Danas ćemo naučiti kako brzo kvadrirati velike izraze bez kalkulatora. Pod velikim, mislim na brojeve u rasponu od deset do sto. Veliki izrazi su izuzetno rijetki u stvarnim problemima, a već znate računati vrijednosti manje od deset, jer je ovo obična tablica množenja. Materijal u današnjoj lekciji bit će koristan prilično iskusnim učenicima, jer učenici početnici jednostavno neće cijeniti brzinu i efikasnost ove tehnike.
Prvo, hajde da shvatimo o čemu uopšte govorimo. Kao primjer, predlažem da se konstruira proizvoljan numerički izraz, kao što to obično radimo. Recimo 34. Podižemo ga tako što ga množimo sam sa sobom sa stupcem:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 je kvadrat 34.
Problem s ovom metodom može se opisati u dvije točke:
1) zahteva pismenu dokumentaciju;
2) vrlo je lako napraviti grešku tokom procesa proračuna.
Danas ćemo naučiti kako brzo množiti bez kalkulatora, usmeno i gotovo bez grešaka.
Pa počnimo. Za rad nam je potrebna formula za kvadrat zbira i razlike. Hajde da ih zapišemo:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Šta nam ovo daje? Činjenica je da se bilo koja vrijednost u rasponu od 10 do 100 može predstaviti kao broj $a$, koji je djeljiv sa 10, i broj $b$, koji je ostatak dijeljenja sa 10.
Na primjer, 28 se može predstaviti na sljedeći način:
\[\početak(poravnati)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(poravnati)\]
Preostale primjere predstavljamo na isti način:
\[\početak(poravnati)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(poravnati)\]
Šta nam ova ideja govori? Činjenica je da sa zbrojem ili razlikom možemo primijeniti gore opisane proračune. Naravno, da bismo skratili proračune, za svaki element treba izabrati izraz sa najmanjim drugim članom. Na primjer, od opcija $20+8$ i $30-2$, trebali biste odabrati opciju $30-2$.
Na sličan način biramo opcije za preostale primjere:
\[\početak(poravnati)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(poravnati)\]
\[\početak(poravnati)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(poravnati)\]
Zašto bismo nastojali da smanjimo drugi član kada se brzo množimo? Sve je u početnim proračunima kvadrata zbira i razlike. Činjenica je da je pojam $2ab$ sa plusom ili minusom najteže izračunati prilikom rješavanja stvarnih problema. A ako se faktor $a$, višekratnik 10, uvijek lako množi, onda sa faktorom $b$, koji je broj u rasponu od jedan do deset, mnogi učenici redovno imaju poteškoća.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Tako smo za tri minute uradili množenje osam primjera. To je manje od 25 sekundi po izrazu. U stvarnosti, nakon malo vježbe brojat ćete još brže. Neće vam trebati više od pet do šest sekundi da izračunate bilo koji dvocifreni izraz.
Ali to nije sve. Za one kojima se prikazana tehnika čini nedovoljno brza i dovoljno cool, predlažem još više brz način množenje, koje, međutim, ne radi za sve zadatke, već samo za one koji se razlikuju za jedan od umnožaka broja 10. U našoj lekciji postoje četiri takve vrijednosti: 51, 21, 81 i 39.
Čini se mnogo brže, već ih brojimo u nekoliko redova. Ali, u stvari, moguće je ubrzati, a to se radi na sljedeći način. Zapisujemo vrijednost koja je višestruka od deset, što je najbliže onome što nam treba. Na primjer, uzmimo 51. Stoga, za početak, napravimo pedeset:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Višestruke broja deset je mnogo lakše kvadrirati. A sada jednostavno dodamo pedeset i 51 originalnom izrazu. Odgovor će biti isti:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
I tako sa svim brojevima koji se razlikuju za jedan.
Ako je vrijednost koju tražimo veća od one koju brojimo, onda rezultatskom kvadratu dodajemo brojeve. Ako je željeni broj manji, kao u slučaju 39, tada prilikom izvođenja radnje morate oduzeti vrijednost iz kvadrata. Vježbajmo bez upotrebe kalkulatora:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Kao što vidite, u svim slučajevima odgovori su isti. Štaviše, ova tehnika je primjenjiva na sve susjedne vrijednosti. Na primjer:
\[\početak(poravnati)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(poravnati)\]
U isto vrijeme, ne trebamo pamtiti izračune kvadrata zbira i razlike i koristiti kalkulator. Brzina rada je za svaku pohvalu. Zato zapamtite, vježbajte i koristite u praksi.
Ključne točke
Ovom tehnikom možete lako umnožiti bilo koji prirodni brojevi u rasponu od 10 do 100. Štaviše, svi proračuni se izvode usmeno, bez kalkulatora, pa čak i bez papira!
