Formulirajte definiciju konusa. Frustum. Površine bočnih i ukupnih površina krnjeg konusa

Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg konusa

Šta mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: čovjek u životu naiđe na slične predmete i smisli im ime. Pogledajmo štand na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe koji se dobije kada odsiječemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo baterijske lampe (vidi sliku 1).

Rice. 2. Geometrijski oblici

Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i ispod i iznad su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sliku 2).

Rice. 3. Odsijecanje vrha konusa

Izgleda kao konus. Samo nedostaje vrh. Zamislimo mentalno da uzmemo konus i jednim zamahom oštrog mača odsiječemo mu gornji dio (vidi sliku 3).

Rice. 4. Krnji konus

Rezultat je upravo naša figura, zove se skraćeni konus (vidi sliku 4).

Rice. 5. Presjek paralelan s osnovom konusa

Neka je dat konus. Nacrtajmo ravan paralelnu ravni osnove ovog konusa i koja seče konus (vidi sliku 5).

To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je manji konus, a drugo se zove skraćeni konus (vidi sliku 6).

Rice. 6. Dobijena tijela sa paralelnim presjekom

Dakle, skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove baze i ravni paralelne bazi. Kao i kod konusa, skraćeni konus može imati krug u svojoj osnovi, u kom slučaju se naziva kružnim. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju čunjeva, razmatrat ćemo isključivo ravne kružne krnje čunjeve, osim ako nije posebno navedeno da je riječ o indirektnom krnjem konusu ili njegove osnove nisu kružnice.

Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapeza

Naša globalna tema su tijela revolucije. Skraćeni konus nije izuzetak! Sjetimo se da smo za dobijanje konusa smatrali pravougli trokut i rotirali ga oko noge? Ako je rezultirajući konus presječen ravninom paralelnom s bazom, tada će trokut ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje strane će nam dati skraćeni konus. Napomenimo ponovo da je, naravno, riječ samo o ravnom kružnom konusu (vidi sliku 7).

Rice. 8. Osnove krnjeg konusa

Hajde da damo nekoliko komentara. Osnova potpunog konusa i kružnica koja nastaje kao rezultat presjeka stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).

Rice. 9. Generatori krnjeg konusa

Segmenti generatora potpunog konusa, zatvoreni između osnova krnjeg konusa, nazivaju se generatorima krnjeg konusa. Pošto su svi generatori prvobitnog konusa jednaki i svi generatori odsečenog konusa jednaki, onda su i generatori skraćenog konusa jednaki (ne mešajte odsečeni i odsečeni!). To implicira da je aksijalni presjek trapeza jednakokračan (vidi sliku 9).

Segment ose rotacije zatvoren unutar krnjeg konusa naziva se osa krnjeg konusa. Ovaj segment, naravno, povezuje centre svojih baza (vidi sliku 10).

Rice. 10. Osa krnjeg konusa

Visina skraćenog konusa je okomica povučena iz tačke jedne od osnova na drugu osnovu. Najčešće se visina skraćenog konusa smatra njegovom osom.

Rice. 11. Aksijalni presjek krnjeg konusa

Aksijalni presjek krnjeg konusa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Ima oblik trapeza, malo kasnije ćemo dokazati da je jednakokračan (vidi sliku 11).

Rice. 12. Konus sa uvedenim oznakama

Nađimo površinu bočne površine skraćenog konusa. Neka osnovice skraćenog konusa imaju poluprečnike i , a generatrisa je jednaka (vidi sliku 12).

Rice. 13. Oznaka generatrise odsječenog konusa

Nađimo površinu bočne površine krnjeg konusa kao razliku između površina bočnih površina originalnog konusa i odsječenog. Da bismo to učinili, označimo sa generatricom odsječenog konusa (vidi sliku 13).

Onda ono što tražite.

Rice. 14. Slični trouglovi

Ostaje samo da se izrazi.

Imajte na umu da iz sličnosti trouglova, odakle (vidi sliku 14).

Moglo bi se izraziti dijeljenjem s razlikom u radijusima, ali nam to ne treba, jer se proizvod koji tražimo pojavljuje u izrazu koji tražimo. Zamjena , konačno imamo: .

Sada je lako dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte površinu dva kruga baza: .

Rice. 15. Ilustracija za problem

Neka se skraćeni konus dobije rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza je jednaka , a velika bočna strana je jednaka (vidi sliku 15). Pronađite bočnu površinu rezultujućeg skraćenog konusa.

Rješenje

Iz formule to znamo .

