Ebben a leckében egy szigorú definíciót adunk a monomokra, és megtekintünk különféle példákat a tankönyvből. Emlékezzünk vissza a hatványok azonos alapokon történő szorzásának szabályaira. Határozzuk meg a monom standard alakját, a monom együtthatóját és betűrészét. Tekintsünk két fő tipikus műveletet a monomokkal, nevezetesen a szabványos formára való redukálást és a monom egy meghatározott számértékének kiszámítását a benne szereplő literális változók adott értékeihez. Fogalmazzunk meg egy szabályt egy monom szabványos alakra való redukálására. Tanuljuk meg, hogyan lehet szabványos feladatokat megoldani bármilyen monomimmal.
Tantárgy:Monomiálok. Aritmetikai műveletek monomokkal
Lecke:A monom fogalma. A monom szabványos formája
Vegyünk néhány példát:
3. 
;
Keressük az adott kifejezések közös jellemzőit. A kifejezés mindhárom esetben a számok és a hatványra emelt változók szorzata. Ez alapján adjuk a monomiális definíció : A monomiális egy algebrai kifejezés, amely hatványok és számok szorzatából áll.
Most példákat adunk olyan kifejezésekre, amelyek nem monomiálisak:
Keressük meg a különbséget ezek és az előző kifejezések között. Ez abból áll, hogy a 4-7. példákban vannak összeadási, kivonási vagy osztási műveletek, míg az 1-3. példákban, amelyek monomok, ezek nincsenek.
Íme még néhány példa:
A 8-as számú kifejezés monomiális, mert egy hatvány és egy szám szorzata, míg a 9. példa nem monomiális.
Most derítsük ki monomokon végzett műveletek .
1. Egyszerűsítés. Nézzük a 3. példát ;és 2. példa /
A második példában csak egy együtthatót látunk - , minden változó csak egyszer fordul elő, vagyis a " A A "" egyetlen példányban ""-ként van ábrázolva, ehhez hasonlóan a "" és a "" változó is csak egyszer jelenik meg.
A 3. példában éppen ellenkezőleg, két különböző együttható van - és , a "" változót kétszer látjuk - mint "" és mint "", hasonlóképpen a "" változó kétszer jelenik meg. Vagyis ezt a kifejezést le kell egyszerűsíteni, így jutunk el a monomokon végrehajtott első művelet a monom normál formára való redukálása . Ehhez a 3. példa kifejezését szabványos formára redukáljuk, majd definiáljuk ezt a műveletet, és megtanuljuk, hogyan redukálhatunk bármilyen monomit szabványos alakra.
Tehát nézzünk egy példát:
A szabványos formára való redukció műveletének első lépése mindig az összes numerikus tényező szorzása:
;
Ennek a műveletnek az eredménye meg lesz hívva a monom együtthatója .
Ezután meg kell szorozni az erőket. Szorozzuk meg a változó hatványait" x"az azonos bázisú hatványok szorzásának szabálya szerint, amely kimondja, hogy szorzáskor a kitevők összeadódnak:
Most szorozzuk meg az erőket" nál nél»:
;
Tehát itt van egy leegyszerűsített kifejezés:
;
Bármely monom lecsökkenthető szabványos formára. Fogalmazzuk meg szabványosítási szabály :
Szorozzuk meg az összes numerikus tényezőt;
Helyezze a kapott együtthatót az első helyre;
Szorozza meg az összes fokot, azaz kapja meg a betűrészt;
Vagyis minden monomot együttható és betűrész jellemez. Előretekintve megjegyezzük, hogy az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonlónak nevezzük.
Most ki kell dolgoznunk a monomok szabványos formára való redukálásának technikája . Nézzünk példákat a tankönyvből:
Feladat: hozza a monomit szabványos formába, nevezze meg az együtthatót és a betűrészt.
A feladat végrehajtásához a monom szabványos alakra redukálásának szabályát és a hatványok tulajdonságait használjuk.
1. 
;
3. 
