg 4t500kg>4t50kg, pretože 500 kg > 50 kg znamená 4t5c >4t 50kg;
• § Je možné pridať hodnoty rovnakého rodu, výsledkom čoho je hodnota rovnakého rodu:
  • 2km921m+17km387m 2km921m=2921m, 17km387m=17387m 17387m+2921m=20308m; znamená
  • 2km 921m+17km387m=20km308m
• § hodnotu možno vynásobiť Reálne číslo, výsledkom čoho je hodnota rovnakého druhu:
  • 12 m 24 cm 9 12m24m=1224cm, 1224cm9=110m16cm, takže
  • 12m24cm 9=110m16cm;
• § množstvá rovnakého druhu možno odpočítať, výsledkom čoho je množstvo rovnakého druhu:
  • 4kg283g-2kg605g 4kg283g=4283g, 2kg605g=2605g 4283g-2605g=1678g, takže
  • 4kg283g-2kg605g=1kg678g;
• § množstvá rovnakého druhu možno rozdeliť, výsledkom čoho je reálne číslo:
  • 8 h 25 min 5 8 h 25 min = 860 min + 25 min = 480 min + 25 min = 505 min, 505 min 5 = 101 min, 101 min = 1 h 41 min znamená 8 h 25 min 5 = 1 h 41 min.

Hodnota je vlastnosťou objektu, ktorú vnímajú rôzne analyzátory: vizuálne, hmatové a motorické. V tomto prípade je hodnota najčastejšie vnímaná súčasne niekoľkými analyzátormi: vizuálno-motorický, hmatový motor atď.

Vnímanie veľkosti závisí od:

• § vzdialenosť, z ktorej je objekt vnímaný;
• § veľkosť predmetu, s ktorým sa porovnáva;
• § jeho umiestnenie v priestore.

Hlavné vlastnosti množstva:

• § Porovnateľnosť- definícia hodnoty je možná len na základe porovnania (priamo alebo porovnaním určitým spôsobom).
• § Relativita- charakteristika magnitúdy je relatívna a závisí od objektov vybraných na porovnanie; ten istý objekt môžeme definovať ako väčší alebo menší, v závislosti od veľkosti objektu, s ktorým sa porovnáva. Napríklad zajačik je menší ako medveď, ale väčší ako myš.
• § Variabilita- premenlivosť veličín sa vyznačuje tým, že sa dajú sčítať, odčítať, násobiť číslom.
• § merateľnosť- meranie umožňuje charakterizovať veľkosť porovnávania čísel.

Hodnota je niečo, čo sa dá merať. Pojmy ako dĺžka, plocha, objem, hmotnosť, čas, rýchlosť atď. sa nazývajú veličiny. Hodnota je výsledok merania, určuje sa číslom vyjadreným v určitých jednotkách. Jednotky, v ktorých sa množstvo meria, sa nazývajú merné jednotky.

Na označenie množstva je napísané číslo a vedľa neho je názov jednotky, v ktorej sa meralo. Napríklad 5 cm, 10 kg, 12 km, 5 min. Každá hodnota má nekonečný počet hodnôt, napríklad dĺžka sa môže rovnať: 1 cm, 2 cm, 3 cm atď.

Tá istá hodnota môže byť vyjadrená v rôznych jednotkách, napríklad kilogram, gram a tona sú jednotky hmotnosti. Rovnaká hodnota v rôznych jednotkách je vyjadrená rôznymi číslami. Napríklad 5 cm = 50 mm (dĺžka), 1 hodina = 60 minút (čas), 2 kg = 2 000 g (hmotnosť).

Merať veličinu znamená zistiť, koľkokrát obsahuje inú veličinu rovnakého druhu, branú ako mernú jednotku.

Chceme napríklad vedieť presnú dĺžku miestnosti. Takže túto dĺžku musíme zmerať pomocou inej dĺžky, ktorá je nám dobre známa, napríklad pomocou metra. Aby ste to urobili, vyčleňte meter pozdĺž dĺžky miestnosti toľkokrát, ako je to možné. Ak sa zmestí presne 7 krát po dĺžke miestnosti, potom je jej dĺžka 7 metrov.