Generator konusa će biti veća strana originalnog trapeza, odnosno poluprečnici stošca su osnove trapeza. Ne možemo ih naći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbir, a zbir osnova trapeza je dvostruko veći od njegove srednje linije, odnosno jednak je . Onda .

Imajte na umu da smo, kada smo govorili o konusu, povukli paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočnih i ukupnih površina krnjeg konusa i piramide (a uskoro će postojati formule za volumen) slične.

Rice. 1. Ilustracija za problem

Polumjeri baza skraćenog konusa jednaki su i , a generatriksa je jednaka . Pronađite visinu skraćenog konusa i površinu njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).

Dobiva se kombinovanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke ( vrhovi konus) i prolazi kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobije spajanjem svih segmenata koji povezuju vrh i tačke ravne površine (potonje se u ovom slučaju naziva osnovu konus, a konus se zove oslanjajući se po ovoj osnovi). Ovo je slučaj koji će biti razmotren u nastavku, osim ako nije drugačije navedeno. Ako je osnova konusa poligon, konus postaje piramida.

"== Povezane definicije ==

• Segment koji povezuje vrh i granicu baze naziva se generatrisa konusa.
• Unija generatora konusa se zove generatrix(ili strana) konusna površina. Formirajuća površina konusa je konična površina.
• Segment koji je spušten okomito iz vrha na ravan baze (kao i dužina takvog segmenta) naziva se visina konusa.
• Ako osnova stošca ima centar simetrije (na primjer, to je krug ili elipsa) i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravan baze poklapa se s tim centrom, tada se konus naziva direktno. U ovom slučaju naziva se ravna linija koja povezuje vrh i centar baze konus osi.
• Kosi (skloni) konus - konus čija se ortogonalna projekcija temena na bazu ne poklapa sa njegovim centrom simetrije.
• Kružni konus- konus čija je osnova kružnica.
• Pravi kružni konus(često se jednostavno naziva konus) može se dobiti rotiranjem pravokutnog trokuta oko linije koja sadrži krak (ova linija predstavlja os konusa).
• Konus koji počiva na elipsi, paraboli ili hiperboli naziva se respektivno eliptični, parabolic I hiperbolički konus(poslednja dva imaju beskonačan volumen).
• Dio stošca koji leži između baze i ravni paralelne bazi i koji se nalazi između vrha i baze naziva se skraćeni konus.

Svojstva

• Ako je površina baze konačna, tada je i volumen konusa konačan i jednak jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednak volumen, jer su im visine jednake.
• Težište bilo kog stošca sa konačnim volumenom nalazi se na četvrtini visine od baze.
• Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa jednak je

• Bočna površina takvog konusa jednaka je

• Zapremina kružnog konusa je jednaka

• Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka (u nedegeneriranim slučajevima - elipsa, parabola ili hiperbola, ovisno o položaju rezne ravnine).

Generalizacije

U algebarskoj geometriji kornet je proizvoljan podskup vektorskog prostora nad poljem, za koji je za bilo koji

vidi takođe

• konus (topologija)

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta je "ravni kružni konus" u drugim rječnicima:

Pravi kružni konus. Direktno i... Wikipedia

Desni kružni konus Konus je tijelo dobiveno spajanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i prolaze kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobija spajanjem svih segmenata koji povezuju ... Wikipedia

Kornet- Pravi kružni konus. KONUS (od latinskog conus, od grč. konos konus), geometrijsko tijelo omeđeno okruglom konusnom površinom i ravninom koja ne prolazi kroz vrh konične površine. Ako vrh leži na ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik

- (latinski conus; grčki konos). Tijelo ograničeno površinom formiranom inverzijom prave linije, čiji je jedan kraj nepomičan (vrh konusa), a drugi se kreće duž obima date krive; izgleda kao vekna šećera. Rečnik stranih reči, ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

KORNET- (1) u elementarnoj geometriji, geometrijsko tijelo ograničeno površinom formiranom kretanjem prave linije (koja stvara konus) kroz fiksnu tačku (vrh konusa) duž vodilice (osnova konusa). Formirana površina je zatvorena između... Velika politehnička enciklopedija

- (ravno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K....... Enciklopedija Brockhausa i Efrona

- (ravno kružno K.) geometrijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina…

- (ravno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

- (latinski conus, od grčkog konos) (matematika), 1) K., ili konusna površina, geometrijski lokus pravih (generatora) prostora koji povezuje sve tačke određene prave (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) prostora.... Velika sovjetska enciklopedija

Koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i koje prolaze kroz ravnu površinu.

