При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту , а поперечная сила оказывается равной нулю . Этот случай изгиба носит название чистого изгиба . Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.
В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков , в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза ) . Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.
Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.
Изгибающий момент
представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил
, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном
виде: 
(1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х
Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.
Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.
Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации
, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол
. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится
и будет равна:
, где -это радиус кривизны
изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше
нейтрального слоя, изменит свою длину
. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у.
Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине,тогда:
Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.
Теперь перейдем к напряжениям
, т.е. будем рассматривать физическую
сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании
волокон используем при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2)
имеем
(3),
т.е. нормальные напряжения
при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону
. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3)
в уравнение (1)
и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем
. Но выражение - это осевой момент инерции сечения относительно оси х - I х
.
Его размерность см 4 , м 4
Тогда
,откуда
(4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.
Подставим полученное выражение кривизны (4)
в выражение (3)
и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения:
(5)
Т.о. максимальные
напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
Отношение 
(6)
называют осевым моментом сопротивления сечения
. Его размерность см 3 , м 3
. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Тогда максимальные напряжения: 
(7)
Условие прочности при изгибе:
(8)
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения ,т.к. имеется поперечная сила . Касательные напряжения усложняют картину деформирования , они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений . Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5) . Таким образом,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.
Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.
При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать 
Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3)
и получим
Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади
поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х 
, и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения, вызывающие деформации сдвига. В силу закона парности такие же касательные напряжения будут возникать и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Наличие касательных напряжений в продольных сечениях подтверждается появлением в деревянных балках при поперечном изгибе продольных трещин.
Перейдем к выводу формулы для вычисления касательных напряжений при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения. Эта формула была выведена в 1855 г. Д.И. Журавским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в прошлом веке при строительстве мостов широко применялись деревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.
Рассмотрим балку прямоугольного сечения bxh (рис. 6.19). Пусть в поперечном сечении 1 действует изгибающий момент М к, а в сечении 2, отстоящем от первого на бесконечно близкое расстояние dz - изгибающий момент М и + dM„. На расстоянии у от нейтральной оси проведем продольное сечение ас и рассмотрим равновесиеэлементарного параллелепипеда атпс , имеющего измерения
Равнодействующую нормальных внутренних сил, действующих на грань am , обозначим N u а действующих на грань сп - N 2 ; переменные нормальные напряжения в этих гранях обозначим соответственно cTi и 02. В поперечном сечении балки выделим бесконечно узкую полоску cL4, находящуюся на переменном расстоянии у от нейтральной оси. Тогда
Предположим, что касательные напряжения в поперечном сечении прямоугольной балки параллельны поперечной силе Q и по ширине сечения распределены равномерно. Полагая, что в продольном сечении касательные напряжения т также распределены равномерно, определим касательную силу dF, действующую на грани ас: d F- xbdz.
Составим уравнение равновесия параллелепипеда атпс
:IZ = 0; N x
+ dF - N 2
= 0, откуда dF = N 2 - N x ,
или
Рис. 6.19
Выражение J ydA есть статический момент заштри-
хованной площади А у сечения относительно нейтральной оси; обозначим его через S. Тогда
откуда
Так как, согласно теореме Журавского,
Это равенство называется формулой Журавского.
Формула Журавского читается так: касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно нейтральной оси части сечения , лежащей выше рассматриваемого слоя волокон , деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.
Выведенная формула дает значение касательных напряжений в продольных сечениях, но по закону парности в точках поперечного сечения, лежащих на линии пересечения продольной и поперечной плоскостей, будут действовать одинаковые по модулю касательные напряжения.
Определим закон распределения касательных напряжений для балки прямоугольного сечения (рис. 6.20, а). Для слоя волокон ad:
при у = ±И/ 2 т = 0;
при у = 0 т = т тах = 2Q/{2bh) = 3Q/2A = Зх сред /2.
Таким образом, в верхнем и нижнем слоях волокон касательные напряжения равны нулю, а в волокнах нейтрального слоя они достигают максимального значения. Законы распределения касательных напряжений по ширине и высоте прямоугольного сечения показаны на рис. 6.20, а.
С некоторым приближением формулу Журавского можно применять для вычисления касательных напряжений в балках с поперечными сечениями другой формы. Рассмотрим консольную балку корыт- ного профиля, сечение которой показано на рис. 6.20, б , изгибаемую силой У 7 на конце.