Výsledkom merania množstva sa získa resp pomenované číslo, napríklad 12 metrov, alebo niekoľko pomenovaných čísel, napríklad 5 metrov 7 centimetrov, ktorých súčet je tzv. zložené pomenované číslo.

Opatrenia

V každom štáte vláda stanovila určité jednotky merania pre rôzne veličiny. Presne vypočítaná jednotka merania, braná ako model, sa nazýva štandardné alebo príkladná jednotka. Boli vyrobené modelové jednotky meter, kilogram, centimeter atď., podľa ktorých sa vyrábajú jednotky na každodenné použitie. Volajú sa jednotky, ktoré vstúpili do užívania a sú schválené štátom Opatrenia.

Opatrenia sú tzv homogénne ak slúžia na meranie veličín rovnakého druhu. Takže gramy a kilogramy sú homogénne miery, pretože slúžia na meranie hmotnosti.

Jednotky

Nasledujú jednotky merania rôznych veličín, ktoré sa často vyskytujú v matematických úlohách:

Miery hmotnosti/hmoty

• 1 tona = 10 centov
• 1 stred = 100 kilogramov
• 1 kilogram = 1000 gramov
• 1 gram = 1000 miligramov

• 1 kilometer = 1000 metrov
• 1 meter = 10 decimetrov
• 1 decimeter = 10 centimetrov
• 1 centimeter = 10 milimetrov

• 1 štvorcový kilometer = 100 hektárov
• 1 hektár = 10 000 m2. metrov
• 1 štvorcový meter = 10 000 štvorcových. centimetre
• 1 štvorcový centimeter = 100 štvorcových. milimetrov

• 1 cu. meter = 1000 metrov kubických decimetre
• 1 cu. decimeter = 1000 cu. centimetre
• 1 cu. centimeter = 1000 cu. milimetrov

Zoberme si inú hodnotu ako liter. Liter sa používa na meranie kapacity nádob. Liter je objem, ktorý sa rovná jednému decimetru kubickému (1 liter = 1 decimeter kubický).

Miery času

• 1 storočie (storočie) = 100 rokov
• 1 rok = 12 mesiacov
• 1 mesiac = 30 dní
• 1 týždeň = 7 dní
• 1 deň = 24 hodín
• 1 hodina = 60 minút
• 1 minúta = 60 sekúnd
• 1 sekunda = 1 000 milisekúnd

Okrem toho sa používajú časové jednotky ako štvrťrok a desaťročie.

• štvrťrok - 3 mesiace
• desaťročie - 10 dní

Mesiac sa berie ako 30 dní, pokiaľ nie je potrebné uviesť deň a názov mesiaca. Január, marec, máj, júl, august, október a december – 31 dní. Február v jednoduchom roku má 28 dní, február v priestupnom roku má 29 dní. Apríl, jún, september, november - 30 dní.

Rok je (približne) čas, ktorý Zem potrebuje na to, aby dokončila jednu revolúciu okolo Slnka. Je obvyklé počítať každé tri po sebe nasledujúce roky po dobu 365 dní a štvrtý po nich - po dobu 366 dní. Nazýva sa rok s 366 dňami priestupný rok a roky obsahujúce 365 dní - jednoduché. K štvrtému roku sa pridáva jeden deň navyše z nasledujúceho dôvodu. Doba obehu Zeme okolo Slnka neobsahuje presne 365 dní, ale 365 dní a 6 hodín (približne). Jednoduchý rok je teda kratší ako skutočný rok o 6 hodín a 4 jednoduché roky kratšie ako 4 skutočné roky o 24 hodín, teda o jeden deň. Ku každému štvrtému roku sa preto pridáva jeden deň (29. február).

Pri ďalšom štúdiu rôznych vied sa dozviete o iných typoch veličín.

Skratky merania

Skrátené názvy taktov sa zvyčajne píšu bez bodky:

Meracie prístroje

Na meranie rôznych veličín sa používajú špeciálne meracie prístroje. Niektoré z nich sú veľmi jednoduché a sú určené na jednoduché merania. Medzi takéto zariadenia patrí meracie pravítko, zvinovací meter, odmerný valec atď. Ostatné meracie zariadenia sú zložitejšie. Medzi takéto zariadenia patria stopky, teplomery, elektronické váhy atď.