Dešava se da je konus dio tijela koji ima ograničenu zapreminu i dobija se kombinovanjem svakog segmenta koji povezuje vrh i tačke ravne površine. Ovo poslednje, u ovom slučaju, jeste osnovu konusa, a za konus se kaže da počiva na ovoj osnovi.

Kada je osnova konusa poligon, to već jeste piramida .

Bočna površina je ispravna n-ugljična piramida upisana u konus:

S n =½P n l n,

Gdje P n- obim osnove piramide, i l n- apotema.

Po istom principu: za bočnu površinu krnjeg stošca s osnovnim polumjerima R 1, R 2 i formiranje l dobijamo sledeću formulu:

S=(R 1 +R 2)l.

Pravi i kosi kružni konusi jednake osnove i visine. Ova tijela imaju isti volumen:

Svojstva konusa.

• Kada površina osnove ima granicu, to znači da i volumen konusa ima granicu i jednak je trećem dijelu proizvoda visine i površine baze.

Gdje S- bazna površina, H- visina.

Dakle, svaki konus koji leži na ovoj osnovi i ima vrh koji se nalazi na ravni paralelnoj bazi ima jednak volumen, jer su im visine iste.

• Težište svakog konusa sa zapreminom koja ima granicu nalazi se na četvrtini visine od baze.
• Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa može se izraziti sljedećom formulom:

Gdje α - ugao otvaranja konusa.

• Bočna površina takvog konusa, formula:

i ukupna površina (tj. zbir površina bočne površine i baze), formula:

S=πR(l+R),

Gdje R- poluprečnik osnove, l— dužina generatrise.

• Zapremina kružnog konusa, formula:

• Za skraćeni konus (ne samo ravan ili kružni), zapreminu, formulu:

Gdje S 1 I S 2- površina gornje i donje baze,

h I H- udaljenosti od ravni gornje i donje baze do vrha.

• Presjek ravni s pravim kružnim konusom jedan je od konusnih presjeka.

Koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i koje prolaze kroz ravnu površinu.

Dešava se da je konus dio tijela koji ima ograničenu zapreminu i dobija se kombinovanjem svakog segmenta koji povezuje vrh i tačke ravne površine. Ovo poslednje, u ovom slučaju, jeste osnovu konusa, a za konus se kaže da počiva na ovoj osnovi.

Kada je osnova konusa poligon, to već jeste piramida .

Bočna površina je ispravna n-ugljična piramida upisana u konus:

S n =½P n l n,

Gdje P n- obim osnove piramide, i l n- apotema.

Po istom principu: za bočnu površinu krnjeg stošca s osnovnim polumjerima R 1, R 2 i formiranje l dobijamo sledeću formulu:

S=(R 1 +R 2)l.

Pravi i kosi kružni konusi jednake osnove i visine. Ova tijela imaju isti volumen:

Svojstva konusa.

• Kada površina osnove ima granicu, to znači da i volumen konusa ima granicu i jednak je trećem dijelu proizvoda visine i površine baze.

Gdje S- bazna površina, H- visina.

Dakle, svaki konus koji leži na ovoj osnovi i ima vrh koji se nalazi na ravni paralelnoj bazi ima jednak volumen, jer su im visine iste.

• Težište svakog konusa sa zapreminom koja ima granicu nalazi se na četvrtini visine od baze.
• Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa može se izraziti sljedećom formulom:

Gdje α - ugao otvaranja konusa.

• Bočna površina takvog konusa, formula:

i ukupna površina (tj. zbir površina bočne površine i baze), formula:

S=πR(l+R),

Gdje R- poluprečnik osnove, l— dužina generatrise.

• Zapremina kružnog konusa, formula:

• Za skraćeni konus (ne samo ravan ili kružni), zapreminu, formulu:

Gdje S 1 I S 2- površina gornje i donje baze,

h I H- udaljenosti od ravni gornje i donje baze do vrha.

• Presjek ravni s pravim kružnim konusom jedan je od konusnih presjeka.

Skraćeni konus se dobija ako se manji konus odsječe od konusa ravninom koja je paralelna osnovici (slika 8.10). Skraćeni konus ima dvije osnove: "donju" - osnovu prvobitnog konusa - i "gornju" - osnovu odsječenog konusa Prema teoremi o presjeku konusa, osnovice krnjeg konusa su slične .

Visina krnjeg konusa je okomica povučena iz tačke jedne baze na ravan druge. Sve te okomite su jednake (vidi odjeljak 3.5). Visina se naziva i njihova dužina, odnosno rastojanje između ravnina baza.

