În această lecție vom oferi o definiție strictă a unui monom și vom analiza diverse exemple din manual. Să ne amintim regulile de înmulțire a puterilor cu aceleași baze. Să definim forma standard a unui monom, coeficientul monomului și partea sa de literă. Să luăm în considerare două operațiuni tipice principale asupra monomiilor, și anume reducerea la o formă standard și calculul unei valori numerice specifice a unui monom pentru valorile date ale variabilelor literale incluse în acesta. Să formulăm o regulă pentru reducerea unui monom la forma standard. Să învățăm cum să rezolvăm probleme standard cu orice monomii.
Subiect:Monomiale. Operații aritmetice pe monomii
Lecţie:Conceptul de monom. Forma standard de monom
Luați în considerare câteva exemple:
3. 
;
Să găsim caracteristici comune pentru expresiile date. În toate cele trei cazuri, expresia este produsul numerelor și variabilelor ridicate la o putere. Pe baza asta dăm definiția monomului : Un monom este o expresie algebrică care constă din produsul puterilor și numerelor.
Acum dăm exemple de expresii care nu sunt monomii:
Să găsim diferența dintre aceste expresii și cele anterioare. Constă în faptul că în exemplele 4-7 există operații de adunare, scădere sau împărțire, în timp ce în exemplele 1-3, care sunt monomii, nu există aceste operații.
Iată încă câteva exemple:
Expresia numărul 8 este un monom deoarece este produsul dintre o putere și un număr, în timp ce exemplul 9 nu este un monom.
Acum să aflăm acţiuni asupra monomiilor .
1. Simplificare. Să ne uităm la exemplul nr. 3 ;și exemplul nr. 2 /
În al doilea exemplu vedem un singur coeficient - , fiecare variabilă apare o singură dată, adică variabila " A„ este reprezentat într-o singură copie ca „”, în mod similar, variabilele „” și „” apar o singură dată.
În exemplul nr. 3, dimpotrivă, există doi coeficienți diferiți - și , vedem variabila "" de două ori - ca "" și ca "", în mod similar, variabila "" apare de două ori. Adică, această expresie ar trebui simplificată, astfel ajungem la prima acţiune efectuată asupra monomiilor este reducerea monomiului la forma standard . Pentru a face acest lucru, vom reduce expresia din Exemplul 3 la forma standard, apoi vom defini această operație și vom învăța cum să reducem orice monom la forma standard.
Deci, luați în considerare un exemplu:
Prima acțiune în operația de reducere la forma standard este întotdeauna înmulțirea tuturor factorilor numerici:
;
Rezultatul acestei acțiuni va fi apelat coeficientul monomului .
Apoi, trebuie să înmulți puterile. Să înmulțim puterile variabilei " X„după regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, care prevede că la înmulțire se adună exponenții:
Acum să înmulțim puterile" la»:
;
Deci, iată o expresie simplificată:
;
Orice monom poate fi redus la forma standard. Să formulăm regula de standardizare :
Înmulțiți toți factorii numerici;
Puneți pe primul loc coeficientul rezultat;
Înmulțiți toate gradele, adică obțineți partea cu literă;
Adică, orice monom este caracterizat de un coeficient și o parte de litere. Privind în viitor, observăm că monomiile care au aceeași parte de literă sunt numite similare.
Acum trebuie să ne antrenăm tehnica de reducere a monomiilor la forma standard . Luați în considerare exemple din manual:
Sarcina: aduceți monomul în forma standard, denumiți coeficientul și partea de litere.
Pentru a finaliza sarcina, vom folosi regula pentru reducerea unui monom la o formă standard și proprietățile puterilor.
1. 
;
3. 
;
Comentarii la primul exemplu: Mai întâi, să stabilim dacă această expresie este într-adevăr un monom pentru a face acest lucru, să verificăm dacă conține operații de înmulțire a numerelor și puterilor și dacă conține operații de adunare, scădere sau împărțire; Putem spune că această expresie este un monom deoarece condiția de mai sus este îndeplinită. În continuare, conform regulii de reducere a unui monom la o formă standard, înmulțim factorii numerici:
- am găsit coeficientul unui monom dat;
; ; ; adică se obţine partea literală a expresiei:;
Să notăm răspunsul: ;
Comentarii la al doilea exemplu: Urmând regula efectuăm:
1) înmulțiți factorii numerici:
2) înmulțiți puterile:
Variabilele sunt prezentate într-o singură copie, adică nu pot fi înmulțite cu nimic, sunt rescrise fără modificări, gradul este înmulțit:
Să scriem răspunsul:
;
În acest exemplu, coeficientul monomului este egal cu unu, iar partea de litere este .
Comentarii la al treilea exemplu: a Similar cu exemplele anterioare, efectuăm următoarele acțiuni:
1) înmulțiți factorii numerici:
;
2) înmulțiți puterile:
;
Să notăm răspunsul: ;
În acest caz, coeficientul monomului este „”, iar partea de litere 
.
Acum să luăm în considerare a doua operațiune standard pe monomii . Deoarece un monom este o expresie algebrică constând din variabile literale care pot lua anumite valori numerice, avem o expresie numerică aritmetică care trebuie evaluată. Adică următoarea operație pe polinoame este calculând valoarea lor numerică specifică .