Плоскостью 1-1 отсечем часть полки площадью А. Так как изгиб балки поперечный, то в плоскости 1-1 будут действовать продольные касательные силы и напряжения x z (по аналогии см. рис. 6.19). По закону парности в поперечном сечении полки возникнут касательные напряжения х х той же величины и их можно вычислить по формуле Журавского
где Q - поперечная сила в сечении балки; S x - статический момент отсеченной площади А относительно оси х (нейтральная ось), S x = AhJ2 ; / - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; t - толщина полки.
Рис. 6.20
Если толщина полки постоянна, то касательные напряжения х х изменяются по линейному закону; тогда
Равнодействующая R x касательных напряжений в верхней полке равна
На нижнюю полку действует такая же сила R, но направленная в противоположную сторону. Две силы Ri образуют пару с моментом М к = Rh x . Следовательно, в сечении наряду с вертикальной поперечной силой Q = Ri возникает также крутящий момент М к, который скручивает балку. R 2 - равнодействующая касательных напряжений в стенке балки.
Чтобы деформации кручения не было, внешнюю силу F следует приложить в какой-то точке В на расстоянии а от середины стенки и соблюсти условие Fa = М к. Отсюда а = M K /F. Такая точка В называется центром изгиба. Если сечение балки имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения.
Без вывода приведем формулу для определения максимальных касательных напряжений у балки круглого сечения:
Касательные напряжения в балках соответствуют деформации сдвига, в результате чего плоские поперечные сечения при поперечном изгибе не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а искривляются (рис. 6.21).
Рис. 6.21
Большинство балок рассчитывают только по нормальным напряжениям; но три вида балок следует проверять и по касательным напряжениям, а именно:
- 1) деревянные балки, так как древесина плохо работает на скалывание;
- 2) узкие балки (например, двутавровые), так как максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
- 3) короткие балки, так как при относительно небольших изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровом сечении определяется по формуле Журавского. В таблицах сортамента приведены значения статического момента площади полусечения для двутавров и швеллеров.
Пример 6.7
Консольная балка, жестко защемленная одним концом в заделке, состоит из двух деревянных брусьев квадратного сечения, соединенных на другом конце болтом (рис. 6.22). К свободному концу балки приложена сила R = 15 кН. Длина балки /= 4 м. Определить диаметр стержня болта, если допускаемое напряжение среза [т ср ] = 120 МПа. Размер сечения брусьев а = 20 см.
Рис. 6.22
Решение. Во всех поперечных сечениях балки кроме изгибающего момента возникает поперечная сила Q = R = 15 кН и соответствующие ей касательные напряжения сдвига, вычисляемые по формуле Журавского, причем максимальные напряжения т тах возникают на нейтральной оси, то есть в месте соприкосновения брусьев. По закону парности такие же касательные напряжения возникают и в продольных сечениях балки. Тогда
где Q - поперечная сила: Q = 15-10 3 Н; S - статический момент площади полусечения балки относительно нейтральной оси: S = а 2 -а/2 = а г /2 ; I- момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси: I - а{2а) 3 /2-2a 4 /3 ; b - ширина сечения: b = а.
Подставив эти выражения в формулу Журавского, имеем т тах =3()/(4я 2), а подставляя числовые значения и учитывая размерности, получаем
Сила сдвига F = х тах А сд, где площадь сдвига А сд = al. Следовательно F = = Хтах а I = 0,282 10 6 0,2 4 = 226 10 3 Н. Сила F, действующая на стыке балок, стремится срезать болт. Найдем необходимый диаметр d стержня болта из расчета его на срез: F/A Cf) А ср - площадь среза, равная площади поперечного сечения стержня болта: Д. р = лх/ 2 /4
Подставив это выражение в расчетную формулу, имеем,
При
плоском поперечном изгибе, когда в
сечениях балки действуют и изгибающий
моментМ
и
поперечная сила Q
,
возникают не только нормальные
,
но и касательные напряжения
.
Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:
; 
.(6.24)
П
Рис.6.11.
Плоский изгиб
Касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
Касательные напряжения всюду параллельны силе Q .
Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы Р . Построим эпюры внутренних усилий О y , и М z .
На расстоянии x от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной d x и шириной, равной ширине балки b . Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q y и изгибающий момент М z , а на грани ab – также поперечная сила Q y и изгибающий момент M z +dM z (так как Q y остается постоянной по длине балки, а момент М z изменяется, рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d , покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn , и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего момента М z , возникают нормальные напряжения:
;
(6.25)
.
(6.26)
Кроме
того, на этих гранях от действия поперечной
силы Q
y
,
возникают касательные напряжения
,
такие же напряжения возникают по закону
парности касательных напряжений и на
верхней грани элемента.