Skraćeni stožac obrtanja dobija se iz konusa obrtanja (slika 8.11). Stoga su njegove osnove i svi njegovi dijelovi paralelni s njima kružnice sa centrima na istoj pravoj liniji - na osi. Skraćeni stožac se dobija rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove stranice okomito na osnovice, ili rotacijom

jednakokraki trapez oko ose simetrije (slika 8.12).

Bočna površina krnjeg stošca okretanja

Ovo je njegov dio bočne površine stošca okretanja iz kojeg je izveden. Površina krnjeg stošca okretanja (ili njegova puna površina) sastoji se od njegove baze i bočne površine.

8.5. Slike stožca revolucije i skraćenih stožaca revolucije.

Ovako se crta pravi kružni konus. Prvo nacrtajte elipsu koja predstavlja kružnicu baze (slika 8.13). Zatim pronađu centar baze - tačku O i nacrtaju vertikalni segment PO, koji prikazuje visinu konusa. Iz tačke P nacrtajte tangente (referentne) na elipsu (praktično se to radi okom, primjenom ravnala) i odaberite segmente RA i PB ovih pravih od tačke P do tačaka dodira A i B. Imajte na umu da je segment AB nije prečnik osnovnog konusa, a trokut ARV nije aksijalni presjek konusa. Aksijalni presek konusa je trougao APC: segment AC prolazi kroz tačku O. Nevidljive linije su povučene potezima; Segment OP se često ne crta, već se samo mentalno ocrtava kako bi se prikazao vrh konusa P direktno iznad centra baze - tačke O.

Kada se prikazuje krnji stožac okretanja, zgodno je prvo nacrtati konus iz kojeg se dobija krnji stožac (slika 8.14).

8.6. Konusni presjeci. Već smo rekli da ravan siječe bočnu površinu cilindra rotacije duž elipse (odjeljak 6.4). Takođe, presek bočne površine stošca rotacije ravninom koja ne seče njegovu osnovu je elipsa (slika 8.15). Stoga se elipsa naziva konusni presjek.

Konusni presjeci uključuju i druge dobro poznate krive - hiperbole i parabole. Razmotrimo neograničeni konus koji se dobija proširenjem bočne površine stošca obrtanja (slika 8.16). Presijecimo ga ravninom a koja ne prolazi kroz vrh. Ako a siječe sve generatore konusa, tada u presjeku, kao što je već spomenuto, dobijamo elipsu (slika 8.15).

Rotacijom OS ravni možete osigurati da ona siječe sve generatrise konusa K, osim jedne (s kojom je OS paralelan). Tada u poprečnom presjeku dobijamo parabolu (slika 8.17). Konačno, dalje rotirajući ravan OS, prebacićemo je u takav položaj da a, sijekući dio generatora stošca K, ne siječe beskonačan broj njegovih ostalih generatora i paralelan je sa dva od njih (slika 8.18 ). Tada u preseku konusa K sa ravninom a dobijamo krivu koja se zove hiperbola (tačnije, jedna od njenih „grana“). Dakle, hiperbola, koja je graf funkcije, je poseban slučaj hiperbole - jednakostranična hiperbola, kao što je krug poseban slučaj elipse.

Bilo koja hiperbola se može dobiti iz jednakostraničnih hiperbole korištenjem projekcije, na isti način kao što se elipsa dobije paralelnom projekcijom kružnice.

Da bi se dobile obje grane hiperbole, potrebno je uzeti presjek stošca koji ima dvije "šupljine", to jest konus koji nije formiran od zraka, već od pravih linija koje sadrže generatrice bočnih površina stošca revolucija (slika 8.19).

Konične presjeke proučavali su starogrčki geometri, a njihova teorija je bila jedan od vrhunaca antičke geometrije. Najpotpunije proučavanje konusnih presjeka u antici izvršio je Apolonije iz Perge (III vek pne).

Postoji niz važnih svojstava koja kombinuju elipse, hiperbole i parabole u jednu klasu. Na primjer, one iscrpljuju "nedegenerirane", tj. krivulje koje nisu svedene na tačku, liniju ili par pravih, a koje su definirane na ravni u kartezijanskim koordinatama jednadžbama oblika

Konusni presjeci igraju važnu ulogu u prirodi: tijela se kreću u gravitacijskim poljima po eliptičnim, paraboličnim i hiperboličnim orbitama (sjetite se Keplerovih zakona). Izuzetna svojstva konusnih presjeka često se koriste u nauci i tehnologiji, na primjer, u proizvodnji određenih optičkih instrumenata ili reflektora (površina zrcala u reflektoru dobiva se rotacijom luka parabole oko ose parabole ). Konusni presjeci se mogu uočiti kao granice sjene okruglih abažura (sl. 8.20).