;
Megjegyzések az első példához: Először is határozzuk meg, hogy ez a kifejezés valóban monomiális-e, és nézzük meg, hogy tartalmaz-e számok és hatványok szorzási műveleteit, és tartalmaz-e összeadási, kivonási vagy osztási műveleteket. Mondhatjuk, hogy ez a kifejezés monomiális, mivel a fenti feltétel teljesül. Ezután a monom szabványos alakra redukálására vonatkozó szabály szerint megszorozzuk a numerikus tényezőket:
- megtaláltuk egy adott monom együtthatóját;
; ; ; azaz a kifejezés szó szerinti részét megkapjuk:;
Írjuk fel a választ: ;
Megjegyzések a második példához: A szabályt követve hajtjuk végre:
1) szorozzuk meg a numerikus tényezőket:
2) szorozd meg a hatványokat:
A változók egy példányban kerülnek bemutatásra, vagyis semmivel nem szorozhatók, változtatás nélkül átírják, a fokozatot megszorozzák:
Írjuk le a választ:
;
Ebben a példában a monom együtthatója eggyel egyenlő, a betűrész pedig .
Megjegyzések a harmadik példához: a Az előző példákhoz hasonlóan a következő műveleteket hajtjuk végre:
1) szorozzuk meg a numerikus tényezőket:
;
2) szorozd meg a hatványokat:
;
Írjuk le a választ: ;
Ebben az esetben a monom együtthatója „”, és a betűrész 
.
Most mérlegeljük második szabványos művelet monomokon . Mivel a monomiális egy algebrai kifejezés, amely olyan literális változókból áll, amelyek meghatározott numerikus értékeket vehetnek fel, van egy aritmetikai numerikus kifejezés, amelyet ki kell értékelni. Vagyis a polinomok következő művelete az konkrét számértékük kiszámítása .
Nézzünk egy példát. Adott mononom:
ez a monom már le lett redukálva standard formára, együtthatója eggyel egyenlő, és a betűrész
Korábban azt mondtuk, hogy egy algebrai kifejezés nem mindig számítható ki, vagyis a benne szereplő változók nem vehetnek fel semmilyen értéket. Egy monom esetében a benne szereplő változók bármilyenek lehetnek, ez a monomiális jellemzője.
Tehát az adott példában ki kell számítanunk a , , , monomiális értékét.
A monomokkal kapcsolatos alapinformációk azt a magyarázatot tartalmazzák, hogy bármely monom lecsökkenthető szabványos formára. Az alábbi anyagban részletesebben is megvizsgáljuk ezt a kérdést: felvázoljuk ennek a műveletnek a jelentését, meghatározzuk azokat a lépéseket, amelyek lehetővé teszik a monom standard alakjának beállítását, és példák megoldásával megszilárdítjuk az elméletet.
A monom szabványos formára redukálásának jelentése
A monom szabványos formában történő írása kényelmesebbé teszi a vele való munkát. Gyakran előfordul, hogy a monomokat nem szabványos formában adják meg, majd azonos átalakítások végrehajtása válik szükségessé, hogy az adott monomot szabványos formába hozzuk.
1. definíció
Egy monom redukálása szabványos formára megfelelő műveletek (azonos transzformációk) végrehajtása egy monomimmal annak érdekében, hogy szabványos formában írjuk le.
Módszer monomiális standard formává redukálására
A definícióból az következik, hogy egy nem szabványos alakú monom számok, változók és hatványaik szorzata, és ezek ismétlődése lehetséges. A standard alakú monom viszont csak egy számot és nem ismétlődő változókat vagy azok hatványait tartalmazza.
A nem szabványos monom szabványos formába hozásához a következőket kell használnia szabály a monom szabványos formára való redukálására:
- az első lépés a numerikus tényezők, az azonos változók és hatványaik csoportosítása;
- a második lépés a számok szorzatának kiszámítása és az egyenlő bázisú hatványok tulajdonságának alkalmazása.
Példák és megoldásaik
1. példaAdott egy monom 3 x 2 x 2 . Ezt szabványos formára kell hozni.