Meracie prístroje majú spravidla meraciu stupnicu (alebo krátku stupnicu). To znamená, že na zariadení sú vyznačené pomlčkové dieliky a pri každom pomlčkovom dieliku je napísaná zodpovedajúca hodnota veličiny. Vzdialenosť medzi dvoma ťahmi, vedľa ktorej je zapísaná hodnota hodnoty, môžeme ešte rozdeliť na niekoľko menších dielikov, tieto dieliky sa najčastejšie neoznačujú číslami.

Nie je ťažké určiť, ktorá hodnota hodnoty zodpovedá každému najmenšiemu dieliku. Takže napríklad obrázok nižšie zobrazuje meracie pravítko:

Čísla 1, 2, 3, 4 atď. označujú vzdialenosti medzi ťahmi, ktoré sú rozdelené na 10 rovnakých dielikov. Preto každý dielik (vzdialenosť medzi najbližšími ťahmi) zodpovedá 1 mm. Táto hodnota sa nazýva delenie stupnice merací prístroj.

Skôr ako začnete merať veličinu, mali by ste určiť hodnotu dielika stupnice použitého prístroja.

Ak chcete určiť cenu divízie, musíte:

1. Nájdite dva najbližšie ťahy na stupnici, vedľa ktorých sú napísané hodnoty veľkosti.
2. Odčítajte menšiu hodnotu od väčšej a výsledné číslo vydeľte počtom dielikov medzi nimi.

Ako príklad určme hodnotu dielika stupnice teplomera znázorneného na obrázku vľavo.

Zoberme si dva ťahy, v blízkosti ktorých sú vynesené číselné hodnoty meranej veličiny (teploty).

Napríklad ťahy so symbolmi 20 °С a 30 °С. Vzdialenosť medzi týmito ťahmi je rozdelená na 10 dielikov. Cena každej divízie sa teda bude rovnať:

(30 °C - 20 °C): 10 = 1 °C

Preto teplomer ukazuje 47 °C.

Každý z nás musí v každodennom živote neustále merať rôzne veličiny. Napríklad, aby ste prišli do školy alebo do práce načas, musíte merať čas, ktorý strávite na cestách. Meteorológovia merajú teplotu, atmosférický tlak, rýchlosť vetra atď., aby predpovedali počasie.

Dĺžka, plocha, hmotnosť, čas, objem - množstvá. Prvotné zoznámenie s nimi prebieha v Základná škola, kde hodnota spolu s číslom je hlavným pojmom.

Veličina je špeciálna vlastnosť reálnych predmetov alebo javov a zvláštnosť spočíva v tom, že túto vlastnosť možno zmerať, teda kvantitu veličiny nazvať. Veličiny, ktoré vyjadrujú rovnakú vlastnosť predmetov, sa nazývajú veličiny. rovnakého druhu alebo homogénne množstvá. Napríklad dĺžka stola a dĺžka miestností sú homogénne hodnoty. Veličiny – dĺžka, plocha, hmotnosť a iné majú množstvo vlastností.

1) Akékoľvek dve veličiny rovnakého druhu sú porovnateľné: buď sú rovnaké, alebo jedno je menšie (väčšie) ako druhé. To znamená, že pre množstvá rovnakého druhu platia vzťahy „rovnajúce sa“, „menšie ako“, „väčšie ako“ a pre akékoľvek množstvá platí iba jeden zo vzťahov: Napríklad hovoríme, že dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka je väčšia ako ktorákoľvek vetva daného trojuholníka; hmotnosť citróna je menšia ako hmotnosť vodného melónu; dĺžky protiľahlých strán obdĺžnika sú rovnaké.