Составим уравнение равновесия элемента mbcn , проецируя равнодействующие рассмотренных напряжений на ось x :
. (6.29)
Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси x , поэтому можем записать
.
(6.30)
Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,
,
(6.31)
выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского )
.
(6.32)
Проанализируем формулу Журавского.
Q y – поперечная сила в рассматриваемом сечении;
J z – осевой момент инерции сечения относительно оси z ;
b – ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;
–статический
момент относительно оси z
части сечения, расположенной выше (или
ниже) того волокна, где определяется
касательное напряжение:
, (6.33)
где
и F
"
– координата центра тяжести и площадь
рассматриваемой части сечения,
соответственно.
6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки
Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.
При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):
Сечение, в котором изгибающий момент М z достигает своего максимального по модулю значения;
Сечение, в котором поперечная сила Q y , достигает своего максимального по модулю значения;
Сечение, в котором и изгибающий момент М z и поперечная сила Q y достигают по модулю достаточно больших величин.
В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:
Точка, в которой нормальные напряжения
,
достигают своего максимального
значения, - то есть точка на наружной
поверхности балки наиболее удаленная
от нейтральной оси сечения;
Точка, в которой касательные напряжения
достигают своего максимального
значения, - точка, лежащая на нейтральной
оси сечения;
Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина сечения по высоте непостоянна).
Вырежем из балки в окрестности некоторой точки элементарный параллелепипед 1-2-3-4 (рис. 45.7, а) боковые грани которого 1-2 и 3-4 расположены в поперечных сечениях балки, а боковые грани 2-3 и 1-4 параллельны нейтральному слою. Длина параллелепипеда (в направлении, перпендикулярном к чертежу) равна ширине балки. Напряжения, действующие по граням параллелепипеда, рассмотрены в § 7.7 и 8.7; они показаны на рис. 45.7,б. По граням 1-2 и 3-4 действуют нормальные напряжения а и касательные напряжения , а по граням 2-3 и 1-4 - только касательные напряжения . Направления этих напряжений, показанные на рис. 45.7, б, соответствуют случаю, когда в поперечных сечениях рассматриваемого участка балки действуют положительные изгибающий момент и поперечная сила.
Величины напряжений определяются формулами (17.7) и (28.7).
Передняя и задняя грани элементарного параллелепипеда совпадают с боковыми поверхностями балки, свободными от нагрузки, а потому по этим граням напряжения равны нулю. Следовательно, параллелепипед находится в условиях плоского напряженного состояния.
В площадках, наклоненных под различными углами к боковым граням элементарного параллелепипеда, действуют нормальные и касательные напряжения, величины которых можно определить по формулам (6.3) и (7.3). Имеются две взаимно перпендикулярные площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Эти площадки, как известно, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие в них, - главными напряжениями (см. § 3.3). В площадках, наклоненных под углами в 45° к главным площадкам, действуют экстремальные касательные напряжения; эти площадки называются площадками сдвига (см § 4.3).
Определение главных нормальных и экстремальных касательных напряжений в общем случае плоского напряженного состояния производится, как известно, по формулам (12.3) и (15.3):
Подставим в эти формулы значения
Здесь - нормальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки, и определяемые по формулам (17.7) и (28.7).
Из формулы (32.7) видно, что напряжение отах всегда положительно, a всегда отрицательно. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому напряжение отах следует обозначить а напряжение обозначить Промежуточное главное напряжение возникает в главных площадках, параллельных плоскости чертежа (рис. 45.7).
Угол наклона главных площадок к боковым граням элементарного параллелепипеда можно определить способом, указанным в § 3.3.
Величины главных нормальных и экстремальных касательных напряжений и положения площадок, в которых они действуют, можно определить и с помощью круга Мора (см. § 5.3).
Рассмотрим теперь более подробно напряженное состояние в точках прямоугольного поперечного сечения балки. Предположим, что, изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом сечении положительны.
В поперечном сечении в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения а равны (в точке а на рис. 46.7, а) и (в точке а на рис. 46.7, а). Следовательно, для каждой из этих точек одна из главных площадок совпадает с поперечным сечением балки, а две другие перпендикулярны к поперечному сечению (нормальные напряжения в них равны нулю). В этих точках имеется одноосное напряженное состояние.