Să ne uităm la un exemplu. Monomiul dat:
acest monom a fost deja redus la forma standard, coeficientul său este egal cu unu și partea de literă
Mai devreme spuneam că o expresie algebrică nu poate fi întotdeauna calculată, adică variabilele care sunt incluse în ea nu pot lua nicio valoare. În cazul unui monom, variabilele incluse în acesta pot fi oricare; aceasta este o caracteristică a monomului.
Deci, în exemplul dat, trebuie să calculați valoarea monomului la , , , .
Informațiile de bază despre monomii conțin clarificarea că orice monom poate fi redus la o formă standard. În materialul de mai jos vom analiza această problemă mai detaliat: vom schița sensul acestei acțiuni, vom defini pașii care ne permit să stabilim forma standard a unui monom și, de asemenea, vom consolida teoria prin rezolvarea de exemple.
Sensul reducerii unui monom la forma standard
Scrierea unui monom în formă standard face mai convenabil să lucrezi cu el. Adesea, monomiile sunt specificate într-o formă nestandard și atunci devine necesar să se efectueze transformări identice pentru a aduce monomiul dat într-o formă standard.
Definiția 1
Reducerea unui monom la forma standard este efectuarea unor acțiuni adecvate (transformări identice) cu un monom pentru a-l scrie în formă standard.
Metodă de reducere a unui monom la forma standard
Din definiție rezultă că un monom de formă nestandard este un produs al numerelor, variabilelor și puterilor acestora, iar repetarea lor este posibilă. La rândul său, un monom al formei standard conține în notația sa doar un număr și variabile nerepetate sau puterile acestora.
Pentru a aduce un monom non-standard într-o formă standard, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la forma standard:
- primul pas este gruparea factorilor numerici, variabilelor identice și puterilor acestora;
- al doilea pas este calcularea produselor numerelor și aplicarea proprietății puterilor cu baze egale.
Exemple și soluții ale acestora
Exemplul 1Dat un monom 3 x 2 x 2 . Este necesar să-l aduceți într-o formă standard.
Soluţie
Să grupăm factorii numerici și factorii cu variabila x, ca urmare monomiul dat va lua forma: (3 2) (x x 2) .
Produsul dintre paranteze este 6. Aplicând regula înmulțirii puterilor cu aceleași baze, prezentăm expresia dintre paranteze astfel: x 1 + 2 = x 3. Ca rezultat, obținem un monom al formei standard: 6 x 3.
O versiune scurtă a soluției arată astfel: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Răspuns: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Exemplul 2
Monomul este dat: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Este necesar să îl aduceți într-o formă standard și să indicați coeficientul său.
Soluţie
monomiul dat are un factor numeric în notația sa: - 1, să-l mutăm la început. Apoi vom grupa factorii cu variabila a și factorii cu variabila b. Nu există nimic cu care să grupăm variabila m, așa că o lăsăm în forma sa originală. Ca urmare a acțiunilor de mai sus obținem: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Să efectuăm operații cu puteri între paranteze, atunci monomul va lua forma standard: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Din această intrare putem determina cu ușurință coeficientul monomului: este egal cu - 1. Este foarte posibil să înlocuiți minus unu pur și simplu cu un semn minus: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
O scurtă înregistrare a tuturor acțiunilor arată astfel:
a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m
Răspuns:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, coeficientul monomului dat este - 1.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
eu. Expresiile care sunt alcătuite din numere, variabile și puterile lor folosind acțiunea înmulțirii se numesc monomii.
Exemple de monomii:
A) A; b) ab; V) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3; e)-123,45xy5z; și) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).
II. Acest tip de monom, atunci când factorul numeric (coeficientul) este primul, urmat de variabilele cu puterile lor, se numește tipul standard de monom.
Astfel, monomiile date mai sus, sub litere a B C), G)Și e) scris în formă standard, iar monomiile de sub litere e)Și și) este necesar să o aduceți într-o formă standard, adică într-o formă în care factorul numeric este primul, urmat de factorii de litere cu exponenții lor, iar factorii de litere sunt în ordine alfabetică. Să prezentăm monomiile e)Și și) la vizualizarea standard.
e) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85,75a2b3;
și) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.Suma exponenților tuturor variabilelor incluse într-un monom se numește gradul monomului.
Exemple. Ce grad au monomiile? a) - g)?
a) a. Primul;
b) ab. Al doilea: Aîn gradul I şi b la prima putere - suma indicatorilor 1+1=2 ;
V) 12. Zero, deoarece nu există factori de litere;
G) -3c. Primul;
e) -85,75a 2 b 3 . A cincea. Am redus acest monom la forma standard, am făcut-o A la gradul al doilea şi bîn a treia. Să adunăm indicatorii: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Al șaptelea. Am adunat exponenții factorilor litere: 1+5+1=7 ;
și) -60a 3 c 3 .În al șaselea rând, deoarece suma exponenților factorilor de literă 3+3=6 .
IV. Monomiile care au aceeași parte de literă se numesc monomii similare.
Exemplu. Indicați monomii similare dintre monomiile date 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 ani.
Să prezentăm monomiile 1), 4) Și 5) la vizualizarea standard. Apoi linia de date de monomii va arăta astfel:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 ani.
Similare vor fi cele care au aceeași parte de literă, adică. 1) și 3); 2) și 4); 5) și 6).
1) 3a 2 b 2 c și 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3 bc și 4) 98,7a 3 bc;
5) 10a 4 x și 6) -2,3a 4 x.