2) Môžu byť pridané hodnoty rovnakého druhu, v dôsledku sčítania sa získa hodnota rovnakého druhu. Tie. pre ľubovoľné dve veličiny a a b je hodnota a + b jednoznačne určená, nazýva sa súčet hodnoty a a b. Napríklad, ak a je dĺžka segmentu AB, b je dĺžka segmentu BC (obr. 1), potom dĺžka segmentu AC je súčtom dĺžok segmentov AB a BC;

3) Hodnota vynásobiť skutočnýmčíslo, výsledkom čoho je hodnota rovnakého druhu. Potom pre ľubovoľnú hodnotu a a ľubovoľné nezáporné číslo x existuje jedinečná hodnota b = x a, hodnota b sa nazýva práca množstvo a číslom x. Napríklad, ak a je dĺžka segmentu AB vynásobená

x= 2, potom dostaneme dĺžku nového segmentu AC. (obr. 2)

4) Hodnoty rovnakého druhu sa odčítajú určením rozdielu hodnôt prostredníctvom súčtu: rozdiel medzi hodnotami a a b je taká hodnota c, že ​​a = b + c. Napríklad, ak a je dĺžka segmentu AC, b je dĺžka segmentu AB, potom dĺžka segmentu BC je rozdiel medzi dĺžkami segmentov AC a AB.

5) Hodnoty rovnakého druhu sa delia a definujú kvocient prostredníctvom súčinu hodnoty číslom; súkromné ​​veličiny a a b je nezáporné reálne číslo x také, že a = x b. Častejšie sa toto číslo nazýva pomer hodnôt a a b a je napísané v tejto forme: a / b = x. Napríklad pomer dĺžky segmentu AC k dĺžke segmentu AB je 2. (obr. č. 2).

6) Vzťah „menej ako“ pre homogénne množstvá je tranzitívny: ak A<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F3.Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью – их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение – заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения получают число, которое называют численным значением при выбранной единице.

Proces porovnávania závisí od druhu uvažovaných veličín: jeden pre dĺžky, druhý pre plochy, tretí pre hmotnosti atď. Ale nech je tento proces akýkoľvek, ako výsledok merania dostane množstvo určitú číselnú hodnotu so zvolenou jednotkou.

Vo všeobecnosti, ak je daná hodnota a a je zvolená jednotka hodnoty e, potom sa ako výsledok merania hodnoty a zistí také reálne číslo x, že a = x e. Toto číslo x sa nazýva číselná hodnota množstva a v jednotke e. Dá sa to zapísať takto: x \u003d m (a) .

Podľa definície môže byť akékoľvek množstvo reprezentované ako súčin určitého čísla a jednotky tohto množstva. Napríklad 7 kg = 7∙1 kg, 12 cm = 12∙1 cm, 15h = 15∙1 h. Použitím tohto, ako aj definície násobenia množstva číslom, možno odôvodniť proces prechodu od z jednej jednotky množstva na druhú. Nechajte napríklad, aby ste vyjadrili 5/12h v minútach. Pretože 5/12 h = 5/12 60 min = (5/12 ∙ 60) min = 25 min.

Volajú sa veličiny, ktoré sú úplne určené jednou číselnou hodnotou skalárne množstvá. Takými sú napríklad dĺžka, plocha, objem, hmotnosť a iné. Matematika okrem skalárnych veličín zvažuje aj vektorové veličiny. Na určenie vektorovej veličiny je potrebné určiť nielen jej číselnú hodnotu, ale aj jej smer. Vektorové veličiny sú sila, zrýchlenie, intenzita elektrického poľa a iné.

Na základnej škole sa berú do úvahy iba skalárne veličiny a tie, ktorých číselné hodnoty sú kladné, teda kladné skalárne veličiny.

Meranie veličín nám umožňuje zredukovať ich porovnávanie na porovnávanie čísel, operácií s veličinami na zodpovedajúce operácie s číslami.

1/ Ak sú veličiny a a b merané pomocou jednotky e, potom vzťah medzi veličinami a a b bude rovnaký ako vzťah medzi ich číselnými hodnotami a naopak.

A=bm(a)=m(b),

A>bm(a)>m(b),

A

Napríklad, ak sú hmotnosti dvoch telies také, že a=5 kg, b=3 kg, potom možno tvrdiť, že hmotnosť a je väčšia ako hmotnosť b, pretože 5>3.