Megoldás
Csoportosítsuk a numerikus tényezőket és a tényezőket x változóval, így az adott monom a következő alakot veszi fel: (3 2) (x x 2) .
A zárójelben lévő termék a 6. A hatványok azonos bázisú szorzásának szabályát alkalmazva a kifejezést zárójelben a következőképpen mutatjuk be: x 1 + 2 = x 3. Ennek eredményeként egy szabványos formájú monomit kapunk: 6 x 3.
A megoldás rövid változata így néz ki: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3 .
Válasz: 3 x 2 x 2 = 6 x 3.
2. példa
A monom adott: a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b . Ezt szabványos formába kell vinni, és meg kell adni együtthatóját.
Megoldás
az adott monom jelölésében egy numerikus tényező van: - 1, tegyük az elejére. Ezután csoportosítjuk az a változós faktorokat, a b változós faktorokat. Az m változót nincs mivel csoportosítani, ezért hagyjuk az eredeti formájában. A fenti akciók eredményeként: - 1 · a 5 · a · a 2 · b 2 · b · m.
Végezzünk el műveleteket zárójelben lévő hatványokkal, ekkor a monomiális standard alakot vesz fel: (- 1) · a 5 + 1 + 2 · b 2 + 1 · m = (- 1) · a 8 · b 3 · m. Ebből a bejegyzésből könnyen meghatározhatjuk a monom együtthatóját: egyenlő -1. A mínusz egyet egyszerűen mínuszjellel helyettesíthetjük: (- 1) · a 8 · b 3 · m = - a 8 · b 3 · m.
Az összes művelet rövid feljegyzése így néz ki:
a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m
Válasz:
a 5 · b 2 · a · m · (- 1) · a 2 · b = - a 8 · b 3 · m, az adott monom együtthatója -1.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
ÉN. Azokat a kifejezéseket, amelyek számokból, változókból és ezek hatványaiból állnak a szorzás műveletével, monomiálisoknak nevezzük.
Példák a monomokra:
A) a; b) ab; V) 12; G)-3c; e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5 z; és) 8ac∙2.5a 2∙(-3c 3).
II. Ezt a fajta monomiumot, amikor a numerikus tényező (együttható) az első, majd a változók a hatványaikkal együtt, standard típusú monomoknak nevezzük.
Így a fent, a betűk alatt megadott monomokat a B C), G)És e) szabványos formában írva, és a monomokat a betűk alatt e)És és) szabványos formára kell hozni, azaz olyan alakra, ahol a numerikus tényező az első, majd a betűtényezők a kitevőikkel, és a betűtényezők ábécé sorrendben vannak. Mutassuk be a monomokat e)És és) a standard nézetre.
e) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2b 3;
és) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.A monomiális változók kitevőinek összegét a monom fokának nevezzük.
Példák. Milyen fokozatúak a monomiumok? a) - g)?
a) a. Első;
b) ab. Második: A első fokon és b az első hatványra - a mutatók összegére 1+1=2 ;
V) 12. Nulla, mivel nincsenek betűtényezők;
G) -3c. Első;
e) -85,75a 2 b 3 .Ötödik. Ezt a monomiumot lecsökkentettük szabványos formára A másodfokúra és b a harmadikban. Adjuk össze a mutatókat: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Hetedik. Összeadtuk a betűtényezők kitevőit: 1+5+1=7 ;
és) -60a 3 c 3 . Hatodszor, mivel a betűtényezők kitevőinek összege 3+3=6 .
IV. Az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonló monomoknak nevezzük.
Példa. Jelölje meg a hasonló monomokat az adott monomok között! 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 év.
Mutassuk be a monomokat 1), 4) És 5) a standard nézetre. Ekkor a monomiális adatok sora így fog kinézni:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 év.
Hasonlóak lesznek azok, amelyeknek azonos a betűrésze, pl. 1) és 3) ; 2) és 4); 5) és 6).
1) 3a 2 b 2 c és 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3 bc és 4) 98,7a 3 bc;
5) 10a 4 x és 6) -2,3a 4x.