На рис. 46.7, а показаны элементарные параллелепипеды, боковые грани которых параллельны двум главным площадкам; третья главная площадка параллельна плоскости чертежа. Экстремальные касательные напряжения в точках а к а определяются по формуле
В поперечном сечении в точках, расположенных на нейтральной оси (точка b на рис. 46.7, а), нормальное напряжение о равно нулю, а касательное напряжение . В этих точках напряженное состояние представляет собой чистый сдвиг с экстремальными касательными напряжениями
Две главные площадки в каждой из этих точек наклонены под углами ±45° к оси балки (см. рис. 46.7, а), а главные напряжении в них .
Третья главная площадка параллельна плоскости чертежа; напряжения в ней равны нулю.
В поперечном сечении в остальных точках напряжения а и отличны от нуля. На разных расстояниях от нейтральной оси соотношения между величинами а и различны, а потому различны и углы наклона главных площадок к оси балки. В каждой из этих точек не равные нулю главные напряжения имеют противоположные знаки, т. е. напряженное состояние представляет собой одновременно растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
Определив величины главных напряжений для ряда точек, расположенных в одном поперечном сечении балки на различных расстояниях от нейтральной оси, можно затем по этим величинам построить эпюры главных напряжений. Эти эпюры характеризуют изменение главных напряжений по высоте балки.
Аналогично можно вычислить значения экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. На рис. 46.7, б для прямоугольного поперечного сечения балки, в котором действуют положительные изгибающий момент М и поперечная сила Q, показаны эпюры напряжений , возникающих в площадках, совпадающих с поперечным сечением, эпюры главных напряжений и и экстремальных касательных напряжений .
Определим для какой-либо точки балки направление одного из главных напряжений, а затем возьмем на этом направлении вторую точку, достаточно близкую к первой. Найдя направление главного напряжения для второй точки, аналогичным способом отметим третью точку и т. д.
Соединив найденные таким путем точки, получим так называемую траекторию главных напряжений. Через каждую точку проходят две такие траектории, перпендикулярные друг к другу; одна из них представляет собой траекторию главных растягивающих напряжений, а другая - главных сжимающих. Траектории главных растягивающих напряжений образуют одно семейство кривых, а траектории главных сжимающих напряжений - другое семейство. Касательная к траектории в любой ее точке дает направление соответствующего (растягивающего или сжимающего) главного напряжения в этой точке.
На рис. 47.7 показана часть фасада некоторой балки с нанесенными траекториями главных напряжений. Все они пересекают ось балки под углами ±45° и подходят к верхней и нижней граням балки под углами 0 и 90°; это соответствует направлениям главных площадок (и главных напряжений), показанным на рис. 46.7, а.
При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении действует поперечная сила, которая представляет собой равнодействующую касательных напряжений.
Следствием действия касательных напряжений является искажение формы поперечного сечения, что противоречит гипотезе плоских сечений. Во-первых, сечение может испытывать деплаиацшо, т.е. не остается плоским. Во-вторых, сечение после деформирования не остается перпендикулярным к изогнутой оси бруса.
Учет данных эффектов проводится в более сложных теориях изгиба стержней. Вместе с тем для большого количества инженерных задач полученные для чистого изгиба формулы могут быть обобщены на случай поперечного изгиба. Оценка пределов применимости данных формул и ответственность за полученный результат относятся к компетенции расчетчика.
Для определения значений нормальных напряжений при поперечном изгибе широко используется формула (5.10). Далее покажем, что в случае постоянной поперечной силы эта формула дает точный результат, а в случае переменной поперечной силы полученные для определения нормаль-
ных напряжений формулы лают погрешность порядка - где h - высота сечения; / - длина балки.
Для определения величины касательных напряжений рассмотрим элемент бруса длиной dx (рис. 5.8).
Рис. 5.8.
В нравом и левом сечениях элемента нормальные напряжения отличаются друг от друга на с/о, что обусловлено различием в значениях изгибающего момента на dM mr . Слагаемым, связанным с изменением т на длине dx, можно пренебречь как величиной высшего порядка малости.
Сделаем допущение: касательные напряжения в сечении направлены параллельно действующей в этом сечении перерезывающей силе Q.
Определим значения касательных напряжений в точках, отстоящих на расстояние у от нейтральной оси. Для этого отсечем плоскостью cd от элемента бруса длиной dx часть abed.
В сечении на высоте у действуют касательные напряжения т. В то же время в перпендикулярном к нему сечении, т.е. в плоскости, параллельной плоскости xz, в соответствии с законом парности касательных напряжений будут действовать такой же величины касательные напряжения.