Prvo, zapamtite kvadrate vrijednosti koji su višestruki od 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(poravnati)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(poravnati)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(poravnati)\]
Kako još brže brojati
Ali to nije sve! Koristeći ove izraze, možete odmah kvadrirati brojeve koji su "susedni" referentnim. Na primjer, znamo 152 (referentna vrijednost), ali moramo pronaći 142 (susjedni broj koji je za jedan manji od referentne vrijednosti). Hajde da to zapišemo:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(poravnati)\]
Napomena: bez misticizma! Kvadrati brojeva koji se razlikuju za 1 zapravo se dobijaju množenjem referentnih brojeva samim sobom oduzimanjem ili dodavanjem dvije vrijednosti:
\[\begin(poravnati)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(poravnati)\]
Zašto se ovo dešava? Zapišimo formulu za kvadrat zbira (i razlike). Neka je $n$ naša referentna vrijednost. Zatim se računaju ovako:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(poravnati)\]
- ovo je formula.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(poravnati)\]
- slična formula za brojeve veće od 1.
Nadam se da će vam ova tehnika uštedjeti vrijeme na svim vašim visokim ulozima iz matematike i ispitima. I to je sve za mene. Vidimo se!
Kvadrat broja rezultat je matematičke operacije koja ovaj broj podiže na drugi stepen, odnosno množi ovaj broj sam sa sobom jednom. Uobičajeno je da se takva operacija označi na sljedeći način: Z2, gdje je Z naš broj, 2 je stepen "kvadrata". Naš članak će vam reći kako izračunati kvadrat broja.
Izračunaj kvadrat
Ako je broj jednostavan i mali, onda je to lako učiniti ili u glavi, ili pomoću tablice množenja, koju svi dobro znamo. Na primjer:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Ako je broj velik ili "ogroman", onda možete koristiti ili tablicu kvadrata koju su svi naučili u školi ili kalkulator. Na primjer:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Također, da biste dobili traženi rezultat iz dva gornja primjera, ove brojeve možete pomnožiti u kolonu.
Da biste dobili kvadrat bilo kojeg razlomka, morate:
- Pretvorite razlomak (ako razlomak ima cijeli broj ili je decimalni) u nepravilan razlomak. Ako je razlomak tačan, onda nema potrebe da se bilo šta pretvara.
- Pomnožite imenilac sa imeniocem, a brojnik sa brojnikom razlomka.
Na primjer:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17)2 = (14x14)/(17x17) = 196/289.
U bilo kojoj od ovih opcija, najlakši način je korištenje kalkulatora. Da biste to uradili potrebno vam je:
- Otkucajte broj na tastaturi
- Kliknite na dugme sa znakom "množenje".
- Pritisnite dugme sa znakom jednakosti
Također uvijek možete koristiti internet pretraživače, kao što je Google. Da biste to učinili, samo trebate unijeti odgovarajući upit u polje tražilice i dobiti gotov rezultat.
Na primjer: da biste izračunali kvadrat broja 9,17, potrebno je da unesete 9,17*9,17, ili 9,17^2, ili “9,17 na kvadrat” u tražilicu. U bilo kojoj od ovih opcija, pretraživač će vam dati tačan rezultat - 84,0889.
Sada znate kako izračunati kvadrat bilo kojeg broja koji vas zanima, bilo da je to cijeli broj ili razlomak, bilo da je veliki ili mali!
Skraćene formule za množenje.
Proučavanje skraćenih formula za množenje: kvadrata zbira i kvadrata razlike dva izraza; razlika kvadrata dva izraza; kocka zbira i kocka razlike dva izraza; sume i razlike kubova dva izraza.
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Da biste pojednostavili izraze, faktorirajte polinome, svedite polinome na standardni pogled koriste se skraćene formule za množenje. Skraćene formule za množenje koje morate znati napamet.
Neka a, b R. Tada:
1. Kvadrat zbira dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza plus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadrat razlike dva izraza je jednak kvadrat prvog izraza minus dvostruki proizvod prvog izraza i drugog plus kvadrat drugog izraza.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Razlika kvadrata dva izraza jednak je proizvodu razlike ovih izraza i njihovog zbira.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Kocka zbira dva izraza jednaka su kocki prvog izraza plus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugi plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog plus kocke drugog izraza.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kocka razlike dva izraza je jednaka kocki prvog izraza minus trostruki proizvod kvadrata prvog izraza i drugog plus trostruki proizvod prvog izraza i kvadrata drugog minus kocke drugog izraza.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Zbir kocki dva izraza jednak je proizvodu zbira prvog i drugog izraza i nepotpunog kvadrata razlike ovih izraza.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Razlika kocke dva izraza jednak je proizvodu razlike prvog i drugog izraza nepotpunim kvadratom zbira ovih izraza.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Primjena skraćenih formula za množenje pri rješavanju primjera.
Primjer 1.
Izračunati
a) Koristeći formulu za kvadrat zbira dva izraza, imamo
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Koristeći formulu za kvadrat razlike dva izraza, dobijamo
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Primjer 2.
Izračunati
Koristeći formulu za razliku kvadrata dva izraza, dobijamo
Primjer 3.
Pojednostavite izraz
(x - y) 2 + (x + y) 2
Koristimo formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike dva izraza
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skraćene formule za množenje u jednoj tabeli:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)