Составим уравнение равновесия элемента, спроецировав для этого все действующие на этот элемент силы на направление оси х. Входящие в уравнение равновесия интегралы вычислим в пределах верхней части сечения А*:
В результате преобразований получим следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
Согласно формуле (5.10) и учетом соотношения (5.3) найдем производную нормального напряжения:
и учтем это значение в выражении для касательного напряжения:
В результате получаем следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
где Q - поперечная сила в сечении; S* - статический момент отсеченной части сечения площадью Л* относительно центральной оси; / изг - момент инерции сечения относительно центральной оси; h - ширина сечения в месте определения касательных напряжений.
Формула (5.21) носит название формулы Журавского К
Рассмотрим балку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 5.9, а). Определим нормальные и касательные напряжения в опасном сечении. Опасным является сечение Л, в котором действует максимальный изгибающий момент М нзг = -Я Что касается поперечной силы, то ее значение в любом сечении бруса постоянно и равно -F.
Рис . 5.9.
Согласно формулам (5.15) и (5.20) определим значение максимального нормального напряжения:
‘Журавский Дмитрий Иванович (1828-1891) - русский ученый-механик и инженер, специалист в области мостостроения и строительной механики, первым решил задачу определения касательных напряжений при поперечном изгибе балки.
Вычислим величины, входящие в формулу (5.21):
В точке сечения, отстоящей на расстояние у от нейтральной оси, значение касательного напряжения равно
Максимальное напряжение возникает при у = 0 в волокнах, принадлежащих центральной оси 0т.
Это напряжение формально имеет отрицательное значение, но его знак можно не принимать во внимание, поскольку для расчета это неважно.
Оценим соотношение максимальных величин нормальных и касательных напряжений, возникающих в сечении балки:
Согласно расчетной схеме бруса полагается, что - 1. Из этого следует, что касательные напряжения имеют более высокий порядок малости по сравнению с нормальными напряжениями.
Обобщим оценку (5.24) для балки длиной / и характерным размером сечения а. При величине поперечной силы, равной F, изгибающий момент оценивается как М изг ~ FI. Для характерных значений осевого момента инерции сечения, статического момента части сечения и момента сопротивления изгибу получаем следующие оценки:
Следовательно, для максимальных нормального и касательного напряжений справедливы оценки
Окончательно получаем следующую оценку отношения максимальных касательных и нормальных напряжений:
Полученные для конкретного прямоугольного поперечного сечения оценки можно распространить и на случай произвольного сечения, с оговоркой, что поперечное сечение рассматривается как массивное. Для тонкостенных профилей приведенный выше вывод о возможности пренебрежения касательными напряжениями по сравнению с нормальными напряжениями справедлив не всегда.
Следует отметить, что при получении формулы (5.21) мы не были до конца последовательны и, проводя преобразования, допустили следующую погрешность. Л именно, формула для нормальных напряжений, которую мы использовали, была получена в предположении справедливости гипотезы плоских сечений, т.е. при отсутствии депланации поперечного сечения. Приложив к элементу касательные напряжения, мы допустили возможность искажения прямых углов, чем нарушили вышеупомянутую гипотезу. Поэтому полученные расчетные формулы носят приближенный характер. Эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 5.9, б , объясняет характер искривления поперечных сечений балки при поперечном изгибе. В крайних точках касательные напряжения равны нулю, следовательно, соответствующие им волокна будут нормальными к верхней и нижней поверхностям балки. На нейтральной линии, где действуют максимальные касательные напряжения, будут иметь место максимальные сдвиговые деформации.
Вместе с тем отметим, что при постоянном в пределах участка значении поперечной силы искривление всех сечений будет одинаковым, следовательно, эффект искривления не будет отражаться на величине продольных деформаций растяжения и сжатия волокон, вызываемых изгибающим моментом.
Для поперечных сечений непрямоугольной формы дополнительные погрешности привносятся в формулу (5.21) по причине невыполнения принятых допущений о характере распределения касательных напряжений. Так, например, для круглого поперечного сечения касательные напряжения в точках у контура сечения должны быть направлены по касательной к контуру, а не параллельно поперечной силе Q. Это означает, что касательные напряжения должны обладать составляющими, действующими как вдоль оси г/, так и вдоль оси г.
Однако, несмотря на имеющиеся противоречия, полученные формулы дают вполне удовлетворительные результаты при проведении практических расчетов. Сопоставление значений касательных напряжений, определенных по формуле (5.21), с результатами, полученными точными методами, показывает, что ошибка в величине наибольшего касательного напряжения не превышает 5%, т.е. эта формула пригодна для проведения практических расчетов.
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от чистого изгиба в поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М мзг и поперечная сила Q. Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (см. рис. 5.9, б), а наибольшие касательные напряжения имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно но нормальным и касательным напряжениям: